考慮凍結管影響范圍的多管凍結溫度場研究

向 亮， 葉 飛， 梁 興， 歐陽奧輝， 趙汝亮， 3

(1. 中鐵第一勘察設計院集團有限公司， 陜西 西安 710043； 2. 長安大學公路學院， 陜西 西安 710064；3. 天津市市政工程設計研究總院， 天津 300450)

0 引言

人工凍結法加固地層效果良好、地表沉降易控制，因此在地下空間領域應用越來越廣泛，對其施工過程中產生的溫度場的研究也如火如荼[1-3]。

目前，研究人工凍結溫度場的手段很多，其中包括數值模擬、模型試驗、理論分析以及現場實測調研等[4-6]。1954年，特魯巴克[7]首先提出了單管凍結溫度場的計算公式； 巴霍爾金基于理想凍結管相互影響模型和水力學相關概念得到單排管和雙排管凍結壁交圈后的溫度場分布特點[1]。文獻[8-9]提出單排管凍土帷幕溫度場的計算公式，并在實際工程中得到廣泛實踐。汪仁和等[10]基于平面單管傳熱模型，提出了雙孔和多孔凍結的溫度場疊加公式。李方政[11]通過指數積分函數，假設單管凍結為一維軸對稱問題，得出人工凍土瞬態溫度場的解析解，并分析了凍結交圈時間和凍結發展規律。胡向東等[12]對特魯巴克解和巴霍爾金解進行修正，提出土體凍結溫度不為零時的凍結溫度場計算模型，并采用勢函數疊加原理提出單排、雙排和3排凍結管的穩態溫度場求解方法。劉健鵬等[13]針對南京地鐵盾構隧道端頭加固凍結，推導了多排管凍結壁的平均溫度計算公式。肖朝昀等[14]從凍結厚度和深度上分析了多排管局部凍結的溫度發展特征，并計算出了積極凍結期結束時的凍土壁厚度。楊平等[15]以軟土隧道聯絡通道凍結為背景，進行全程溫度實測，探索施工中溫度場的發展規律。對于平面斜交聯絡通道，馬俊等[16]通過溫度與位移實測，分析了凍結溫度場發展規律及地表位移變化規律。

實際工程中，凍結管的影響范圍并不是無限的，凍結管的布置間距往往會大于積極凍結期內單管凍結鋒面半徑。然而，目前，學者們考慮凍結管疊加影響范圍的較少。為提高凍結管溫度場計算的準確性，本文將凍結管影響范圍假定為雙管凍結范圍，并推導雙管凍結條件下疊加場范圍的溫度表達式，然后進行周期擴展，得到多管凍結條件下疊加溫度場的分布形式。同時，依托蘭州軌道1號線聯絡通道，通過數值模擬對推導的表達式進行驗證，最后按照工程實際布管進行計算，并對設計方案進行驗證。

1 多管凍結條件下疊加溫度場計算

1.1 單管凍結條件下的穩態溫度場計算

多管凍結溫度場可認為是考慮相互作用影響下的多個單管凍結溫度場的疊加，因此研究單管凍結是基礎。由于凍結管的半徑遠小于其長度，可將其作為平面內冷源的熱傳導問題進行研究。在計算分析之前先做如下假設：

1)凍結管的溫度輻射僅發生在垂直于軸線方向；

2)待凍結土體均質連續，且凍結前初始溫度相同；

3)無窮遠處的溫度為地層初始溫度；

4)假定土體凍結溫度為0 ℃;

5)不計相變發生的時間，不考慮水分遷移，當某點達到凍結溫度時，即可認為該位置土體已經凍結。

單管凍結計算模型如圖1所示。

Ⅰ為凍結區； Ⅱ為未凍區； r0為凍結管半徑； R為凍結鋒面半徑。

穩態溫度場是一種理想中的溫度分布模型，其溫度分布以固定形式表示，見式(1)。

(1)

式中： 溫度T為距凍結管中心的距離r的函數；r為任意點距離凍結管中心的距離；

由假設條件可得下列邊界條件：

T(R)=Td； (2)

T(r0)=Tp。 (3)

式(2)—(3)中：Td為凍結溫度；Tp為凍結管中心溫度；r0為凍結管半徑， m；R為凍結鋒面半徑(即凍結壁厚度)， m。

取凍結溫度Td為0 ℃時，代入邊界條件式(2)和式(3)可得特魯巴克單管凍結公式

(4)

1.2 雙管凍結條件下的疊加溫度場計算

由式(4)可知，在某一時刻單管凍結形成的溫度與距離呈對數函數單調變化。凍結管對未凍區的影響較小，且實際凍結管布置間距大于單管凍結鋒面半徑，因此可假設相鄰雙管凍結時僅2凍結管之間的區域受疊加影響，即圖2中x軸[O1,O2]區間，且以下計算坐標原點為O1。

