基于矢量控制的永磁同步電機控制方法研究

張會娟，姚艷艷，劉建娟，吳才章，陳紅梅

(河南工業大學 電氣工程學院，鄭州 450000)

0 引言

PMSM制作工藝得到發展的同時，其控制策略也得到了快速發展[1-2]。PMSM本身就是一個多變量、強耦合的控制對象，對其控制參數進行解耦是提高電機控制精度最有效的方法。矢量控制和直接轉矩控制是最為常見的解耦控制策略[3-5]。矢量控制首先將定子電流分解為電磁轉矩電流和勵磁電流，實現電機電流參數的解耦，再對兩個電流分量進行獨立控制，最終實現PMSM的解耦控制，其控制效果在一定程度上依賴于電機數學模型的準確型[6]。矢量控制是從定子磁鏈著手研究，通過坐標轉換，將定子磁鏈轉換到與轉子磁鏈方向上進行控制，因此，該方法也被稱為磁場定向控制[7-8]。直接轉矩控制與矢量控制的相同之處在其控制也是基于PMSM數學模型進行控制，但對模型的依賴程度比較低；不同之處在于直接轉矩控制，不需坐標系之間的相互轉化，而是直接對電機的總磁鏈進行研究[9]。

矢量控制雖然對電機數學模型有一定的依賴，但是該方法控制下的PMSM系統穩定性更好，響應速度快。id=0控制、cosφ=1控制、最大轉矩/電流比控制、弱磁控制、最大效率控制等[10-12]是較常見的矢量控制方法。其中id=0矢量控制應用最廣，該策略在控制過程中電機的轉矩角一直保持90°不變，因此該方法又被稱為恒轉矩角控制。此外，無論是表貼式還是內置式PMSM，id=0矢量控制效果可以與直流電機相媲美，尤其是在低速范圍內，控制效果更為突出[13]。因此，本文采用id=0矢量控制對PMSM進行深入研究。

1 PMSM數學模型

1.1 PMSM工作原理

電動機有多種工作模式，具體工作于哪種模式不僅與電機定子繞組的結構有關，還與繞組的連接形式有關。本文選取的PMSM定子繞組采用的Y型連接，單極電機定、轉子磁場相互作用示意圖如圖1所示。

注：θe為A軸與d軸的夾角，即空間電角度

電機轉子靜止時，如果向電機三相繞組通入直流電流，將會在定子側產生定子磁場，其方向近似為圖中合成is所指方向。此時，定子磁場與永磁體產生的轉子磁場相互作用產生電磁轉矩，轉子就會受到電磁轉矩而轉動；當轉子轉動時，電磁轉矩也將會隨電機定、轉子磁場位置的變化而變化。為了實現轉速的控制，希望電機轉子受到的作用力保持恒定，即產生恒定的電磁轉矩。因此，需要一種力量消除電機轉子旋轉產生的機械旋轉磁場，常用的消除辦法是在定子側形成一個圓形的電氣旋轉磁場。因此，電機轉速為：

(1)

式中,n為轉速(r/min)；np為磁極對數(個)；f為交流電頻率(Hz)。

1.2 ABC靜止坐標系下PMSM數學模型

PMSM定子電壓狀態方程：

(2)

式中,uA、uB、uC為A、B、C三相相電壓(V)；iA、iB、iC為相電流(A)；ψA、ψB、ψC為全磁鏈(Wb)，其取值不僅與相電流有關，還與電角度θe(圖1中A軸與d軸的夾角)有關；Rs為單相繞組阻值(Ω)。

三相定子繞組全磁鏈方程為：

(3)

式中,LAA、LBB、LCC為繞組自感(H)；MAB、MAC、MBA、MBC、MCA、MCB為繞組間互感(H)；ψfA、ψfB、ψfC是永磁磁鏈在定子側分量(Wb)，由于本文采用的是正弦波PMSM，所以該永磁磁鏈滿足：

(4)

