雙向板裂縫及長期開裂撓度的有限元非線性分析

周立浪， 陳夢龍， 扶長生

(上海長福工程結構設計事務所，上海 200011)

0 引言

雙向板是成熟的樓蓋體系，在國外有廣泛的應用。對于框架-核心筒結構，僅設置周邊外框梁的重力荷載(預應力)雙向平板樓蓋體系，在國內也有所應用。其實，采用僅承受重力荷載樓蓋體系的結構，只要具有足夠的側向剛度，由于抗側力體系承擔了更多的地震作用，其整體抗震性能至少不會低于設樓面梁的同類結構。而且不設置樓面梁可以在滿足凈空要求的情況下降低層高，方便管道施工，節約投資。

混凝土抗拉強度約為抗壓強度的1/10，為了充分發揮受拉鋼筋的強度，受彎構件拉應力區混凝土的開裂是必然的，也是必要的。而且，作為(超)高層建筑樓蓋體系的雙向板，需要嚴格控制板厚來減輕結構自重。因此，徐變對長期撓度和裂縫的放大效應是重力荷載作用下雙向板樓蓋體系在使用極限狀態下的主要驗算內容，有時還是控制截面配筋設計的主要因素。

雙向板的受力特征與梁有明顯的區別。主要表現如下：1)對角線附近的截面，產生與彎矩同等數量級的扭矩； 2)可迅速完成塑性鉸后的內力重分布，它的塑性變形機構往往是沿對角線的塑性鉸線而不是發生在局部截面的塑性鉸； 3)板內主拉應力方向隨平面位置變化； 4)最大彎矩、最大撓度和最大裂縫寬度往往發生在不同位置：前者一般發生在柱上板帶，后兩者有可能發生在跨中板帶。國內鋼筋混凝土有關教材和《混凝土結構設計規范》(GB 50010—2010)[1](簡稱GB 50010—2010)都未涉及計算雙向板裂縫寬度和長期開裂撓度的有關內容。工程設計中，若需要驗算，往往只能采用板帶分析法，按梁來進行近似分析。但這僅僅適用于規則板格和滿鋪均布荷載的情況。

本文簡述了受壓混凝土的徐變和裂縫間受拉混凝土對開裂構件剛度硬化效應的基本原理，并以此作為準則，點評了中國、歐洲、美國三本規范有關長期撓度和裂縫寬度計算的條文； 指出歐洲規范的有關條文既適用于梁，又適用于雙向板，使用以歐洲規范建立的開裂板單元進行有限元非線性分析是計算雙向板長期撓度和裂縫寬度的通用方法； 并利用CSI. SAFE[2]完成了有關編程。在敘述了有限元分析雙向板長期撓度和裂縫寬度的基本流程后，作為一個算例，使用CSI. SAFE對地下室柱支撐雙向頂板進行了使用極限狀態下長期撓度和裂縫寬度的驗算，并完成了頂板的截面設計。

1 徐變的基本知識

在長期壓應力作用下，由多相、具有初始缺陷復合材料組成的混凝土，其壓應變逐漸增大的物理現象被稱為徐變;另外一個方面，水泥水化過程中以及混凝土硬化后的很長一段時間內，毛細孔水逐漸流失、蒸發引起混凝土體積干縮,這種長期逐漸干縮的自然現象被稱為收縮。收縮與徐變，兩者效應相似，均引起鋼筋混凝土構件的內力重分布，且可線性疊加。因此，盡管它們伴隨發生，為了敘述簡潔，在以下討論中，本文不涉及收縮，也不涉及預應力構件。

1.1 徐變系數

圖1 徐變應變和徐變系數

(1)

1.2 徐變應變

當t>t0，按徐變系數的定義，在維持截面應力不變的情況下，計入徐變的應變為：

(2)

(3)

式中：τ為流動坐標；φ(t,τ)和Ec(τ)為以τ為變量的徐變系數和彈性模量。

顯然，若應力的變化在t0時刻就全部完成，Δσc對徐變應變的影響一定大于式(3)的積分表達式。為方便計算，式(3)的積分表達式可近似表示為[2]：

(4)

