基于概率理論的彈簧消隙齒輪受信儀空程誤差分析?

（92941部隊(duì)41分隊(duì) 葫蘆島 125001）

1 引言

伺服系統(tǒng)中受信儀的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)屬于小模數(shù)齒輪傳動(dòng)，其空程誤差是小模數(shù)齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)的核心指標(biāo)，是影響伺服精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性的決定性因素［1］。由于影響空程誤差的因素較多（如溫度、機(jī)械加工、安裝等），要在一定的條件下使得受信儀的空程誤差滿足系統(tǒng)指標(biāo)，就要采用一些特殊的措施來調(diào)節(jié)控制空程誤差的數(shù)值，從而來滿足受信儀的精度要求。目前使用最為廣泛的是采用彈簧消隙齒輪機(jī)構(gòu)。這種消隙機(jī)構(gòu)從原理上消除了由齒輪本身制造誤差引起的幾乎所有的齒隙誤差［2］，因此被大量的應(yīng)用于數(shù)據(jù)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中。但是，在實(shí)際的應(yīng)用中，彈簧消隙齒輪機(jī)構(gòu)中的空程誤差并不能被完全消除，對(duì)受信儀的精度產(chǎn)生一定程度的影響。本文以某型受信儀的彈簧消隙齒輪機(jī)構(gòu)為分析模型，考慮到彈簧消隙、彈性變形等因素的影響，引入概率統(tǒng)計(jì)的理論，建立一種符合實(shí)際、經(jīng)濟(jì)可靠的彈簧消隙齒輪空程誤差的計(jì)算方法。

2 概率統(tǒng)計(jì)理論的引入

目前關(guān)于彈簧消隙小模數(shù)齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的空程誤差計(jì)算，仍普遍采用將各種因素極值相加來計(jì)算最大空程誤差的數(shù)值，但這種情況只是在各影響因素處于極限值時(shí)才出現(xiàn)，事實(shí)上，各影響因素很少可能會(huì)同時(shí)處于最大值和同一相位。所以用極值法得到的數(shù)值，對(duì)絕大多數(shù)設(shè)計(jì)來說是不切實(shí)際偏大的數(shù)值，從而不合理地提高了制造精度，導(dǎo)致不經(jīng)濟(jì)的后果。由此可以看出，行業(yè)內(nèi)對(duì)彈簧消隙齒輪傳動(dòng)鏈空程誤差的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)還有一定偏差［3］，尚沒有一種完善、可靠的統(tǒng)計(jì)方法可供參考。

本文在分析彈簧消隙齒輪受信儀空程誤差時(shí)，引入了概率統(tǒng)計(jì)理論，認(rèn)為齒輪誤差及其它誤差都是連續(xù)型隨機(jī)變量，各項(xiàng)誤差源的分布都是相互獨(dú)立的，遵循正態(tài)分布或其他簡單的典型分布規(guī)律［4］。通過分析各環(huán)節(jié)隨機(jī)誤差分布情況，忽略影響很小的軸系誤差，運(yùn)用合理的統(tǒng)計(jì)方法，推導(dǎo)出彈簧消隙齒輪受信儀空程誤差的數(shù)學(xué)計(jì)算式，以此得到較為經(jīng)濟(jì)可靠的設(shè)計(jì)。

3 消隙齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)空程誤差分析

影響消隙齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)空程誤差的因素主要有：齒輪齒厚減薄量、齒輪副中心距誤差、齒輪的幾何偏心、齒形誤差、軸承的徑向游隙、軸承內(nèi)外圈的徑向偏擺、溫度變化和彈性變形［5～6］。

3.1 彈簧加載消隙齒輪對(duì)空程誤差影響分析

彈簧加載消隙齒輪是利用彈簧的彈力來調(diào)節(jié)雙片齒輪的齒厚，從而達(dá)到控制空程誤差的目的。如圖1所示，該彈簧加載消隙齒輪是由固定齒輪和浮動(dòng)齒輪組成：固定齒輪被固定在傳動(dòng)軸上，浮動(dòng)齒輪空套在固定齒輪上，兩片齒輪之間由加載彈簧連接。

彈簧加載齒輪傳動(dòng)的消隙原理在于：當(dāng)雙片齒輪與配偶齒輪嚙合時(shí)，彈簧將迫使浮動(dòng)齒輪相對(duì)于固定齒輪作微量轉(zhuǎn)動(dòng)，而使齒輪副獲得緊密的雙面嚙合，利用彈簧力消除了嚙合齒非工作面間的間隙，從而達(dá)到減小空程誤差的目的。因此，只要控制好加載彈簧的彈性力矩，使得彈性力矩大于負(fù)載力矩，雙片齒輪就能夠消除由齒輪本身制造引起的全部齒隙，從而有效地消除空程誤差，并且與齒輪本身的精度幾乎無關(guān)。但彈性力矩也不宜過大，否則導(dǎo)致齒面磨損加劇。縱上所述，齒輪的加工誤差，包括齒輪齒厚減薄量、齒輪副中心距誤差、齒輪的幾何偏心、齒形誤差等因素對(duì)消隙齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)空程誤差的影響可以不予考慮。

