基于Raleigh-Ritz的五自由度并聯機床剛度分析及仿真

賈艷麗，劉 巖

（南陽理工學院 軟件學院，南陽 473000）

基于Raleigh-Ritz的五自由度并聯機床剛度分析及仿真

賈艷麗，劉 巖

（南陽理工學院 軟件學院，南陽 473000）

0 引言

并聯機床(Parallel Machine Tool, PMT)是一種新型機床，具有精度高、響應快和剛度大等特點[1～3]。并聯機床的高剛度特性可以在高速金屬加工過程中，保證加工精度以及提高刀具使用時間[4,5]，因此剛度是并聯機床設計制造過程中的重要指標，對并聯機床的性能有著重要指導意義[6]。并聯機床的剛度分析通常采用結構矩陣分析法、雅克比矩陣法以及假設模態法等數值方法以及Anasys軟件模擬方法等，其中數值方法雖然能夠在工作空間內進行分析，但是建模過程復雜，通用性不強，而軟件模擬方法適合針對某一固定位置進行剛度分析，不適合對并聯機構的工作空間剛度進行分析[7,8]。為解決以上問題，本文根據有限元基本原理，對一種五自由度并聯機床進行了剛度分析，并進行了剛度仿真，為并聯機床的優化設計及性能分析提供了一定的理論基礎。

1 并聯機床機構分析

五自由度并聯機床是一種五自由度虛擬軸機床，主要有動平臺、靜平臺、驅動支鏈以及約束支鏈構成，機構拓撲圖如圖1所示，靜平臺上設有全局坐標系OA-XAYAZA，動平臺上設有動坐標系OB-XBYBZB，假設Ri表示Ai與OA之間的距離，iθ表示OAAi與XA軸之間的夾角，ri表示Bi與OB之間的距離，i?表示OBBi與XB軸之間的夾角，其中i=1,2,…,5。

通過機構分析可以知道，中間支鏈具有5個剛體自由度，由此可知中間支鏈不會影響動平臺其他5個自由度方向的剛度，因此進行剛度分析時可以忽略中間支鏈，根據有限理論對并聯機床進行機構離散，離散化模型如圖2所示。

圖1 并聯機床拓撲圖

圖2 并聯機床離散化

2 有限元單元剛度分析

根據五自由度并聯機床機構特性及離散化后的有限元模型可知，構成五自由度并聯機床的基本有限元單元有兩類，一類是空間三角單元，此類單元有1～10。第二類基本單元是空間桿單元，此類單元是11～15，因此需要對以上兩種單元進行有限元剛度建模。本文采用的建模方法是Raleigh-Ritz方法。首先建立空間桿單元有限元剛度模型，在外力的作用下單元上的平衡方程為一維微分方程。設坐標x處的應力分布為σ(x)，截面積為A(x)，軸向外力為f(x)，則桿單元在該處的應力為σ(x)A(x)，可以得到如下的基本方程：

由Hooke定律可以得到位移u(x)的二階微分方程：

根據最小勢能原理，公式(2)的變分函數如下所示：

其中abr是積分常數。

設單元節點位移構成的位移響亮為{u}，形函數矩陣為[N]，可以得到：

將公式(5)帶入公式(4)中，并帶入單元的材料等參數，可以得到帶有形函數形式的變分函數，并進行變分求解進行極小化，如公式(5)所示：

通過矩陣計算，可以得到局部坐標系下的剛度矩陣KL，通過Z-Y-X形式的歐拉角變換矩陣R，可以得到全局坐標系下的剛度矩陣KG，如公式(6)所示。

通過得到的各個單元在全局坐標系下的剛度矩陣，根據有限元原理，可以得到五自由度并聯機床的剛度矩陣K。對剛度矩陣K進行邊界條件處理后既可以得到并聯機床的剛度分布情況。

3 仿真及模擬分析

3.1 剛度分布仿真分析

機構的剛度特性和機械結構密切相關，五自由度并聯機床的結構如表1所示，根據給定的物理參數，支鏈的截面積簡化為7.8×10-4m2，動平臺、靜平臺及支鏈的彈性模量均設為2.03×1011N/m2。五自由度并聯機床有五個自由度，其中沿X、Y兩個方向的剛度值對加工質量的影響最大，設α為動平臺相對靜平臺繞Y軸的轉角。

表1 并聯機床主要結構參數

此并聯機構具有5自由度，為了能夠在笛卡爾坐標系表示機構的剛度特性，在此固定1個方向的自由度，其余兩個自由度在笛卡爾坐標系X-Y平面內表示，用Z表示機構的靜剛度特性。分別假設α=0°和α=25°兩種條件下，采用極坐標搜索形式數值求解位置工作空間，進行靜剛度分析，結果如圖3所示。