式中χ=χ(t,t0)為一個小于1的系數，是時間的函數，與φ(t,τ),Ec(τ)以及σc(τ)在t0→t時間段中的變化規律有關，稱為齡期系數。

混凝土強度越高，加載齡期t0越長，環境的相對濕度越高，應力水平越低，徐變系數φ(t,t0)和齡期系數χ(t,t0)越小。研究成果表明，在正常養護的情況下，前者合理的范圍在2.5～3.5之間，后者約為0.8[3]。

(5)

則式(4)可改寫為：

(6)

圖關系曲線的示意

(7)

徐變將增大受彎構件受壓區混凝土的應變，降低應力，提升中和軸的位置，增大截面曲率、構件撓度和增加裂縫寬度。

2 裂縫計算

2.1 開裂構件的應力-應變關系

對于開裂構件，顯然開裂截面的剛度要小于裂縫之間非開裂截面的剛度。把非開裂截面稱為狀態1，把開裂截面稱為狀態2(開裂瞬間狀態)。對應的鋼筋拉應力、拉應變分別記作σs1,εs1和σs2,εs2。由于混凝土的早期開裂特性，在使用極限狀態下混凝土開裂，但鋼筋的應力-應變處于線性關系。這樣，無論是梁或單向板還是雙向板，在應力-應變坐標平面中，總可以畫出二根不同斜率的直線，分別表示狀態1和狀態2的受拉鋼筋應力與應變之間的線性關系[2],見圖3。圖中σsr為鋼筋開裂應力；折線OAD為以鋼筋應力和平均應變表示的開裂構件應力-應變關系。其中，OA段為開裂前狀態，AD段為開裂后狀態，剛度明顯折減。。

圖3 開裂構件的應力-應變關系曲線

2.2 平均應變和剛度插入系數

不失問題的一般性，設平面尺寸為l1×l2的雙向板處于雙向軸向受拉狀態。拉應力記作σ1,σ2，其中主拉應力σ1方向與l1平行。當σ1達到fct(相當于GB 50010—2010中的ftk)，截面開裂。略去材料的泊松效應，沿l1方向的變形特征如下：1)裂縫和裂縫間混凝土的應變使構件長度從l1伸長至l1+Δl1，構件平均拉應變為εsm=Δl1/l1； 2)裂縫間受拉混凝土具有硬化效應，對構件剛度有所貢獻，構件的真實剛度在開裂截面的剛度和非開裂截面的剛度之間； 3)應變沿桿長并不均勻，在非開裂截面處，有：

εs1=εc1，且εs1<εs2

(8)

式中εc1為非開裂截面處混凝土拉應變。

令Δεs為開裂截面鋼筋應變εs2和平均應變εsm之差，表示裂縫間受拉混凝土對鋼筋應力、應變的折減作用。按圖3所示的幾何關系，有：

Δεs=εs2-εsm

(9)

且Δεs與σs2之間呈反比例關系。進一步定義Δεs,max為鋼筋在開裂瞬間狀態2的應變和狀態1的應變之差，根據試驗數據[3]有如下的經驗公式：

Δεs=Δεs,max·σsr/σs2

(10)

由圖3可進一步寫出：

Δεs,max=(εs2-εs1)·σsr/σs2

(11)

合并式(9)，(10)和(11)，平均應變計算公式為：

εsm=(1-ζ)εs1+ζεs2

(12)

ζ=1-(σsr/σs2)2

(13)

式中ζ為0～1之間的無量綱剛度插入系數，反映截面開裂的程度，ζ=0表示截面未開裂。

2.3 裂縫的平均間距和寬度

當σ1達到fct，截面最薄弱某處的混凝土退出工作，向兩側回縮并發生粘結滑移，形成第一條裂縫。開裂截面處的鋼筋將單獨承擔軸向拉應力的作用，應變增大。隨著離裂縫距離的增大，鋼筋與周圍混凝土之間的粘結力逐漸地把鋼筋應力傳遞至混凝土。經過一定的長度sr0后，混凝土纖維的應力上升至fct，在截面另一個薄弱處，出現了第二條裂縫。隨著荷載逐漸增大，重復出現裂縫，直至裂縫間距穩定在某一個長度。

設受拉區鋼筋總截面面積為As，平均粘結應力為fbm。若僅有一種鋼筋，直徑為db，列出力的平衡公式如下：

Aceffct=sr0fbm(4As/db)

