花朵授粉算法及其在斷路器優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用

解 敏， 夏克文， 石麗莉， 田蕓賀， 賀紫平

(河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院， 天津 300401)

花朵授粉算法(flower pollination algorithm, FPA)是Yang[1]提出的一種新型元啟發(fā)式算法,已經(jīng)被應(yīng)用到微網(wǎng)的優(yōu)化調(diào)度[2]、雷達(dá)探測[3]、視覺跟蹤[4]等各個領(lǐng)域，并且效果顯著。除了解決單目標(biāo)優(yōu)化問題之外，還可以對多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，比如可以將其應(yīng)用到電力市場的投資組合優(yōu)化問題中[5]。

近幾年來，花朵授粉算法被不斷的完善。例如，文獻(xiàn)[6]中針對算法的全局尋優(yōu)能力和收斂速度進(jìn)行了改進(jìn)，提出了具有族群機(jī)制的FPA算法；文獻(xiàn)[7]通過引入量子系統(tǒng)的態(tài)疊加特性，利用種群的平均最優(yōu)位置使種群之間存在等待效應(yīng)，將改進(jìn)的算法與基本FPA算法、差分進(jìn)化(differential evolution, DE)算法和蝙蝠算法(bat algorithm, BA)進(jìn)行對比，得出改進(jìn)的算法全局尋優(yōu)能力更強(qiáng)，收斂速度也有較大提高；文獻(xiàn)[8]將FPA算法、社會蜘蛛算法(SSO)應(yīng)用到圖像分割問題，使用類間方差或Kapur方法對解進(jìn)行評估；而文獻(xiàn)[9]將模擬退火算法應(yīng)用到FPA中，避免了陷入局部最優(yōu)解以及增強(qiáng)了全局尋優(yōu)能力，性能優(yōu)于基本FPA算法。

現(xiàn)如今，由于智能電網(wǎng)和新能源等多領(lǐng)域均取得了巨大發(fā)展，使得供配電市場的規(guī)模進(jìn)一步擴(kuò)大[10]，與此同時，電力系統(tǒng)對斷路器的要求也越來越嚴(yán)格。所以，改造出性能良好的斷路器是必需的。自1960年至今，斷路器在小型化、高分?jǐn)嘁约暗湍芎腫11]的發(fā)展趨向上逐步逼近與完善。目前存在于市場中的斷路器，額定電流在2 500～6 300 A范圍之內(nèi)占據(jù)很大的比重。面對斷路器的能耗問題，如何對能耗模型進(jìn)行改進(jìn)一直是社會研究的熱點。在國內(nèi)，杭申電器公司將斷路器的能耗優(yōu)化作為重點[12-13]，在國外，西門子等公司在產(chǎn)品的設(shè)計階段把低能耗作為首要考慮的問題。

現(xiàn)主要對花朵授粉算法進(jìn)行改進(jìn)以及性能分析，并將改進(jìn)的算法應(yīng)用于斷路器低能耗優(yōu)化設(shè)計中，希望改進(jìn)的算法比其他算法性能更好，在斷路器能耗優(yōu)化中得到的能耗值更低。

1 基本花朵授粉算法

基本FPA算法是模擬顯花植物授粉現(xiàn)象而提出來的一種元啟發(fā)式算法，包括異花授粉和自花授粉兩個部分，其中異花授粉對應(yīng)算法空間的全局搜索，自花授粉對應(yīng)局部搜索[14]。

花朵的授粉過程可以通過4條規(guī)則進(jìn)行描述。

(1)異花授粉是指傳粉者在進(jìn)行交叉授粉時按照萊維飛行機(jī)制傳播花粉配子時進(jìn)行的全局授粉過程，表示為

式(2)中：Γ(λ)為標(biāo)準(zhǔn)的伽瑪函數(shù)；s為步長；s0為最小步長；λ=1.5。

(2)自花授粉可看作是算法整體框架流程中的局部授粉階段，該規(guī)則數(shù)學(xué)公式為

(3)繁衍概率指花的恒常性，繁衍概率的取值大小與對目標(biāo)問題進(jìn)行尋優(yōu)求解的兩株花朵之間的近似性成比例關(guān)系。

(4)全局授粉和局部授粉之間的轉(zhuǎn)換由轉(zhuǎn)換概率p∈[0,1]控制，受物理上的鄰近性、風(fēng)和水力等不可控因素的影響，在算法的運行中有很重要的作用。