式中,ψf為永磁體磁鏈峰值。

電動機正常工作時，PMSM的磁能儲能為：

(5)

電磁轉矩方程為：

(6)

式中,θm是電機轉子位置角度(rad)，滿足θm=npθe。

電機運動方程為：

(7)

式中,TL為負載轉矩(N·m)；ω為機械角速度(rad/s)；J為轉動慣量(kg·m2)。

綜上，PMSM在ABC坐標系下的數模型各個變量之間存在較強的耦合性，基于此模型很難實現電機的高精度控制，因此，需要進一步簡化模型。

1.3 dq旋轉坐標系下PMSM數學模型

為了實現PMSM控制，關鍵在于如何控制電機的轉子。因此，以轉子為參照物建立dq旋轉坐標系更容易實現電機的控制。但是從ABC坐標系到dq坐標系PMSM數學模型很難直接進行轉換，因此引入了αβ靜止坐標系進行過渡，三種坐標系間的關系如圖2所示。

圖2 不同坐標系間的空間矢量圖

為了實現PMSM數學模型在各個坐標系之間的電磁轉化，本文主要根據幅值相等和總磁動勢不變原則進行轉換。ABC坐標系到αβ坐標系下的轉換為Clark變換，其變換矩陣為C3s/2s見式：

(8)

式中,3s表示ABC靜止坐標系，2s表示αβ靜止坐標系。

Clark逆變換矩陣為C2s/3s見式：

(9)

αβ坐標系到dq坐標系下的轉換稱為Park變換，其變換矩陣為C2s/2r見式：

(10)

式中,2r表示dq旋轉坐標系。

Park逆變換矩陣為C2r/2s見式：

(11)

基于以上變換，建立dq旋轉坐標系PMSM數學模型，電壓方程為：

(12)

式中,ud、uq定子電壓(V)；ωe是電角速度(rad/s)，滿足ωe=npω；id、iq定子電流(A)；ψd、ψq電機磁鏈(Wb)，其表達式滿足式：

(13)

式中,Ld、Lq為定子電感，表貼式PMSM有式Ld=Lq成立。

在dq旋轉坐標系下，轉矩方程為：

Te=1.5np(ψdiq-ψqid)

(14)

將磁鏈方程代入轉矩方程，整理可得PMSM的轉矩方程為：

Te=1.5np(ψdiq-ψqid)=1.5npiqψf

(15)

電機運動平衡方程為：

(16)

由上式可知，電機的電磁轉矩與轉速變化率成正比，因此可以通過電磁轉矩實現電機轉速控制。觀察電機的轉矩方程可知，表貼式PMSM的轉矩與轉矩電流成正比。因此在整個PMSM控制系統中，可以通過控制轉矩電流實現電機轉矩控制，進而實現電機轉速控制。

2 PMSM矢量控制系統

2.1 PMSM矢量控制系統概述

PMSM矢量控制可以獨立控制電機的轉矩和勵磁電流。id=0是勵磁電流輸入為零的矢量控制，該方法使得電機定子電流全部用于電機的轉矩控制，其工作效率得以大大提高。為了達到本文所選電機的控制要求，采用id=0的矢量控制，其系統框圖如圖3所示。

圖3 PMSM矢量控制系統框圖

id=0矢量控制是雙閉環(電流環和速度環)控制系統。為了實現電機的高精度控制，速度環調節至關重要。

2.2 PMSM空間脈寬調制

空間矢量脈寬調制是矢量控制的關鍵技術之一，傳統的空間脈寬調制技術是以產生標準的電壓正弦波形為主要控制目的，但是該方法使得輸入電機繞組的電流波形無法得到保證。因此電壓空間矢量脈寬調制技術應用而生。三相兩電平型逆變器電路原理圖如圖4所示。