(14)

式中：(4As/db)為全部受拉鋼筋周長之和；Acef為包裹全部受拉鋼筋的混凝土有效面積。對于受拉構件，Acef為圖4中的陰影部分。

圖4 軸向受拉構件混凝土有效面積示意[4]

試驗數據表明，fbm與fct之間成正比例關系。令κ1=fct/fbm，代入式(14)整理得：

sr0=κ1(db/4ρr)，ρr=As/Acef

(15)

除粘結力特征以外，影響裂縫間距和寬度的主要因素還有混凝土保護層厚度和縱向鋼筋的直徑、間距和截面面積等。一般地，增加保護層的厚度會增加裂縫間距和寬度，細而密的縱向鋼筋會減少裂縫間距和寬度。綜合各種因素，在式(15)的基礎上可以寫出以混凝土保護層厚度cc，受拉鋼筋直徑db和配筋率ρr，計算裂縫平均間距srm的半經驗表達式：

srm=λ1cc+λ2db/ρr

(16)

式中λ1,λ2分別為反映保護層影響和粘結力特性的經驗系數。

另一方面，式(12)中的ζεs2表示平均應變與裂縫間受拉混凝土應變之差。若裂縫平均間距srm已知，裂縫的平均寬度wm為：

wm=ζεs2srm

(17)

顯然，最大裂縫寬度wmax可以寫為裂縫平均寬度與經驗放大系數λ3的乘積：

wmax=λ3wm=λ3ζεs2srm

(18)

式(16)～(18)是計算裂縫間距和寬度的最基本半經驗表達格式。

沿l2方向的開裂機理和裂縫寬度的計算方法與沿l1方向相同，不予贅述。進一步指出，上述基本原理和應力-應變關系也適用于承受重力荷載的雙向板。但裂縫寬度垂直于主拉應力方向，應沿主拉應力方向進行分析。雙向板的主應力方向是隨平面位置而變化的。這也許是構建整塊板裂縫間距、寬度和長期開裂撓度半經驗計算公式的難點之一。

3 基于規范的長期撓度和裂縫寬度的計算

3.1 ACI 318-08

ACI 318委員會認為結構構件中的裂縫寬度具有高度的離散性[5]。從ACI 318-02[6]起，使用控制縱向鋼筋的間距來實現限制裂縫寬度的目的。對于水池等對裂縫有特殊要求的構件，可按ACI的研究報告進行考慮徐變的裂縫寬度的驗算[7-8]。

ACI 318-08[5]根據Branson D E的研究成果[9]，給出了考慮開裂影響，梁的截面有效慣性矩Ie的計算公式：

Ie=(Mcr/Ma)3Iut+(1-(Mcr/Ma)3)Icr

(19)

式中：Iut,Icr分別為非開裂換算截面(狀態1)的慣性矩和開裂換算截面(狀態2)的慣性矩；Ma為最大彎矩；Mcr為開裂彎矩； 1-(Mcr/Ma)3相當于前述的狀態1和狀態2的插入系數ζ，且：

(20)

式中：yt為截面中和軸至受拉表面的距離；fr為混凝土開裂模量。

對于梁的長期撓度，ACI 318-08[5]使用放大系數λΔ計算徐變的附加長期撓度：

λΔ=ξ/(1+50ρ′)

(21)

式中：ρ′為受壓鋼筋的配筋率；ξ為與時間相關的長期荷載效應系數，ξmax=2.0。

3.2 GB 50011—2010

按粘結滑移和混凝土回縮的組合模型，GB 50010—2010給出了考慮長期作用影響，梁最大裂縫寬度wmax的計算公式：

(22)

式中：αcr為構件受力特性系數，考慮了裂縫的不均勻性、長期荷載效應、裂縫間混凝土的硬化效應、受力特征等，對于受彎構件，取αcr=1.9；σs為開裂截面的鋼筋應力；σs/Es為開裂截面，即狀態2的鋼筋應變εs2；ζ′為裂縫間縱向受拉鋼筋應變的不均勻系數，相當于狀態1和狀態2的插入系數：

ζ′=1.1(1-Mcr/M)

(23)