雖然花朵授粉算法引入了萊維飛行機(jī)制，能夠取得較好的尋優(yōu)效果，但是該算法還存在容易陷入局部最優(yōu)解以及收斂速度慢的問題，因此提出一種改進(jìn)的花朵授粉算法來避免這些問題的發(fā)生。

2 改進(jìn)的花朵授粉算法

2.1 引入鯰魚效應(yīng)改進(jìn)花朵授粉算法

鯰魚效應(yīng)是擾動并激活粒子尋優(yōu)的一種有效手段，原理如圖1所示。

圖1 鯰魚效應(yīng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of catfish effect

鯰魚效應(yīng)起源于挪威人捕魚的經(jīng)驗，沙丁魚不愛游動，所以抵港時會大量死亡，但是如果在沙丁魚池內(nèi)放一條好動的鯰魚，沙丁魚則會感受到威脅，加速游動，避免了其大量死亡的現(xiàn)象。

企業(yè)在管理制度中將鯰魚效應(yīng)作為一種激勵手段，用來鞭策缺乏積極性的“沙丁魚”，在群智能優(yōu)化算法中，鯰魚效應(yīng)有很多實現(xiàn)的方式，學(xué)者們通過對算法后期的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行計算，如果函數(shù)值沒有變化，則可能陷入局部極值，因此可以引入鯰魚效應(yīng)，對尋優(yōu)的花朵加以擾動，進(jìn)而避免陷入局部最優(yōu)。

定義鯰魚個體為：當(dāng)前適應(yīng)度值與前一次或者個體歷史最優(yōu)適應(yīng)度值相同的個體。

除了被標(biāo)記為“鯰魚個體”外的所有個體都被稱為“沙丁魚個體”，當(dāng)沙丁魚個體受到鯰魚個體的追趕時，會遠(yuǎn)離距離自己最近的鯰魚個體，因此，沙丁魚個體遠(yuǎn)離距離自己最近的鯰魚的距離xaway公式為

式(4)中：xi為花朵所在位置；Am為距離xi最近的威脅；n為正整數(shù)；min|xi-Aj|2表示距離諸多鯰魚花朵中最小距離的平方，即Aj最終與Am一致。

引入鯰魚個體對尋優(yōu)花朵加以擾動從而偏離局部極值，在全局授粉階段，采用了Levy飛行機(jī)制，由于它的較大跳躍以及隨機(jī)步長，在一定程度上可以避免陷入局部最優(yōu)解，但是在局部授粉階段，過程過于平緩，而且缺乏跳動，更容易陷入局部最優(yōu)，因此，將鯰魚效應(yīng)引入局部授粉階段，其位置更新公式為

2.2 引入均勻變異算子改進(jìn)花朵授粉算法

變異來源于遺傳算法，主要是指子代的基因按照小概率擾動而產(chǎn)生的變化，常見的變異包括：高斯變異算子、多項式變異算子、均勻變異算子以及大變異算子。其中均勻變異算子可以增加種群的多樣性，加快算法收斂速度。

均勻變異算子是指對一個多位置的基因x=(x1,x2,…，xn) 中某一位置上的分量xm∈[a,b]，其中1≤m≤n，用[a,b]范圍內(nèi)的服從均勻分布的一個隨機(jī)數(shù)來代替xm，定義為x′m，則x現(xiàn)在變?yōu)閤=(x1,x2,…，x′m,…,xn)，x′m表達(dá)式為

x′m=a+r(b-a) (6)

式(6)中：r為[0,1]上的隨機(jī)數(shù)。

由于均勻變異算子的特性，龍軍等[15]將粒子群算法應(yīng)用于配電網(wǎng)重構(gòu)時，引入了遺傳算法中的均勻變異算子，使改進(jìn)的粒子群算法具有良好的全局搜索能力,并且收斂速度更快。因此為了解決FPA算法收斂速度慢的問題，在算法的全局授粉過程中引入了均勻變異算子，改進(jìn)后全局授粉更新公式為