圖4 三相兩電平型逆變器電路原理圖

由圖4可知，該逆變器主要包括三相橋臂SA、SB、SC(由六個功率器件組成)，并分別與電機的三相繞組連接。逆變器正常工作時，每相橋臂的上下橋臂的功率器件不同時導或關閉。如此，每相橋臂就相當于一個開關，每個開關各有兩種導通狀態，共由23個開關組合。不同開關組和狀態下的PMSM基本電壓矢量Us見表1。

表1 逆變器基本電壓空間矢量

計算表1中8個基本矢量電壓的幅值，除了U0和U7這兩個零矢量外，其余電壓的幅值均為2Udc/3，并將αβ坐標系分為了6個扇區如圖5所示。

圖5 PMSM電壓空間矢量圖

為了形成圓形的磁鏈，僅僅通過以上8個基本的空間矢量電壓是遠遠不夠的，但可以通過快速更替以上8個基本矢量電壓，從而使產生的定子磁鏈近似圓形磁鏈。本文的SVPWM采用的平均值等效原則，根據要輸出的空間矢量電壓Us所在的位置，首先判斷所在的扇區，其次確定劃分該扇區的兩個基本空間矢量電壓，最后由這兩個基本電壓合成Us。

2.3 SVPWM算法實現

基于PMSM空間矢量脈寬調制的工作原理，SVPWM算法可分三步完成，具體實現過程如下。

1)電壓矢量Us的扇區判斷

為了判斷電壓矢量Us所在的扇區，可以通過分析不同扇區時，Us在αβ軸上的電壓分量規律進行判斷。不妨設三個參考電壓變量Uref1、Uref2、Uref3滿足：

(17)

定義三個變量a、b、c，則有以下規則成立：

當Uref1>0時，a=1，否則a=0；

當Uref2>0時，b=1，否則b=0；

當Uref3>0時，c=1，否則c=0。

令N= 4c+2b+a，則N取值與扇區的關系見：

表2 N取值與扇區的關系

2)基本電壓矢量作用時間計算

電壓矢量Us在αβ軸上的電壓分量uα、uβ別為：

(18)

已知|U4|=|U6|=2Udc/3，式可變形為：

(19)

以上完成了電壓矢量Us在第Ⅰ扇區時在相鄰基本矢量電壓上作用時間的計算，用同樣的方法不難計算Us在其他扇區的作用時間，在此將不進行詳盡的推導。根據推導結果，總結規律如下，令：

(20)

因此，通過以上X、Y、Z三個參考變量，很容易對推到結論進行總結。電壓矢量Us在各個扇區作用時間與N的關系見表3。

表3 各扇區作用時間與N的關系

注：Tx為電壓空間矢量Us在主矢量(U1、U2、U4)上的作用時間；Ty為Us在輔矢量(U3、U5、U6)上的作用時間。

3)扇區矢量切換點的確定

根據7段式SVPWM算法，定義：

(21)

根據以上定義的TA、TB、TC時間，扇區矢量切換點Tcm1、Tcm2、Tcm3與N的關系如表4所示。

表4 各扇區時間切換點

3 仿真驗證

3.1 仿真條件

為了驗證矢量控制算法對PMSM的控制效果，根據其系統框圖(如圖3所示)在MATLAB/Simulink上搭建仿真模型。設置如下仿真條件：逆變器直流側電壓Udc=310 V，開關頻率10 kHz。速度控制器的PI參數對電機的工作性能有很大的影響，傳統PI控制器一般需要手動調節。經調試速度環比例、積分參數分別為kp=0.27、ki=0.05。此外，所選電機仿真參數詳見表5。