式中Mcr,M分別為開裂彎矩和外部作用彎矩。

式(22)等號右側的括號項為平均裂縫間距lcr，相當于srm。對比式(16)，λ1=1.9，λ2=0.08。若取λ3=αcr=1.9，式(22)與式(18)具有相同的格式。

可以認為，GB 50010—2010給出的最大裂縫寬度wmax公式是中國學者以梁的試驗數據得到的修正系數，按徐變、裂縫基本原理建立的半經驗公式。

對于梁的長期撓度，GB 50010—2010根據材料力學基本公式和平均曲率的概念，考慮了開裂影響，梁的短期剛度Bs基本公式如下：

Bs=Mk/ψm

(24)

式中：Mk為標準組合得到的彎矩標準值；ψm為平均曲率。

使用系數θ將短期剛度折減為長期剛度Bl，即：

Bl=Bs/θ，θ=2-0.4(ρ′/ρ)

(25)

式中：ρ′,ρ分別為縱向受壓鋼筋和受拉鋼筋配筋率； 若僅考慮受拉鋼筋的作用，θ=2。

3.3 EC 2∶2004

歐洲規范[4](簡稱EC 2∶2004)第7.3.4條給出最大裂縫寬度wk(相當于wmax)計算公式為：

wk=sr,max(εsm-εcm)

(26)

式中符號含義與規范GB 50010—2010中公式8.1.2-1相同。

鋼筋平均應變εsm與混凝土平均應變εcm之差：

(27)

式中：αe=Es/Ecm為鋼筋與混凝土彈性模量之比；kt為荷載周期系數，長期荷載取kt=0.4，短期荷載取kt=0.6；ρeff為縱向受拉鋼筋配筋率；fct,eff為混凝土發生第一條裂縫時的有效開裂強度。對式(27)稍加整理，得[10]：

εsm-εcm=ζεs2≥0.6εs2

(28)

ζ=(1-ktσsr/σs2)≥0.6

(29)

式(28)表明，鋼筋和混凝土平均應變差可以表達為開裂截面鋼筋的應變與狀態1和狀態2插入系數ζ的乘積。

當鋼筋間距不大于5(c+φ/2)時，EC 2∶2004規定最大裂縫間距sr,max為：

sr,max=k3c+k1k2k4φ/ρeff

(30)

式中：c為混凝土保護層厚度；φ為鋼筋直徑；k1為粘結力特性系數，變形鋼筋取k1=0.8，光圓鋼筋取k1=1.6；k2為受力特性系數，受彎構件取k2=0.5，受拉構件取k2=1.0；k3為保護層系數，取k3=3.4；k4為經驗系數，取k4=0.425 。

EC 2∶2004取sr,max=1.7srm。式(30)與式(16)，式(26)與式(18)具有相同的形式。對于受彎構件、變形鋼筋，有λ1=2，λ2=0.1，λ3=1.7。

EC 2∶2004第7.4.3條給出了受彎構件考慮開裂影響的變形參數α的通用公式：

α=ζαⅡ+(1-ζ)αⅠ

(31)

式中：變形參數α可以為曲率、轉角、應變以及撓度。下標Ⅰ和Ⅱ表示狀態1(非開裂截面)和狀態2(開裂截面)。

EC 2∶2004引入了系數β1,β2，對開裂構件的應力-應變關系曲線(圖3)進行如圖5的修正后，定義插入系數ζ″為：

ζ″=1-β1β2(σsr/σs2)2

(32)

式中：β1為粘結力特性系數，變形鋼筋取β1=1.0；β2為荷載系數，短期荷載取β2=1.0，長期荷載取β2=0.5。圖5中平臺長度AC反映了β1,β2的影響。

圖5 開裂構件的應力-應變關系曲線(EC 2∶2004)

EC 2∶2004在前述徐變基本原理的基礎上，定義了混凝土有效彈性模量：

(33)

3.4 小結

中國、歐洲、美國規范均使用1-(σsr/σs2)p或1-(Mcr/M)p的形式反映裂縫間受拉混凝土的剛度硬化效應，冪指數p=1～3。

GB 50010—2010和EC 2∶2004裂縫寬度的計算方法接近，公式的骨架參數和格式相同。但前者的經驗系數來自鋼筋混凝土梁的試驗數據，僅適用于梁； 后者卻既適用于梁，也適用于雙向板。對于一般的環境，ACI 318-08通過控制縱向鋼筋的間距來限制裂縫寬度。

