氣泡脫離毛細(xì)管時(shí)曲率半徑的變化規(guī)律

彭 寧

(桂林理工大學(xué) 化學(xué)與生物工程學(xué)院,廣西 桂林 541000)

在日常生活中,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象,例如水珠在潔凈的玻璃上會(huì)以球形的形狀存在、毛細(xì)管中液體會(huì)自動(dòng)的上升(水)或下降(汞)而不同于外液面齊平、自來水筆中的墨水不會(huì)因地心引力而滴出等,吹出的肥皂泡泡、荷葉或芋葉上滾動(dòng)的水珠都以球形形式存在,這實(shí)際上都與液體表面受到一種作用力有關(guān),即液體的表面張力。表面張力是液體最重要的性質(zhì)之一,它的形成是由于液體表面分子受力不均勻?qū)е碌摹Ｈ缭跉?液系統(tǒng)中,由于液體內(nèi)部分子對(duì)液體表面分子的作用力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于液面上方氣體分子對(duì)它的作用力,從而使得液面分子受到指向液體內(nèi)部的拉力作用,因此液體都有自動(dòng)縮小其表面積的趨勢[1]。而在相同體積下,球形具有最小的表面積,因此液體都有趨向于變成球形的趨勢。如若要增大液體的表面,就需要克服所受作用力做功,從力的角度規(guī)定沿著表面并和表面相切、垂直作用在單位長度液相界面上的力,稱為表面張力σ,單位為N·m-1；而從能量角度分析,為克服液體所做的表面功所需比表面吉布斯自由能的改變?chǔ) 規(guī)定為表面張力,單位為J·m-2。

對(duì)平面液體而言,由于液面分子所受的表面張力方向是與液面相切的,無指向液體內(nèi)部的表面張力的分力,因此液面下方的液體分子所受到的壓力即為外界環(huán)境對(duì)液體的垂直壓力；然而,對(duì)于彎曲液面而言,由于液面分子所受的表面張力方向是與液面相切的,由于液體表面張力的存在且表面液體分子所受合力不為零,會(huì)在彎曲液體表面產(chǎn)生一個(gè)合力,并且該合力方向指向彎曲液面的中心點(diǎn)。因此,由于表面張力的合力不為零并且指向彎曲液面的中心,導(dǎo)致液面兩側(cè)的壓力并不相等,最終在彎曲液面下方的液體受到來自液面產(chǎn)生的附加壓力ΔP 的作用,顯然附加壓力的大小與表面張力的大小具有緊密聯(lián)系。對(duì)于水滴等凸液面而言,該附加壓力為外界壓力與彎曲液面所受壓力的差值,表達(dá)式為ΔP=P外-P內(nèi)=Pg-Pl,其中Pg為外界環(huán)境中的大氣壓力,Pl為凸液面本身所受的壓力Pl；相反,對(duì)凹液面而言,即對(duì)液體中存在的氣泡來說,該附加壓力仍然為外界壓力與彎曲液面所受壓力的差值,表達(dá)式為ΔP=P內(nèi)-P外=Pg-Pl,其中Pg為氣泡內(nèi)的壓力,Pl為凹液面所受的壓力。基于拉普拉斯方程,可以獲得附加壓力ΔP,表面張力σ 及彎曲液面曲率半徑r 之間的關(guān)系為ΔP=2σ/r,因此如若能夠通過實(shí)驗(yàn)方法獲得某一液體的ΔP 和r 的數(shù)值,將其代入到上述方程式即可求出該液體的表面張力大小[2]。

圖1 毛細(xì)管端氣泡形核-長大直至脫離的過程示意圖

通常測定溶液表面張力的方法較多,如毛細(xì)管升高法、滴體積法、拉環(huán)法等,而較為常用的方法為最大泡壓法。該方法利用毛細(xì)管端的氣泡從形核-長大-脫離過程中測量氣泡所受的最大附加壓力值來求得液體的表面張力。首先來考察一下氣泡的形成過程,如圖1 所示,為毛細(xì)管端氣泡從形核(t0)到長大(t1、t2)最后從端口脫離(t3)過程的示意圖,可以發(fā)現(xiàn)在整個(gè)過程中,氣泡曲率半徑r 的變化為從開始的平面,即r 為無窮大逐漸減少直至最小值,此時(shí)曲率半徑即為毛細(xì)管端的半徑,然后在逐漸增大至極大值直到氣泡瞬間脫離毛細(xì)管斷口并上升逸出[3]。通過分析可以發(fā)現(xiàn),在氣泡曲率半徑為毛細(xì)管端的半徑時(shí),由拉普拉斯方程可知,此時(shí)對(duì)應(yīng)的附加壓力ΔP 為最大值,通過數(shù)字微壓差儀可以讀出該最大的附加壓力值,再把讀取的數(shù)值和對(duì)應(yīng)的毛細(xì)管的半徑代入到拉普拉斯方程即可求得液體的表面張力,這就是最大泡壓法測定液體表面張力的基本實(shí)驗(yàn)原理。液體的表面張力與溫度、壓力和相互接觸兩相物質(zhì)的性質(zhì)、組成等有關(guān)。一般地,隨著溫度的升高(促使分子間距增加,相互作用減弱)、壓力的增大(使兩相物質(zhì)的差異縮小),表面張力都會(huì)減少；此外,當(dāng)在液體中加入溶質(zhì)后,液體的表面張力也會(huì)發(fā)生變化,如在水中加入氯化鈉、蔗糖等溶質(zhì)會(huì)使表面張力升高,而諸如乙醇、高分子表面活性劑等的加入會(huì)使表面張力降低。在現(xiàn)階段本科實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中,對(duì)該實(shí)驗(yàn)的要求和目的為掌握最大氣泡壓力法測定溶液表面張力的原理和技術(shù),包括測量出純液體和不同濃度溶液的表面張力即可。所需要用到的儀器一般包括表面張力測定裝置(包括帶恒溫夾層的具支試管、毛細(xì)管、滴液漏斗、廣口瓶、數(shù)字微壓差儀),超級(jí)恒溫槽,燒杯等；所需用到的試劑包含蒸餾水、不同濃度的N-N-二甲基甲酰胺水溶液(分析純)。