表5 永磁同步電機仿真參數

3.2 仿真結果與分析

本文將在轉速突變和負載突變兩種情況下分析PMSM矢量伺服控制系統性能。為了便于觀察設仿真時間為0.16 s，下面將簡單介紹仿真過程。

1)在0～0.04 s內，電機以3 000 r/min的初始速度空載啟動，保持3 000 r/min的速度不變；

2)在0.04 s時刻，電機轉速突降為2 500 r/min，在0.4～0.1 s內以2 500 r/min的速度空載運行；

3)在0.1 s時刻，電機負載突加為5 N·m；在0.1～0.16 s內，電機以2 500 r/min的速度，5 N·m的負載運行。

id=0矢量控制PMSM轉速響應曲線如圖6所示。

圖6 PMSM轉速響應曲線

圖中虛線表示電機給定轉速，實線是電機轉速響應曲線。該速度響應曲線總共包括三個階段，首先是電機啟動階段，電機以3 000 r/min的速度空載啟動，電機轉速從零開始增加，上升時間約為0.002 0 s，調節時間約為0.003 5 s (±2%)，并產生了3.1%的超調。其次是電機降速階段，在0.04 s處，電機轉速突降為2 500 r/min，經過0.002 6 s的調節趨于穩定，此過程產生了8.56%的超調。最后是電機負載突變階段，在0.1 s處，電機負載由零突加到5 N·m，轉速波形產生波動，產生了0.72%的超調。由于本文選擇的電機的轉動慣量很小，當電機負載突變時，其調節時間不易求取。因此，在此不做更多的分析。

id=0矢量控制PMSM轉矩響應曲線如圖7所示。

圖7 PMSM轉矩響應曲線

從PMSM仿真過程可知，電機是空載啟動的，直到0.1 s時刻才給電機加了5 N·m的負載，所以理想條件下電機轉矩響應曲線正如圖虛線，實線表示電機轉矩響應曲線。為了分析電機不同情況下對電機轉矩響應的影響，本文將從三個階段進行分析。首先是電機啟動階段，電機空載啟動，從電機轉矩響應曲線觀察可得電機轉矩隨轉速的增加產生了大的波動，產生了121.4 N·m的最大偏差。經0.003 5 s的調節，電機完成提速的同時，電機將不再輸出轉矩。其次是電機降速階段，在0.04 s處電機轉速突降，電機降速的過程中，電機轉矩也增大，最大偏差為66.57 N·m。降速完成后，電機轉矩再次將為零。最后是電機負載突變階段，在0.1 s處電機負載突加到5 N·m，經0.000 8 s電機轉矩響應曲線無超調穩定于5 N·m。

通過以上理論分析可知SVPWM算法最終輸出的是逆變器開關時間切換點Tcm1、Tcm2、Tcm3波形，該波形也被稱為電機三相調制波圖8所示。由圖可得每相波形都呈馬鞍狀分布，從而提高電機母線電壓的利用率。

本文將三相調制波形兩兩做差可得圖8處理后的調制波，觀察處理后波形正是相位相差120°呈正弦分布的三相波形，SVPWM算法可以用于PMSM控制。

圖8 SVPWM三相調制信號及其處理信號

id=0矢量控制PMSM三相電流響應曲線如圖9所示。

圖9 PMSM三相電流響應曲線

下面將從以下三個階段進行分析，首先是電機啟動階段，電機空載啟動時，電機轉速增加的同時，三相電流也隨之增大，最大波動值為114.7 A。電機完成提速后，電機三相電流趨于零。其次是電機轉突降階段，在0.04 s處電機轉速突降為2 500 r/min，電機三相電流也隨之產生波動，最大波動值為60.84 A。電機降速完成后，三相電流再次趨于零。最后是電機負載突變階段，在0.1 s處給電機突加5 N·m的負載，三相電流經0.000 8 s調節后趨于穩定，拖動電機負載運行，且波形呈正弦規律變化。

4 結束語

本文首先基于PMSM的工作原理，分別在ABC三相靜止坐標系、dq旋轉坐標系下建立PMSM的數學模型；其次研究了PMSM空間矢量脈寬調制技術及其實現過程；最后在MATLAB/Simulink上搭建id=0的PMSM矢量控制系統仿真模型，在轉速突變和增加負載的情況下，分別從電機轉速、轉矩、SVPWM調制信號、三相電流等響應曲線進行綜合分析，驗證了本文所建立的id=0矢量控制模型可以實現PMSM的高精度控制。