通過引入鯰魚效應(yīng)以及均勻變異算子，避免了陷入局部最優(yōu)解，而且后期收斂速度加快，可以得到改進(jìn)的花朵授粉算法(catfish effect-homogeneous mutation operator FPA，CEH-FPA)，算法步驟如下。

Step 1初始化CEH-FPA算法的各項參數(shù)：種群大小規(guī)模為N，轉(zhuǎn)換概率為p，流程中最大迭代次數(shù)設(shè)置為Niter。

Step 2初始化花朵個體的位置，也就是對應(yīng)解，根據(jù)相應(yīng)位置求解目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度值，尋找出當(dāng)前最優(yōu)的位置和最優(yōu)目標(biāo)問題解。

Step 3進(jìn)入主循環(huán)，如果轉(zhuǎn)換概率p>rand(rand為隨機(jī)數(shù))，按照式(7)進(jìn)行異花授粉，更新下代花朵個體位置，并及時針對越界問題進(jìn)行處理。

Step 4如果轉(zhuǎn)換概率p

Step 5通過Step 3、Step 4計算得出下代解的對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值，如果該目標(biāo)函數(shù)值精度高，則將下代解和計算得出的下代目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行相應(yīng)替換，否則保持當(dāng)前解和目標(biāo)函數(shù)值大小不變。

Step 6如果下代解計算所得目標(biāo)函數(shù)值精度高于當(dāng)前代數(shù)的全局最優(yōu)值，更新并記錄下代解作為全局最優(yōu)解位置，下代目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化值作為全局最優(yōu)值。

Step 7判斷算法是否符合結(jié)束條件，符合則退出程序并保存記錄最優(yōu)花朵個體位置和全局最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，如果不符合則轉(zhuǎn)到Step3，繼續(xù)循環(huán)。

2.3 測試函數(shù)

為了驗證CEH-FPA算法的性能，本文選取了1個單峰經(jīng)典測試函數(shù)、2個多峰經(jīng)典測試函數(shù)進(jìn)行測試，并且將CEH-FPA算法與基本FPA算法、差分進(jìn)化算法(DE)、人工蜂群算法(ABC)、自適應(yīng)遺傳算法(AGA)、自適應(yīng)粒子群算法(APSO)對比，驗證算法性能。

2.3.1 單峰函數(shù)

Schwefel2.22函數(shù)是一個單峰函數(shù)，其三維立體圖像如圖2所示。

圖2 Schwefel2.22函數(shù)三維立體圖像Fig.2 Three-dimensional stereo image of Schwefel2.22

其表達(dá)式如式(8)所示，取值范圍為[-10,10],最優(yōu)適應(yīng)度值為0。

利用6種算法對測試函數(shù)進(jìn)行迭代尋優(yōu)，維度D設(shè)置為4，種群數(shù)量53，重復(fù)20次試驗，并且求得每次最優(yōu)值的平均值，可得Schwefel2.22函數(shù)尋優(yōu)迭代仿真圖如圖3所示。

括號中第一個數(shù)據(jù)表示迭代次數(shù)，第二個表示函數(shù)適應(yīng)度值，第三個表示達(dá)到最優(yōu)解時迭代次數(shù)。下同

由圖3可知，APSO雖然求解精度高，但是在迭代第100次才取得全局最優(yōu)解，收斂速度緩慢；AGA算法和基本ABC算法求解精度低；DE算法求解精度和收斂速度在6種算法中處于中間位置；CEH-FPA算法在迭代次數(shù)為15時已經(jīng)達(dá)到了精度要求誤差在0.01以內(nèi)，但是仍然繼續(xù)尋優(yōu)，并沒有陷入局部最優(yōu)值。

2.3.2 多峰函數(shù)