圖2 雙管凍結計算模型

如圖2所示，2個凍結管的凍結鋒面剛好相切時，2個冷源周圍的溫度場是關于直線M1M2對稱的，因此可假設2個冷源同時開始凍結，研究范圍進而可縮小至[0,l/2]區間。

胡向東等[12]提出了溫度勢函數的概念，在單管凍結模型中，取半徑為r的一個圓形界面，其表達形式為

(5)

式中：Q是半徑為r的界面上任一點可通過的熱量， kJ/(m·s)；q是半徑為r的界面上單位時間單位長度上的總熱流量， kJ/(m·s)；C0為積分常數。

依照上述假定條件，相鄰雙管凍結時僅2個凍結管之間的區域受疊加影響。2場疊加范圍內任意點A(x,y)受相鄰2個凍結管的熱量QA(x,y)和QA′(x,y)的影響，受到的熱量之和

Q(x,y)=QA(x,y)+QA′(x,y)=

(6)

由于2個溫度的參數完全一致，A(x,y)點標量Q的表達式為

(7)

由此可得凍結鋒面和凍結管外表面上的標量值Qd和Qp。

(8)

(9)

由于凍結管半徑遠小于凍結管間距，即r0<

由式(8)和式(9)聯立可得

(10)

取凍結鋒面為標量Q的零點，可得

(11)

將式(10)和式(11)代入式(7)可得到雙場疊加區內Q的最終表達式：

(0≤x≤l)。

(12)

取土體的凍結溫度Td=0 ℃、Q=λT(λ為導熱系數)可求得雙管凍結條件下疊加場范圍的溫度表達式

(0≤x≤l)。

(13)

2 算例分析研究

2.1 紅砂巖地層算例分析

2.1.1 雙管溫度場分布

為驗證本文提出的溫度場計算模型的合理性，此處結合蘭州地鐵1號線聯絡通道所在的紅砂巖地層進行計算，并通過FLAC 3D進行算例的模擬計算，對結果進行分析和驗證。根據地勘報告和凍結設計方案，凍結計算參數取值見表1，紅砂巖地層熱物理參數見表2。

表1 凍結計算參數取值

表2 紅砂巖地層熱物理參數取值

根據設計要求，依托工程的凍結壁厚度需要在40 d達到單側1 m的厚度。取凍結壁厚度R為1 m、凍結管間距l為1 m，在凍結管中心溫度Tp取-28 ℃情況下，雙管凍結穩態溫度場分布如圖3所示。

圖3 雙管凍結溫度分布圖(l=1 m,R=1 m)(單位： ℃)

通過FLAC3D建立50 m×50 m×10 m的平板模型，模型初始溫度設置為-28 ℃，地層溫度設置為17.4 ℃，建立2個冷源(圓柱)，直徑為0.127 m，長度為10 m，間距為1 m，模型參數按表1和表2選取。通過模擬計算可以發現，在紅砂巖地層中，相同布置條件下，40 d時的雙管凍結壁厚度R剛好達到1 m，此時的溫度分布情況如圖4所示。

由圖3和圖4知，理論公式與數值模擬基本吻合，溫度變化規律保持一致。雙管凍結溫度場呈近橢圓形分布，并以兩管連線的中垂線為對稱軸。受相互作用最明顯的是兩凍結管之間的區域，兩邊外側部分受相鄰凍結管的影響作用較小，等溫線依舊近似呈同心圓分布。

圖4 雙管凍結模擬計算結果(l=1 m,R=1 m)(單位： ℃)

2.1.2 單排多管溫度場分布

根據假設，單排多管凍結條件下的溫度場函數可以看作是式(13)的周期函數。將x=0與x=l之間的函數圖像周期重復可得單排多管凍結情況下的溫度場分布。相同間距不同凍結壁厚度下的凍結溫度分布如圖5和圖6所示。

圖5 多管凍結溫度分布(l=1 m,R=1 m)(單位： ℃)

同雙管數值模擬類似，在平板模型中心布置10個大小相同的凍結管，間距1 m，單側凍結壁厚度為1.6 m，凍結溫度場如圖7所示。

由圖6和圖7可知，理論公式與數值模擬計算的結果基本吻合，溫度變化規律保持一致。在單排多管凍結條件下，相鄰兩管之間的凍結鋒面及等溫線都呈波浪形分布，且相鄰凍結管連線的中垂線上凍結壁厚度達到最大值，與巴霍爾金單排凍結模型的結果一致。保持凍結管間距l不變，增加凍結管豎向凍結壁厚度R，整體凍結壁厚度也將相應的增加，反映在實際工程中，即凍結管布置完畢后，可通過調整冷媒溫度來間接控制凍結壁厚度。

圖6 多管凍結溫度分布(l=1 m,R=1.6 m)(單位： ℃)

圖7 多管凍結模擬計算結果(l=1 m,R=1.6 m)(單位： ℃)