GB 50011—2010使用剛度折減系數θ將短期剛度折減為長期剛度后計算長期撓度。ACI 318-08先計算考慮剛度折減后的短期撓度，使用放大系數λΔ計算徐變的附加長期撓度，再通過疊加短期變形與附加變形來計算長期撓度。中國、美國規范的計算公式僅適用于梁。EC 2∶2004全面接納了徐變基本理論，使用混凝土有效彈性模量替代彈性模量來計算長期撓度，式(31)適用于梁，也適用于雙向板。

綜上所述，可以直接使用EC 2∶2004給出的計算公式編程后，進行考慮徐變效應和受拉混凝土剛度硬化效應的雙向板裂縫寬度和長期撓度的有限元非線性分析。

4 有限元非線性分析的基本流程

使用植入上述徐變和裂縫應力-應變關系的板單元進行有限元非線性分析是驗算裂縫寬度、長期開裂撓度的通用方法，既適用于梁，也適用于雙向板。其基本分析流程和邏輯大致如下：

(1)按彈性分析進行截面設計。輸入板的幾何信息、材料信息和荷載信息，劃分網格，生成板單元，按混凝土瞬時本構關系進行各向同性體彈性分析。按規定的荷載組合，求解單元節點撓度we(上標e表示單元)，一階偏導數(?w/?x)e，(?w/?y)e和二階偏導數(?w2/?x?y)e。按單元形函數得到單元及整塊板的彈性撓度場w(x,y)及彈性曲率ψx,ψy,ψxy； 按板的彈性本構關系計算彎矩Mx,My,Mxy[11]，進行配筋設計。

(3)若開裂，計算非開裂截面和開裂截面的剛度插入系數ζe，以計入受拉區裂縫間混凝土的影響。若未開裂，取ζe=0。

(5)沿主拉應力方向，計算單元平均曲率：

(34)

(6)按平均曲率計算單元剛度修正系數。

(7)修正剛度，重新進行有限元分析，得到修正后撓度。

(8)迭代計算，直至最大撓度前后兩次迭代的差值小于容許誤差或到達設定的最大迭代次數。

上述流程中，重點是按單元、按主拉應力方向計算； 當考慮徐變效應時，使用混凝土齡期調整彈性模量。

5 案例分析

利用CSI. SAFE按EC-2∶2004有關條文構建了板單元，并按上述基本分析流程的邏輯編制了雙向板分析與截面設計的有限元分析模塊[2]。作為案例，本文使用CSI. SAFE對地下室柱支承雙向頂板進行分析。

5.1 模型概況

設地下室層高5m，柱截面尺寸1.0m×1.0m，柱網間距9.0m，板厚0.3m，厚跨比1/30，混凝土強度等級C40，鋼筋HRB400。二a級環境類別(相當于EC 2∶2004的XC2)。考慮覆土厚度1.5m，活載3.5kN/m2。取Y向為外層鋼筋，鋼筋的混凝土保護層厚度20mm。軟件自動計算X向鋼筋保護層。5×5跨區域三維分析模型見圖6。

圖6 案例三維分析模型(CSI. SAFE)

本案例主要考察中間板塊區格。為了顯示清晰起見，以下分析結果僅顯示中間區格。

5.2 主應力分布

圖7給出雙向板彈性分析的主應力跡線。圖中，跡線的灰度和長短表示應力的大小，走向表示應力的方向，箭頭的朝向表示應力的拉壓。主應力跡線圖清晰地表現了平面內主應力方向和大小隨平面位置發生明顯變化的雙向板受力特征。

圖7 主應力跡線/(N/mm2)

5.3 強度設計

按GB 50010—2010進行強度設計。表1給出了按板帶、板底和板面區分的縱向鋼筋直徑和間距。柱支承雙向板的沖切與撓度和裂縫無關，本案例不予贅述。

縱向鋼筋配筋(X,Y方向) 表1

5.4 裂縫計算

圖8為CSI. SAFE裂縫寬度(Crack Width)菜單的截屏。截屏中的第一項為C40混凝土換算成EC 2∶2004的混凝土有效開裂強度。

圖8 計算裂縫的系數(EC 2∶2004)