然而,在長期的教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn),同學(xué)們會(huì)非常好奇氣泡從毛細(xì)管端脫離后,其脫離尺寸的大小具體為多少,毛細(xì)管的半徑的不同是否對(duì)氣泡的脫離有影響。而感興趣的原因是同學(xué)們在平常的生活中都玩過如下游戲：在水中加入適量的洗衣粉,混合均勻后制成肥皂水溶液,用圓珠筆外殼的一端蘸肥皂水后用力吹,能夠吹出不同形狀的氣泡；但如果用半徑尺寸大的圓珠筆外殼時(shí),發(fā)現(xiàn)并不能夠吹出氣泡,表明如若要吹出氣泡需要合適的毛細(xì)管半徑。那么,毛細(xì)管半徑與氣泡脫離時(shí)的尺寸半徑究竟有何聯(lián)系呢？面對(duì)學(xué)生們的疑問,一般的實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)教材中并未有過明確的計(jì)算方法,學(xué)生們在如何計(jì)算氣泡的脫離尺寸大小時(shí),常常疑問重重,或面對(duì)問題無從下手。基于此,為了解決上述問題,本文將詳細(xì)探索推導(dǎo)出氣泡脫離時(shí)的尺寸半徑,從而讓學(xué)生們不僅僅掌握表面張力的測量技術(shù),同時(shí)也可以更為深刻地理解和掌握在該過程中氣泡尺寸變化的整個(gè)過程。如圖2 所示為氣泡從毛細(xì)管端脫離瞬間的受力分析示意圖,單純考慮氣泡脫離毛細(xì)管端的受力,此時(shí)氣泡受到液體對(duì)其的浮力F浮作用,此外在脫離毛細(xì)管瞬間,吸附于毛細(xì)管底端的那一部分氣泡膜所產(chǎn)生的向下的壓力F壓的作用,其作用的垂直面積為πr2,該壓力限制了氣泡從毛細(xì)管端脫離并進(jìn)行上浮[4]。當(dāng)該氣泡發(fā)生瞬間脫離毛細(xì)管端時(shí),有：

而我們知道,F浮的計(jì)算公式如下：

其中,ρ 為該液體的密度,g 為重力加速度,V排為氣泡排開液體的體積,也即為氣泡體積,d 為脫離瞬間氣泡的半徑。

而對(duì)于F壓的計(jì)算,有如下公式：

其中,ΔP 為氣泡表面張力所產(chǎn)生的附加壓力,r 為毛細(xì)管的半徑。

利用拉普拉斯方程,將方程帶入到上述方程(3)中可以得到F壓=2σπr,將該方程和上述方程(2)代入到方程(1),我們可以得到：

化簡后,即可得到氣泡脫離毛細(xì)管時(shí)的半徑d 的計(jì)算公式為：

如公式(5)所示,即為氣泡從毛細(xì)管端脫離瞬間,該氣泡所獲得的最大半徑d 的計(jì)算公式。通過方程(5)我們發(fā)現(xiàn),液體的表面張力σ、毛細(xì)管端的半徑r 對(duì)氣泡所獲得的最大半徑具有正影響；而液體的密度ρ 及重力加速度g 對(duì)其具有負(fù)影響。因此,毛細(xì)管端半徑r 越大,氣泡需要脫離毛細(xì)管端的半徑也需要越大。但是,過大的毛細(xì)管半徑要求毛細(xì)管端口初始形成曲率半徑大的彎曲液面,這對(duì)于粘度或彈性很差的氣泡膜來說是很困難的[5]。因此,當(dāng)我們用圓珠筆外殼蘸肥皂水吹氣泡時(shí),圓珠筆外殼的半徑尺寸不能夠過大,以避免不能夠形成初始的氣泡膜。

圖2 氣泡從毛細(xì)管端脫離瞬間的受力分析

綜上所述,本文基于多年的物理化學(xué)本科教學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步思考,立足于學(xué)生們對(duì)最大泡壓法測量液體表面張力本科實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中的疑問,嘗試進(jìn)一步探索氣泡從毛細(xì)管端脫離瞬間其尺寸的大小計(jì)算。基于對(duì)氣泡的受力分析,確定了在單一因素影響下氣泡脫離毛細(xì)管端面時(shí)氣泡尺寸的計(jì)算公式。作為對(duì)該實(shí)驗(yàn)的一些探索性分析,對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究中學(xué)生們感興趣的一些問題做了初步討論和回答,在針對(duì)該實(shí)驗(yàn)教學(xué)上具有一定的價(jià)值,能夠讓學(xué)生們更為深刻地理解毛細(xì)管端氣泡從形核-生長直至脫離的整個(gè)過程,激勵(lì)學(xué)生們從興趣出發(fā),勇于探索分析日常生活中遇到的問題并用相應(yīng)的科學(xué)原理和科學(xué)方法進(jìn)行分析和解決。