2.2 參數分析

與單管穩態溫度場的計算類似，本文溫度場計算模型推導也是將凍結管位置的豎向凍結壁厚度R作為已知量考慮的，一般根據工程經驗取值。此處不妨先將其假設為單管凍結凍結壁厚度的k倍，結合算例探究凍結壁厚度R與凍結管布置間距l對溫度場分布的影響。

2.2.1 凍結管間距對溫度場分布的影響

為研究凍結管間距對雙管穩態溫度場的影響，保持其他參數不變，選取凍結管間距值l為0.8、1.0、1.2、1.6、2.0 m，計算得溫度T在凍結管連線及其中垂線上的分布規律如圖8和圖9所示。為方便描述，以凍結管連線所在直線為x軸。

由x軸上的溫度計算結果可知，凍結管兩側(之前假設的非溫度疊加區域)的溫度分布是對稱的，且多條溫度曲線在外側幾乎重合，這說明之前的假設是合理的，即相鄰凍結管的影響區域有限，兩邊外側溫度仍按單管凍結形式分布，外側凍結鋒面半徑約為0.81 m。在溫度疊加區內，凍結管連線中點位置溫度為最高值，同時也是中垂線上溫度最低點，凍結管間距l越小，該點溫度也越低。中垂線上凍結鋒面位置不會隨凍結管間距l改變，該方向上的凍結壁厚度的一半穩定在1.1 m左右，略大于設定的凍結壁厚度R。

圖8 雙管凍結時凍結管連線上的溫度分布(R=1 m)

圖9 雙管凍結時凍結管連線中垂線上的溫度分布(R=1 m)

2.2.2 豎向凍結壁厚度對溫度場分布的影響

保持其他參數不變，當凍結管間距值l=1 m時，分別取豎向凍結壁厚度R為0.6、0.8、1.0、1.2、1.6 m，計算得溫度T在凍結管連線及其中垂線上的分布規律如圖10和圖11所示。

隨著設定凍結壁厚度R的增加，兩邊外側凍結鋒面半徑和中垂線上的凍結鋒面縱坐標都有了不同程度的增長，以外側凍結區的發展最為明顯，取比值如表3所示。由表3可知，隨著R的增加，疊加溫度場的形狀逐漸向標準圓形靠近。類似于在實際工程中加設一補充凍結管，若其與附近凍結管的距離很近且冷源溫度都很低時，可以將2個凍結管看作一個加強的凍結管。

圖10 凍結管連線上溫度分布規律

圖11 凍結管連線中垂線上溫度分布規律

表3 雙管凍結時凍結管連線與其中垂線上凍結壁厚度(l=1 m)

2.2.3 關于k值的討論

豎向凍結壁厚度R通常難以選取，需要根據測溫孔實測溫度反演確定，本節中假設雙管凍結壁厚度為單管凍結壁厚度的k倍。

以數值模擬結果表示雙管凍結瞬態溫度場的分布，將模擬計算得出的疊加區凍結壁厚度最小值R與單管凍結壁厚度R′進行比較，凍結壁厚度隨時間的發展規律如圖12所示。經對比發現，兩者的比值k為1.2～1.8，在一般積極凍結期30～60 d，k值基本穩定在1.6左右。

圖12 雙管凍結時凍結壁厚度變化規律

2.3 現場實測數據對比

本文選取距單排凍結管相鄰2凍結管中心線1 m處的測溫管數據，與理論公式計算結果相對比，如圖13所示。因本文討論的是凍結穩態溫度場分布，故以10 d為一間隔，給出該測溫管處積極凍結期內的實測溫度。經42 d積極凍結期后，該處溫度降至-2.9 ℃，這證明單排管單側凍結壁厚度已達1 m左右，與本文提出的雙管凍結公式及數值模擬結果吻合，公式適用性較好。

圖13 實測數據與理論計算結果對比

3 結論與建議

1)根據溫度“勢函數”的概念，考慮到相鄰凍結管的疊加影響范圍有限，對平面內雙管溫度場穩態模型的解析解進行了推導，并通過數值模擬驗證了其合理性。

2)將雙管凍結條件下的疊加溫度場周期化，得到了單排等距多管溫度場的分布規律，其計算結果與巴霍爾金解具有同樣的規律。

3)在雙管溫度疊加區內，凍結管連線中點為中垂線溫度的最低點，并隨著凍結管間距l減小而減小，但中垂線上凍結壁厚度不隨凍結管間距l改變。

4)隨著凍結壁厚度R的增加，雙管穩態溫度場分布接近圓形，近似為一個加強單管穩態溫度場。

5)結合蘭州紅砂巖地層進行了溫度場模擬，得到了雙管與單管2種條件下的凍結壁厚度比值k的取值為1.2～1.8； 在一般積極凍結期30～60 d，k值基本穩定在1.6左右，為蘭州紅砂巖這種特殊地層的凍結壁厚度設計提供了參考。

6)凍結管疊加范圍下的凍結壁厚度R的取值仍需結合現場實測值進行研究。