圖9給出了板頂和板底的裂縫開展方向和裂縫寬度。裂縫方向與主應力方向(圖7)一致。最大板面裂縫寬度0.296mm發生在跨中板帶鄰近柱上板帶的端部區域； 最大板底裂縫寬度0.263mm發生在跨中板帶鄰近柱上板帶的跨中區域。符合雙向板的受力特征和按設計板帶進行配筋的設計方法。

圖9 雙向板裂縫寬度/(×10-3mm)

本案例符合板帶法驗算裂縫寬度和長期撓度的適用條件。表2列出了按有限元法和板帶法分析的裂縫寬度匯總，兩者相互印證。

EC 2∶2004第7.3.1條XC2環境等級限定的容許最大裂縫寬度wlim=0.3mm。若執行EC 2∶2004，滿足要求。

裂縫寬度和長期撓度比較 表2

5.5 長期撓度計算

圖10為CSI. SAFE荷載工況數據菜單截屏。截屏中第一項為極限徐變系數φ(t∞,t0)。本案例取φ(t∞,t0)=3.5。EC 2∶2004規定，長期撓度應同時考慮混凝土的徐變和收縮效應。截屏中第二項為混凝土自收縮應變εcs，取值εcs=0.000 25。

圖10 計算長期撓度的系數(EC 2∶2004)

CSI. SAFE以疊加原理計算總的長期開裂撓度ftotal：1)持續荷載(D+0.4L)引起的考慮開裂的長期撓度flk； 2)短期荷載(D+L)引起的考慮開裂的短期撓度fsk1； 3)持續荷載(D+0.4L)引起的考慮開裂的短期撓度fsk2； 4)ftotal=flk+fsk1-fsk2。

圖11給出了彈性撓度和長期開裂撓度的分布圖。盡管兩者的分布狀態一致，但最大彈性撓度15.3mm，最大長期開裂撓度60.5mm，兩者之比約為3.95，超出了工程設計中按3倍的彈性撓度估算長期開裂撓度的慣例，值得注意。進一步，若執行EC 2∶2004第7.4.1條容許最大撓跨比為1/250的規定，需要按3/1 000的跨度起拱，且調整跨中板帶板底縱向鋼筋配筋為20@150。

表2列出了基于板帶分析法，分別按EC 2∶2004公式和按GB 50010—2010公式計算得到的裂縫寬度和長期撓度。由于本案例結構布置相當規則，按有限元分析、 EC 2∶2004和GB 50010—2010板帶法三者分別算出的裂縫寬度的差別約5%，長期撓度的差別約10%。由于GB 50010—2010公式中的經驗系數均采用了梁的試驗數據，對于不規則雙向板裂縫和長期撓度分析的適用性，有待進一步研究。

6 結論

論述了徐變和裂縫計算的基本原理，解讀了規范公式的理論背景，且對雙向板案例進行了有限元分析，得到如下幾點結論：

(2)有限單元非線性分析是使用極限狀態下驗算雙向板裂縫寬度和長期開裂撓度的通用方法。CSI. SAFE在EC 2∶2004有關條文的基礎上，完成了植入徐變效應和裂縫間受拉混凝土剛度硬化效應的開裂板單元的編程，使用方便。

(3)EC 2∶2004全面接納上述徐變和裂縫展開及計算的基本理論。若使用有限單元法進行分析時，建議配套使用EC 2∶2004的裂縫寬度和長期開裂撓度的限值。

(4)雙向板的主應力方向隨平面位置變化，計算梁的裂縫寬度和長期開裂撓度的半經驗公式并不完全適用于雙向板。但對于承受滿布均布荷載的規則雙向板區格，采用板帶分析法，若按EC 2∶2004提供的公式進行近似分析，可以得到較為滿意的結果； 若按GB 50010—2010提供的公式，其分析結果需要專門研究。

(5)承受重荷載的柱支承雙向板，僅滿足規范跨厚比限值，未必一定能滿足裂縫寬度和長期開裂撓度的驗算。長期開裂撓度為彈性撓度3倍左右的工程經驗也未必一定安全。使用極限狀態的裂縫寬度和長期開裂撓度有時也許是截面設計的控制指標。關于這一點，在進行密肋樓蓋設計中，需要特別引起重視。