聚波水道水動力特性的解析分析

崔琳， 耿敬， 趙玄烈， 張洋

(1.哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001； 2.國家海洋技術中心，天津 300112)

隨著化石能源的短缺及環境污染嚴重，海洋能利用成為一種有效的解決途徑，其中波浪能資源豐富，具有很好的開發前景[1]。但是由于我國海域的波能流密度相比歐洲國家較低，致使傳統的振蕩浮子和振蕩水柱等波能裝置的波能轉化功率低和開發成本高，制約了波浪能裝置的商業化發展[2-3]。利用聚波裝置先將波浪能集聚后再進行俘獲波能，可以使波浪功率聚集在空間較小的波浪能轉換裝置上，提升波能轉化裝置的工程化應用。

國內外開展了聚波裝置研究，聚波裝置集聚入射波能量。現有的聚波方法有共振聚波、折射聚波、反射聚波等[4]，利用布拉格共振增大反射波高[5]，但是諸多方法處于試驗證明和理論分析階段。楊志堅等[6]利用模型試驗探究喇叭形狀開口的聚波水道的水動力特性，利用喇叭形前墻及收縮水道可提高聚焦波浪波幅。史宏達等[7]針對簡單的聚波裝置的波浪集聚行為開展數值模擬研究，分析聚波裝置前端最優開角，探究了收縮角、收縮坡道長度、收縮口門寬度和入射波高對聚波特性的影響，并建立波高集聚系數經驗擬合公式，但是對其物理機理原因未深入分析。Saadat等[8-9]提出一種Helmholtz共振器，可實現凹槽內水體共振。

將海工結構物與波能裝置集成設計，可實現海洋結構物空間共享和功能共享，又可實現海洋結構物多功能化，其中包括防波堤與振蕩水柱裝置[10-14]或振蕩浮子裝置[15-16]集成設計，研究表明集成系統一方面可以提高波能裝置性能，另一方面可以改善防波堤消浪性能。因此將聚波結構與波浪能轉化裝置集成設計研究，可有效提高波浪能轉化效率，降低聚波裝置的波浪力。秦輝等[17]提出一種帶收縮水道的沉箱防波堤兼振蕩水柱裝置結構形式。Zhang等[18]利用數值模擬方法探究放置在收縮口處波能轉化裝置的水動力特性，發現聚波裝置可有效提高波能轉化裝置的運動響應幅值。在實際工程應用中，如已建成的挪威的350 kW固定式收縮波道裝置及丹麥的Wave Dragon[19-20]，研究表明收縮坡道的存在可有效地提高該類型波浪能發電效率。此外，越浪式收縮水道結構形式也應用于建造在挪威西部海岸的SSG裝置[21]和建造于意大利那不勒斯港的OBREC裝置[22]。

本文基于線性勢流理論，采用匹配特征函數展開法和邊界逼近法建立波浪與收縮波道相互作用的解析模型，通過引入波幅放大因子描述聚波水道結構波浪聚焦行為，主要探討聚波室寬度比、長度比和收縮坡道長度比對聚波水道結構聚波效果的影響規律，并分析聚波行為產生的物理原因。

1 波浪與聚波結構作用數學模型

1.1 問題描述

聚波水道結構如圖1沉箱之間構成聚波室，收縮坡道位于沉箱迎浪側。選取笛卡爾坐標系o-xyz，o-xy平面在自由水面上，原點位于聚波室迎浪側中點處，z方向為沿著水深垂直向上。聚波水道結構長度為l=l1+l2，寬度為2B，其中收縮坡道長度為l1，收縮夾角為a，矩形沉箱長度為l2，寬度為a，聚波室寬度為2b。波浪沿x軸負方向正向入射，入射波波長、波幅、頻率和周期分別為L、A、ω和T。考慮勢流理論與線性簡諧波，時間和z因子可分離[10]，速度勢為Ф(x,y,z,t)=Re[φ(x,y)Z1(z)e-iωt]，水深h，Z1(z)=cosh[κ1(z+h)]/cosh(κ1h)，波數κ1滿足色散方程：ω2=gκ1tanh(κ1h)。空間速度勢φ(x,y)滿足Helmholtz方程[23]：

(1)