使用多峰測試函數(shù)Rastrigin、Ackley進(jìn)行性能分析。

Rastrigin函數(shù)表達(dá)式如式(9)所示,取值范圍為[-5.12,5.12],最優(yōu)適應(yīng)度值為0。

函數(shù)三維立體圖像、尋優(yōu)迭代仿真圖分別如圖4、圖5所示。

圖4 Rastrigin三維立體圖像Fig.4 Three-dimensional stereo image of Rastrigin

圖5 Rastrigin函數(shù)尋優(yōu)迭代仿真圖Fig.5 Iterative simulation diagram of Rasrtigin function optimization

對于多峰函數(shù)Rastrigin，基本ABC算法、AGA算法和APSO算法求解精度低，收斂速度慢；DE算法求解精度較前三種算法較好，但是其收斂速度較慢；CEH-FPA算法不僅求解精度高，而且收斂速度快。

Ackley函數(shù)表達(dá)式如式(10)所示,取值范圍為[-10,10],最優(yōu)適應(yīng)度值為0。

函數(shù)三維立體圖像、尋優(yōu)迭代仿真圖分別如圖6、圖7所示。

圖6 Ackley三維立體圖像Fig.6 Three-dimensional stereo image of Ackley

圖7 Ackley函數(shù)尋優(yōu)迭代仿真圖Fig.7 Iterative simulation diagram of Ackley function optimization

對于多峰函數(shù)Ackley，基本ABC算法和APSO算法求解精度低，收斂速度慢，APSO算法收斂速度慢，但是求解精度較高，DE算法求解精度一般，收斂速度慢，而CEH-FPA算法不僅求解精度高，迭代6次時，適應(yīng)度為0.002 241，已經(jīng)達(dá)到了求解精度，但仍然在一直迭代求解，從而得到了最高求解精度。

為了更加清晰地對算法進(jìn)行對比，采用表格的形式，對算法進(jìn)行分析，如表1所示。

通過表1的算法對三個經(jīng)典測試函數(shù)的性能分析可以得出，所提出的CEH-FPA算法較其他算法有更好的開發(fā)和開采性能。

表1 測試函數(shù)實驗結(jié)果對比表

3 斷路器能耗及參數(shù)優(yōu)化仿真

3.1 斷路器模型

電能經(jīng)過變壓器、母排、主電路器、匯流排和支路斷路器后，最終到達(dá)負(fù)載電路，這個過程可能消耗30%～40%的電能，針對斷路器能耗高的缺陷，需要合理設(shè)計能耗參數(shù)，設(shè)計出低能耗的斷路器[16]。本節(jié)主要針對HSW6系列斷路器進(jìn)行分析，其結(jié)構(gòu)如圖8所示。

1為斷路器進(jìn)線排；2為橋型觸頭；3為U形排；4為軟聯(lián)結(jié)；5為接觸片；6為靜觸頭；7為出線排

斷路器內(nèi)部能耗公式為

式(11)中：P為相級數(shù)；In為斷路器額定電流；R為電阻；φ為內(nèi)部回路的相位偏角。

根據(jù)式(11)，為了降低斷路器能耗，可以在結(jié)構(gòu)上使用多組并聯(lián)的形式，同時考慮電阻體積、回路構(gòu)造成本以及額外的能量損耗。

(1)考慮電阻體積。

斷路器觸頭電阻計算公式為

R=ρl/S(12)

式(12)中：ρ為電阻率；S為觸頭電阻橫截面積；l為觸頭電阻的長度。斷路器采用回路設(shè)計結(jié)構(gòu)，內(nèi)部有多個觸頭電阻，可得觸頭電阻體積為

V=Sl=RS2/ρ=k1RS2(13)

式(13)中：k1為電阻率的倒數(shù)。

(2)考慮回路構(gòu)造成本。

式(13)中，R越小，并聯(lián)使得器件越大，違背了小型化的原則，體積增大，回路構(gòu)造成本增大。成本f1與阻值R的關(guān)系為

f1=k2/R(14)

式(14)中：k2為回路構(gòu)造成本系數(shù)。

(3)考慮能量損耗。

回路體積增大，觸頭會產(chǎn)生額外的能量損耗，因此能量損耗f2與阻值R的關(guān)系為

f2=k3/R(15)