3.2 軸承徑向間隙對(duì)空程誤差影響分析

由于軸承徑向間隙屬于隨機(jī)誤差，因此根據(jù)工程設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，在分析軸承徑向間隙對(duì)齒輪傳動(dòng)精度的影響時(shí)，一般認(rèn)為軸承徑向間隙?S應(yīng)服從正態(tài)分布［7～8］，如圖2所示。

圖2 ?S概率分布圖

式中，μS為由徑向間隙引起的齒輪副圓周側(cè)隙的均值，μm；?S為徑向間隙誤差，μm；?Sm為徑向間隙誤差的平均值，μm；?Ss、?Si為徑向間隙誤差的上偏差和下偏差，μm；αn為法向壓力角，度；β為螺旋角，度；βb為基圓螺旋角，度。

空程誤差是當(dāng)主動(dòng)輪逆轉(zhuǎn)時(shí)從動(dòng)輪所滯后的轉(zhuǎn)角，此轉(zhuǎn)角在主動(dòng)輪逆轉(zhuǎn)中表現(xiàn)出來。因此，在主動(dòng)輪上所表現(xiàn)出來的由軸承徑向間隙引起的空程誤差?φS為

式中，D為主動(dòng)輪的分度圓直徑，mm。

3.3 環(huán)境溫度對(duì)空程誤差影響分析

在溫度變化條件下，運(yùn)轉(zhuǎn)的齒輪的嚙合要尺寸變化的影響，如果齒輪、軸和箱體都用同一材料制成，就沒有很大的側(cè)隙變化。但是，假如這三者的材料的膨脹系數(shù)不相同，則在溫度變化大的條件下，對(duì)側(cè)隙的影響是很大的。因此，要考慮到溫度的影響并設(shè)計(jì)出在惡劣條件下運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)能避免干涉的齒輪嚙合，而且要考慮在其他在極端的溫度條件下擴(kuò)大了的側(cè)隙值。為保證齒輪副正常傳動(dòng)，應(yīng)考慮熱變形所引起的側(cè)隙變化量。

由環(huán)境溫度變化引起的圓周側(cè)隙jtT可用下式來計(jì)算：

式中：μT為由環(huán)境溫度變化引起的齒輪副圓周側(cè)隙的均值，μm；a為齒輪副的中心距，mm；αL1、αL2為齒輪和箱體材料的線膨脹系數(shù)，/10?6℃；?t1、?t2為齒輪和箱體與標(biāo)準(zhǔn)溫度( )20℃ 的溫度之差，℃。

若計(jì)算結(jié)果為正值，表示齒輪的熱脹量大于箱體的熱脹量，迫使側(cè)隙減小。如果齒輪副預(yù)留的側(cè)隙過小，則有可能使齒輪卡死。若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，情況便與此相反，表示側(cè)隙增大。

則在主動(dòng)輪上所表現(xiàn)出來的由環(huán)境溫度引起的空程誤差為

式中，D為主動(dòng)輪的分度圓直徑，mm。

3.4 彈性變形對(duì)齒輪副側(cè)隙的影響

材料的彈性是側(cè)隙的另一個(gè)來源。所有材料在載荷作用下都會(huì)撓曲，其變化量與彈性模數(shù)和幾何尺寸成比例。除了輪齒的撓曲外，還應(yīng)該考慮軸的撓曲等。在齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)工作過程中，嚙合力的變化將使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲，從而使輪齒發(fā)生彎曲變形等，當(dāng)反向回轉(zhuǎn)時(shí)，這些因素都將影響齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的空程誤差［9～10］。

將齒輪軸轉(zhuǎn)化為簡支梁力學(xué)模型，如圖3所示。

圖3 彈性變形示意圖

在嚙合力方向上的撓度f為

式中，F(xiàn)為齒輪嚙合力，N；E為軸材料的彈性模量，MPa；I為軸材料的截面慣性矩，mm4；l為齒輪軸兩端支撐點(diǎn)距離，mm；a為齒輪嚙合點(diǎn)距齒輪軸一端支撐點(diǎn)的距離，mm。

則彈性變形引起的圓周側(cè)隙jtf為

式中：μf為由彈性變形引起的齒輪副圓周側(cè)隙的均值，μm。

則在主動(dòng)輪上所表現(xiàn)出來的由彈性變形引起的空程誤差?φf為

式中，D為主動(dòng)輪的分度圓直徑，mm。

環(huán)境溫度變化引起的尺寸變化、彈性變形等所帶來的側(cè)隙不是直接從幾何設(shè)計(jì)尺寸中表示出來，而只能從對(duì)溫度范圍和動(dòng)態(tài)力的實(shí)際情況的分析計(jì)算中推斷出來。