入射勢表達式為：

(2)

1.2 邊界條件

計算流域劃分為4個子流域Ωi(i=1，2，3，4)，其中Ω1區域為：l1≤x≤+∞和-B≤y≤B；Ω3區域為：-l2≤x≤0和-(B-a)≤y≤(B-a)；Ω4區域為：-∞≤x≤-l2和-B≤y≤B。考慮流域Ω2收縮坡道邊界與x和y方向不平行，無法直接通過分離變量法找到滿足該邊界條件的特征函數，因此采用邊界逼近法對收縮坡道邊界離散成若干個連續的矩形流域，然后再利用傳統的分離變量和匹配特征函數展開法求解各離散流域速度勢。當邊界的離散數量達到一定值時，滿足若干個矩形面的特征函數逼近滿足收縮邊界的特征函數，進而可以得到聚波水道結構解析方法。圖1中流域Ω2，由若干個流域Ip(hp-1≤x≤hp，-Vp≤y≤Vp)組成，其中p=1, 2,…,M，對應速度勢為φ2_p(x,y)。假設收縮邊界等比例離散為M個直線段，各流域邊界條件為：

(3)

1.3 繞射勢求解

根據邊界條件和Helmholtz控制方程，可得到各流域速度勢表達式為：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

φ1=φ2_1,x=l1,-(B-a/M)≤y≤(B-a/M)

(11)

圖1 聚波水道結構示意

(12)

φ2_M=φ3,x=0,-b≤y≤b

(13)

φ3=φ4,x=-l2,-b≤y≤b

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

1.4 水動力參數

對于聚波水道結構，反射系數Kr為聚波水道迎風側的反射波高與入射波高比值，透射系數Kt為背風側的透射波高與入射波高比值，具體表達式為：

(19)

(20)

式中：k為κ1B/π+1向下取整的最大整數。

當波浪進入聚波水道會發生波浪反射和聚焦現象，聚波室內的波幅會相應增加，因此該位置也是波浪能俘獲的理想位置，可放置波浪能轉換裝置。因此，定義聚波室中點處波幅Ag與入射波波幅A的比值為波幅放大因子ζ，其表達式為：

ζ=Ag/A

(21)

考慮到波浪能量與周期和波高要素相關，因此波幅放大因子可有效反映聚波水道內波浪聚焦行為，波幅放大因子越大，表示聚波水道的聚焦波浪能效果越好。

2 解析模型驗證

2.1 收斂性驗證

在理論求解過程中，利用邊界逼近法處理收縮邊界，當邊界的離散數量達到一定值時，滿足若干階梯面的特征函數逼近滿足收縮斜面邊界的特征函數，進而可以得到收縮水道水動力問題的解析方法。利用匹配特征函數展開法確定速度勢級數解中的未知系數，必須保證截斷值N增大時，其結果時收斂的。計算參數為：a/h=1/3、l2/h=1/2、B/h=2/3和l1/h=1/3(h=6.0 m)。可以看出，隨著離散數量和y方向特征函數的增大，計算結果趨近于收斂，因此在后文計算中取M=10和N=15。

圖2 解析模型結構收斂性計算結果

2.2 波能流守恒驗證

圖3 和Kt計算結果

2.3 與已發表結果對比

假設沉箱長度為零，收縮長度為零(計算取a/h=0.5、B/h=0.75和l1/h=l2/h=10-4)，理論解可以分析周期性等間距單層薄板結構的反射系數和透射系數。從對比圖中可以看出，本文解析模型計算結果與Porter和Evans結果[24]吻合較好。

圖4 本文理論解和Porter & Evans 理論結果[24]對比

3 結果分析與討論

影響聚波水道水動力特性的因素有很多，史宏達等[7]通過物理模型試驗研究了規則波作用下收縮坡道波浪集聚行為的影響因素，主要包括收縮角度、收縮坡道長度、收縮口門寬度和入射波高要素。所以本文主要考慮聚波室寬度、長度、收縮坡道長度的變化對聚波水道反射系數、透射系數和波幅放大因子的影響，研究聚波水道的水動力特性，進一步分析收縮坡道的波浪聚焦效應。