式(15)中：k3為能量損耗系數(shù)。

經(jīng)過對斷路器能耗的分析，以及考慮了電阻體積、回路構(gòu)造成本、能量損耗等因素的影響，可建立新型斷路器能耗數(shù)學(xué)函數(shù)模型為

式(16)中：λ1、λ2為控制系數(shù)；n為觸頭個數(shù)；變量為n、S、cosφ、R。當(dāng)數(shù)學(xué)函數(shù)模型f最小時，同時考慮體積、成本、能耗，此時得到斷路器的最低能耗值。

3.2 斷路器優(yōu)化設(shè)計

利用改進(jìn)的CEH-FPA算法對斷路器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，設(shè)計流程圖如圖9所示。

圖9 能耗優(yōu)化流程圖Fig.9 Flow chart of energy consumption optimization

研究斷路器能耗值時，參數(shù)取值范圍不同，斷路器的最優(yōu)能耗值也會發(fā)生改變，因此研究兩種不同參數(shù)取值范圍的觸頭A和B。

3.2.1 觸頭A

初始化過程中，參數(shù)取值范圍如表2所示。采用CEH-FPA算法對斷路器額定電流為4 000 A的斷路器進(jìn)行優(yōu)化仿真，結(jié)果如圖10所示。

表2 觸頭A參數(shù)取值范圍Table 2 The parameter range of contact A

圖10 A型斷路器能耗迭代優(yōu)化曲線圖Fig.10 Energy consumption iterative optimization curve of type A circuit breaker

由圖10可知，在優(yōu)化設(shè)計中，CEH-FPA算法所計算出的能耗函數(shù)適應(yīng)度值最低，即求解精度最高，并且收斂速度很快；APSO求解精度不高，收斂速度快，在第10次迭代時得到最優(yōu)能耗值為253.9 W；AGA算法求解精度低，收斂速度慢，在第49次迭代得到最優(yōu)能耗值250.3 W；ABC算法在第3次迭代得到最優(yōu)能耗值249.7 W；DE算法收斂速度慢，在第42次迭代得到最優(yōu)能耗值250.2 W；CEH-FPA算法求解精度最高，在第18次得到最優(yōu)能耗值244.6 W。

3.2.2 觸頭B

初始化過程中，參數(shù)取值范圍如表3所示。采用CEH-FPA算法對斷路器額定電流為4 000 A的斷路器進(jìn)行優(yōu)化仿真，結(jié)果如圖11所示。

表3 觸頭B參數(shù)取值范圍

圖11 B型斷路器能耗迭代優(yōu)化曲線圖Fig.11 Energy consumption iterative optimization curve of type B circuit breaker

由圖11可知，CEH-FPA算法在迭代15次時達(dá)到最優(yōu)能耗值139 W，較其他算法收斂速度較快，求解精度高。

綜上所述，CEH-FPA算法對斷路器能耗優(yōu)化設(shè)計效果最好，不僅解決了斷路器能耗高的問題，而且性能較其他算法更為優(yōu)異。

4 結(jié)論

通過利用改進(jìn)的FPA算法與其他算法進(jìn)行對比，并對斷路器低能耗進(jìn)行優(yōu)化研究得出以下結(jié)論。

(1)加入鯰魚效應(yīng)避免局部最優(yōu)解，加入均勻變異算子提高后期收斂速度，提出的這種改進(jìn)算法CEH-FPA 的性能比基本FPA算法、基本ABC算法、DE算法、APSO算法、AGA算法的性能更好。

(2)采用改進(jìn)的CEH-FPA算法，對斷路器的能耗模型進(jìn)行優(yōu)化。首先分析斷路器的能耗公式，結(jié)合影響能耗因素進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后再將算法應(yīng)用到優(yōu)化設(shè)計中。試驗結(jié)果表明，CEH-FPA算法大大提高了設(shè)計的效率和精度，實現(xiàn)了斷路器低能耗性能的設(shè)計目的。

CEH-FPA算法不僅可以用于斷路器的優(yōu)化設(shè)計中，也可以將設(shè)計方法和思路推廣到其他的工程模擬優(yōu)化計算中，從而更好地取代傳統(tǒng)的靠經(jīng)驗估算和大量樣機(jī)制作的方法。