看似無圓 實則有圓
——淺談隱圓問題的求解策略

龔瓊瑩

（福建省石獅市實驗中學，福建石獅 362700）

引 言

在初中數學考試中，圓知識點一直是重點考查的內容，且考查的方式也在不斷變化，對學生學習能力有更高的要求，其中最為重要、考查力度大的是“隱”圓問題。該類問題的難點是如何快速破解題意，找到圓。因此，如何讀取問題，挖掘條件，將圓化“隱”為“顯”，是主要的解題方向，也是教師教學的重點。

一、借助圓的定義，構造輔助圓

例1：已知ΔABC，在ΔABC外一點D，使得AB=AC=AD，其中∠CBD=2 ∠BDC，∠BAC=44°，求∠CAD的度數。

簡析：通過已知條件發現：AB=AC=AD，所以構造一個以點A為圓心，AB長為半徑的圓，其中點B、C、D都在圓上，如圖1所示。在圓A中，根據圓周角定理：在同圓中，同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，所以∠CAD=2 ∠CBD，∠BAC=2 ∠BDC，又因為∠CBD=2 ∠BDC，所以∠CBD=∠BAC=44°，所以∠CAD=88°.

評析：在這類題中主要是根據圓的定義“到定點距離等于定長的點的集合是圓”構造隱圓，從而將直線形中的角度問題轉化為圓形的角度問題，即根據圓周角定理來進行角度的轉化。

圖1

二、借助同斜邊的直角三角形，構造輔助圓

例2：如圖2所示，在中RtΔABC，∠ABC=90°，∠ACB=30°，在RtΔADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，若BD=8，則AB為多少?

簡析：因為∠ABC=90°，∠ADC=90°，所以A、B、C、D四點共圓。如圖3所示，以AC為直徑作圓，則∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=∠ACB=30°。如圖4所示，作DE⊥BA延長線，垂足為點E，在DE上取點F，使得DF=AF，在RtΔADE中，∠ABD=45°，BD=8，可得BE=DE=，∠ADF =∠BDE-∠ADB=45°-30°=15°。因為AF=DF，則∠FAD=∠ADF=15°，所以∠AFE=30°。設AE=x，則AF=DF=2x，EF=x，所以DE=x+2x=，解得x=-，所以

圖2

圖3

圖4

評析：本題通過同斜邊的直角三角形頂點共圓來構造輔助圓，運用“在圓內，直徑所對的圓周角為直角；如果圓周角為直角，那么它所對的弦是直徑”來構造輔助圓，然后利用圓周角定理，進行角的轉化，使已知角和線段集中在同一個三角形中，再通過構造直角三角形，運用方程思想列等式解題。本題也可以用“一組對角互補的四邊形頂點共圓”構造輔助圓。

三、借助圓的半徑相等，構造輔助圓

例3：如圖5所示，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3），在坐標軸上找一點P，使得ΔAOP是等腰三角形，則這樣的點P共有多少個？

簡析：由于本題等腰三角形的腰與底邊不確定，所以需要分情況討論。如圖6所示，第一種情況：OP=AP。這種情況只需做OA的中垂線即可，中垂線與坐標軸的兩個交點P1、P2即為所求的點。

如圖7所示，第二種情況：OA=AP。以A為圓心，OA長為半徑構造圓，圓與坐標軸的兩個交點P3、P4即為所求的點。

第三種情況：OA=OP。依然采用作圓的方式，以點O為圓心，OA長為半徑作圓，圓與坐標軸的四個交點P5、P6、P7、P8即為所求的點。綜上所述，P點共有8 個。

圖5

圖6

圖7

評析：在這類題中主要根據“圓半徑相等”構造隱圓，利用“兩圓一中垂線”尋找與坐標軸的交點，從而確定等腰三角形的個數。

四、借助定弦定角，構造輔助圓

例4：已知在等邊三角形ABC中，AB=4，點D、E分別為BC、AC上的點，且BD=CE，AD與BE相交于點P，求CP的最小值。

簡析：因為ΔABC為等邊三角形，所以AB=BC，∠C=∠ABD=60°，又因為BD=CE，所以ΔADB≌ΔBEC．

又因為∠APE=∠BAD+∠ABE，所以∠APE=∠CBE +∠ABE=∠ABC=60°，又因為∠BAD=∠CBE，所以∠APB=120°．

因為AB定長，∠APB=120°定角，滿足“定弦定角”模型，如圖8所示，易得∠AOB=120°，點P的運動軌跡就是以O為圓心，OA為半徑的圓弧AB，所以當O、P、C三點共線時，CP取得最小值．

在等腰三角形OAB中，AB=4，∠AOB=120°，易得在RtΔOBC中，∠BOC=60°，易 得所以

評析：∠APB始終為120°，再有定線段AB，直接就由“定弦定角”構造隱圓。本題CP的最小值問題則轉化為點與圓之間的最值問題[1]。

圖8

五、解題能力的培養

通過對上述四類問題的解析發現，“隱”圓問題考查的范圍較廣，但是在構造圓的過程中，所運用的都是圓的性質與定義。因此，在平時教學中，教師應注重培養學生的隱圓解題能力。第一，幫助學生建立常見的隱圓模型，把握住條件中的固定形式，熟悉隱圓模型，有利于學生形成幾何直觀能力，快速構造隱圓[2]；第二，加強圓基礎知識的關聯特性，抓住圓的性質、定理等內容，用整體性教學法尋找圓與直線形幾何的關聯性；第三，鍛煉學生用多種方法解題的習慣，使其注重積累。以上三點教學建議，是加強教學的重要手段，能幫助學生在面對“隱”圓問題時，快速地找到解題的方法[3]。

結 語

隱圓問題的類型還有很多，文中所列的隱圓類型是常考類型。上述四類問題，從表面上看似乎與圓無關，但如果學生能深入挖掘題目中的隱含條件，善于聯想所學定理，巧妙地構造符合題意特征的輔助圓，再利用圓的有關性質來解決問題，往往能起到化隱為顯、化難為易的解題效果。