4 單級(jí)消隙齒輪機(jī)構(gòu)空程誤差分析

單級(jí)消隙齒輪機(jī)構(gòu)的圓周側(cè)隙為

式（13）中分別考慮了軸承徑向間隙、環(huán)境溫度的變化以及彈性變形對(duì)消隙齒輪機(jī)構(gòu)空程誤差的影響。

敏感報(bào)告（S）表示，如果抗菌藥在感染部位達(dá)到通常可達(dá)到的濃度，則該抗菌藥可能抑制病原菌的生長。中介報(bào)告（I）表示，結(jié)果應(yīng)該被認(rèn)為是模棱兩可，如果微生物對(duì)替代的，臨床上可用的藥物不完全敏感，則應(yīng)重復(fù)測(cè)試。這一類別意味著，在藥物生理濃縮的身體部位，或在藥物可使用的高劑量情況下，臨床可能適用。這一類別還提供了一個(gè)緩沖區(qū)，防止小的、沒有控制的技術(shù)因素，造成解釋的重大差異。耐藥報(bào)告（R）表示，如果抗菌藥在感染部位達(dá)到通常可達(dá)到的濃度，該抗菌藥不太可能抑制病原菌的生長；應(yīng)該選擇其他治療方法。

由于各項(xiàng)因素相互獨(dú)立，因此采用各項(xiàng)空程誤差迭加統(tǒng)計(jì)，這也是最安全的估計(jì)方法［11］。由此可得：

在主動(dòng)輪上所表現(xiàn)出來的單級(jí)消隙齒輪機(jī)構(gòu)的空程誤差?φ為

5 多級(jí)消隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)空程誤差統(tǒng)計(jì)分析

以n級(jí)消隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為例，如圖4所示，I為輸入軸，O為輸出軸。

圖4 n級(jí)消隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

則n級(jí)消隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的空程誤差如式（16）所示：

式中，?φO為系統(tǒng)的空程誤差，arc min.；?φK為以主動(dòng)輪空程誤差表示的第K級(jí)消隙齒輪機(jī)構(gòu)的空程誤差，arc min.；iKO為從第K級(jí)消隙齒輪機(jī)構(gòu)的主動(dòng)輪到輸出軸O的傳動(dòng)比。

則輸出軸O上的空程誤差為

式中，μφK為第K級(jí)消隙齒輪機(jī)構(gòu)在小齒輪上的空程誤差，arc min。

6 某型彈簧消隙齒輪受信儀空程誤差計(jì)算例

設(shè)計(jì)條件如下：

2）從輸入軸到精自整角機(jī)的傳動(dòng)比為

i12×i34=3.6176×5.1667=18.6912；

從精自整角機(jī)到粗自整角機(jī)的傳動(dòng)比為

i56×i78=4×4=16；

從輸入軸到粗自整角機(jī)的傳動(dòng)比為：

i12×i34×i56×i78=3.6176×5.1667×4×4=299.0588；

3）軸承選用深溝球軸承，0組游隙，其徑向游隙2μm ～13μm ；

4）齒輪2、4、6、8采用雙片齒輪彈簧消隙結(jié)構(gòu)；

5）粗自整角機(jī)的精度為10′，精自整角機(jī)的精度為 3′；

6）齒輪及齒輪軸采用45＃鋼，殼體采用普通碳鋼。

圖5 某型彈簧消隙齒輪受信儀傳動(dòng)系統(tǒng)示意圖

受信儀的精度以輸入軸到精自整角機(jī)所產(chǎn)生的空程誤差為主要衡量標(biāo)準(zhǔn)。按本文介紹的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算，所得到的結(jié)果是：

1）由輸入軸到粗自整角機(jī)所產(chǎn)生的空程誤差（折算到齒輪8上）為1.24′，小于粗自整角機(jī)的精度10′，且數(shù)值較小，滿足設(shè)計(jì)要求；

2）由輸入軸到精自整角機(jī)所產(chǎn)生的空程誤差（折算到齒輪4上）為1.52′，小于精自整角機(jī)的精度 3′。

經(jīng)批次檢驗(yàn)，該型彈簧消隙齒輪受信儀傳動(dòng)系統(tǒng)輸入軸到精自整角機(jī)的空程誤差（折算到齒輪4上）為 0.78′～0.92′，因此，本文介紹的計(jì)算方法是經(jīng)濟(jì)可靠的，按此方法計(jì)算而得的空程誤差的數(shù)值滿足設(shè)計(jì)要求。

7 結(jié)語

通過上述分析計(jì)算可以看出，本文在對(duì)某型彈簧消隙齒輪受信儀傳動(dòng)系統(tǒng)空程誤差的分析過程中，引入了概率統(tǒng)計(jì)的概念，避免了因傳統(tǒng)算法而導(dǎo)致的不合理的公差要求，可靠地滿足了系統(tǒng)性能指標(biāo)，較為客觀地反映了彈簧消隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)空程誤差的真實(shí)情況，后期可以通過增大軸徑設(shè)計(jì)、減少裝配偏心以及提高彈簧加載力矩等措施進(jìn)一步減少受信儀的空程誤差。通過本文的相關(guān)論述，使彈簧消隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)空程誤差的分析有一個(gè)比較具體的理論依據(jù)，減少了設(shè)計(jì)盲目性和難度，指明了改進(jìn)方向，對(duì)以后的工程設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義［12］。