圖3 剛度分布

從圖3中可以看出，當α=0°時X與Y方向的剛度明顯大于α=25°時的對應剛度，說明動平臺平行于靜平臺時剛度特性優良，并且中間剛度位置低于邊界值，是由于處于邊界位姿時靠近機構的奇異位置引起的。機構剛度的最小值出現在工作空間的中心處，并且最小剛度值都大于允許剛度值，表明并機床的靜剛度滿足靜剛度指標。在同一位置時X、Y兩方向的剛度也不相同，符合機構各向異性的機構特性。為檢驗計算結果，利用有限元軟件對并聯機床的中心位置進行了剛度模擬仿真。

3.2 剛度模擬仿真分析

為進行軟件仿真，首先建立五自由度并聯機床的三維模型，通過網格劃分以及邊界條件設定，進行剛度模擬仿真，圖4為彈性變形的結果圖。

圖4 剛度模擬仿真彈性變形結果

根據圖4所示的彈性變形，利用胡克定律得到該位姿下動平臺中心點處的X方向剛度，計算結果為5.9×108N/m，該位姿情況下有限元理論計算結果為6.2×108N/m，與圖4中所示的結果進行對比分析，相對誤差為4.76%，造成誤差的主要原因在于對球副的簡化以及動平臺的簡化分析，但是結果的誤差滿足工程應用，表明了Raleigh-Ritz方法對并聯機床進行剛度分析的有效性。

4 結論

通過對五自由度并聯機床進行機構特性分析，確定了構成并聯機床的基本有限單元，然后通過Raleigh-Ritz方法得到單元及整體的剛度矩陣，通過整體剛度矩陣對五自由度并聯機床進行了剛度計算，得到了工作空間的剛度分布情況，并利用有限元軟件進行了剛度仿真，通過對比兩種方法得到的剛度結果，驗證了Raleigh-Ritz方法分析靜剛度的正確性，并表明了并聯機床的靜剛度滿足工作需求。Raleigh-Ritz方法相對于其他剛度分析方法建模過程清晰，并適合計算機自動求解，對并聯機床的可靠性以及并聯機床的優化設計具有一定的理論指導意義。

[1]李長河,蔡光起.并聯機床發展與國內外研究現狀[J].青島理工大學學報,2008,29(01):7-13.

[2]汪勁松,黃田.并聯機床-機床行業面臨的機遇與挑戰[J].中國機械工程,1999,10(10):1103-1107.

[3]段廣洪,李鐵民.并聯機器的起源和發展[J].世界制造技術與裝備市場,2006(1):41-48.

[4]孟祥志.一種新型立臥轉換式三桿混聯機床的設計研究[D].沈陽:東北大學,2004.

[5]Kim B H,Park T,Shin H Y, et al.A comparative study of the tension estimation methods for cable supported bridges[J].Steel Structures,2007,7(3):77-84.

[6]Krenk S.Complex modes and frequencies in damped structural vibrations[J].Journal of Sound and Vibration,2004,270: 981-996.

[7]吳海兵,劉遠偉,左敦穩.交叉式并聯機床工作空間分析[J]. 機械科學與技術,2009,28(4):472-475.

[8]徐開元,徐武彬,唐滿賓.基于有限元的機床滑鞍結構的動特性分析[J].機械設計與制造.2011(04),170-173.

Stiffness analysis and simulation of 5-dof parallel machine tool based on raleigh-ritz method

JIA Yan-li，LIU Yan

針對軟件模擬方法適合某一固定位置的剛度分析，不適合對并聯機構的工作空間剛度分析的問題，提出了一種基于Raleigh-Ritz的五自由度并聯機床剛度分析方法。首先利用有限元基本原理對并聯機床的機構分析離散出基本單元，然后利用Raleigh-Ritz方法計算出基本單元的剛度矩陣，裝配后得到系統剛度矩陣，最后通過系統剛度矩陣對并聯機床的剛度進行了分析，得到了并聯機床工作空間內的剛度分布，并利用剛度分析軟件進行了仿真實驗，對分析結果進行了對比分析，為并聯機床的優化設計提供了理論依據。

Raleigh-Ritz方法；有限元理論；并聯機床；剛度矩陣

賈艷麗（1977 -），女，河南新野人，講師，碩士，研究方向為軟件設計與數據挖掘。

TP193

A

1009-0134(2014)06(上)-0098-03

10.3969/j.issn.1009-0134.2014.06(上).29

2014-03-20

河南省科技攻關計劃項目（A13060232）