3.1 聚波室寬度比對水動力特性的影響

圖5為不同聚波室寬度比(b/a)下聚波水道反射系數、透射系數和波幅放大因子的計算結果圖，計算參數為：a/h=1/3、l2/h=1/3、l1/h=1/3和α=45°。反射系數隨著無因次波數的增大呈拋物線變化趨勢。透射系數隨波數的變化趨勢與反射系數的變化趨勢相反。在某一頻率下發生全反射(Kr=1.0)或全透射現象(Kt=1.0)，隨著聚波室寬度比增大，全反射現象及全透射現象的發生頻率向低頻區移動。前者主要是由于某一特定頻率下收縮坡道和聚波室流域產生的反射波的相位相同，造成強反射現象；對于后者的全透射現象，當入射波波長L(=2π/κ1)等于收縮坡道寬度(2B)，在y方向上發生波浪共振，透射系數發生突變值，產生多階透射現象，即透射系數Kt表達式中存在整數k>1，因此Kt由A1,A2,…,Ak組成，反之，Kt=|A1|。值得注意的是小寬度比b/a=0.5下，在計算域范圍內(0≤κ1h≤6)，入射波波長(2π/κ1)大于收縮坡道寬度(2B)，因此y方向未發生波浪共振，即未發生多階透射現象。

圖5 不同聚波室寬度下水動力參量結果

3.2 聚波室長度比對水動力特性的影響

圖6為不同聚波室長度比(l2/a)下聚波水道反射系數、透射系數和波幅放大因子的計算結果圖，計算參數為：a/h=1/3、b/h=1/3、l1/h=1/3和α=45°。從圖中可以看出，反射系數總體趨勢隨著無因次波數的增大呈拋物線變化，但是隨著聚波室長度比增大，聚波水道結構出現全反射和多階透射現象，且全反射現象發生頻率向低頻區移動。

圖6 不同聚波室長度下水動力參量結果

波幅放大因子變化趨勢與圖5變化趨勢相似，且聚波室內波浪共振頻率和波幅均隨著聚波室長度的增大而增大；在高頻區，波幅放大因子峰值附近變化平緩，主要由于全透射引起。值得注意的是在大長度比(l2/a=2.5)，波幅放大因子變化較小，波浪聚焦效果不佳。

3.3 收縮坡道長度對水動力特性的影響

圖7為不同收縮坡道長度比(l1/a)下聚波水道反射系數、透射系數和波幅放大因子的計算結果圖，計算參數為：a/h=1/3、l2/h=2/3和b/h=1/3。為了研究不同收縮情況下的波浪聚焦，改變收縮坡道長度調整收縮角度a。隨著角度的增大，反射系數變化趨勢與圖3變化趨勢相似，但是在高頻區出現峰值。全反射的現象發生頻率向低頻區移動，同時出現異常透射現象。

波幅放大因子存在2個峰值，在低頻區，波幅放大因子隨著角度的增大而增大，但是波浪共振峰值變化尖銳，不利于波浪能量的集聚；在中頻區，波幅放大因子存在零點，對應發生全反射現象；在高頻區，波幅放大因子在3.0左右，且小角度下(l1/a=0.5)出現共振波高。

圖7 不同聚波水道長度下水動力參數結果

4 結論

1)聚波室寬度比的增大可有效提高波幅放大因子，增強聚波水道的聚波效果，但是聚波水道結構在某一頻率下出現全反射或多階透射現象，波幅放大因子增大不明顯，聚波效果不顯著。

2)隨著聚波室長度的增大，聚波室內波浪共振頻率朝低頻區移動，但在相同頻率下發生垂直于入射波方向的波浪共振現象，對比聚波室發生沿入射波方向波浪共振下，波幅放大因子峰值較小。

3)全反射現象隨著聚波室寬度比、長度比和收縮坡道長度比增大向低頻區移動，全透射現象與聚波水道垂直于入射波方向長度有關。

4)波幅放大因子幅值隨著收縮角度增大而增大，收縮角度改變聚波室內波浪共振發生頻率，但是在收縮角度較大時，波幅放大因子峰值變化尖銳，整體聚波效果不佳。

本文主要基于勢流理論建立的波浪與聚波水道相互作用的解析模型，實驗室環境下聚波水道的水動力特性研究待進一步開展。