羅爾定理的線上教法分析

羅慶仙 龍能

【摘要】 羅爾定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的預備定理，在實際應用和中值定理的證明中有著重要的意義.本文通過對羅爾定理的線上教法的分析，培養學生的分析能力、知識遷移能力、數形結合的思想以及運用知識解決問題的能力.同時，學生還要掌握構造輔助函數和利用中值證明等式的方法，為后面中值定理的學習打下扎實的理論基礎.

【關鍵詞】羅爾定理;線上;教法;分析

【基金項目】廣東茂名幼兒師范專科學校2020年度教育科學“十三五”規劃課題——新版課程標準和教資國考背景下的《小學數學課程與教學》的課程設計與教材建設（2020GMYSKT02）

一、引 言

微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理，它們是我們討論怎樣由導數f′（x）的已知性質來推斷函數f（x）所應具有的性質的有效工具，也是數學分析中的重要內容.這部分內容理論性比較強，特別是定理的應用.因此，它們成為教師的一個教學難點.然而，大專院校的學生按來源基本上分為以下三大類：一是高考，二是3+證書，三是學業水平考試，所以他們的數學基礎比較差、理解能力比較弱、自學能力也相對比較差，這無疑增加了教學的難度.在中值定理的教學過程中，首先要讓學生充分理解羅爾定理，并掌握相應的數學方法，這樣才能夠以羅爾定理為基礎，通過構造滿足羅爾定理三個條件的輔助函數，證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

二、溫故知新

在講羅爾定理之前，我們先復習極值的概念和費馬定理，為接下來證明羅爾定理做鋪墊，同時加深學生對這些知識點的理解.

（極值的概念） 設函數f（x）在區間I有定義.若x0∈I，且存在x0的某鄰域U（x0）I，x∈U（x0），有

f（x）≤f（x0）（f（x）≥f（x0）），

則稱x0是函數f（x）的極大點（極小點），f（x0）是函數f（x）的極大值（極小值）.

注：

①極大點和極小點統稱極值點，極大值和極小值統稱極值;

②極值點必屬于區間I的內部;

③極值是一個局部概念;

④若函數f（x）在區間I內部某點x0取最值，則x0必為極值點.

（費馬定理） 設函數f（x）在區間I有定義.若函數f（x）在x0可導，且x0是函數f（x）的極值點，則

f′（x0）=0.

三、定理講解

先簡單介紹羅爾定理的條件和結論，再詳細分析每一個條件的幾何意義，得出結論的幾何意義，接著舉例子分析缺少一個或三個羅爾定理條件，結論是否仍然成立，最后證明羅爾定理！

1.羅爾定理及其幾何意義.

（羅爾定理） 設函數f（x）在區間[a，b]上滿足下列條件：

（1）在閉區間[a，b]上連續;

（2）在開區間（a，b）內可導;

（3）f（a）=f（b）.

則在（a，b）內至少存在一點c，使得f′（c）=0.

羅爾定理的條件及結論

羅爾定理的幾何意義

（1）在閉區間[a，b]上連續

在閉區間[a，b]上有連續曲線

（2）在開區間（a，b）內可導

曲線上每一點都存在切線

（3）f（a）=f（b）

曲線兩個端點的高度相等

則在（a，b）內至少存在一點c，使f′（c）=0

則至少存在一條水平切線

2.羅爾定理的條件分析

定理中的三個條件都很重要，缺少一個，結論不一定成立，如下列例子：

（1）如圖2，是函數f（x）=x，0≤x<1，0，x=1的圖像，

在[0，1]上滿足條件（2）和（3），但是條件（1）不滿足，該函數在0，1上的導數恒為1.

圖2 函數圖像

（2）如圖3，是函數f（x）=|x|，x∈[-1，1]的圖像，

滿足條件（1）和（3），但是條件（2）卻遭到破壞（f（x）在x=0處不可導），結論也不成立.

（3）如圖4，是函數f（x）=x，x∈[0，1]的圖像，

滿足條件（1）和（2），但是條件（3）卻遭到破壞，該函數在0，1上的導數恒為1.

（4）又如

f（x）=0，-2≤x≤-1，x2，|x|<1，1，1≤x≤2，

在[-2，2]上不連續，在（-2，2）內不可導，且f（2）≠f（-2），即三個條件都不滿足，但存在一點ξ=0∈（-2，2），使得f′（0）=0.這說明羅爾定理的三個條件是充分條件，而不是必要條件.

3.羅爾定理的證明

思路：引導學生由函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，可以知道函數f（x）在閉區間[a，b]上取得最大值M和最小值m.接著提問學生最大值和最小值有沒有可能相等？引導學生分為m=M和m≠M兩種情況討論，對于m≠M的情況，運用數形結合的方法引導學生知道至少有一個最值在區間內取值，然后再提問學生區間內的最值與極值之間的關系，進而引導學生用費馬定理去證明.用費馬定理證明時，先把它的條件和結論寫出來，對照著寫過程.羅爾定理的證明方法是分類討論，然后利用費馬定理來證明的，下面我們來證明羅爾定理.

證明 （1）若m=M，則f（x）在[a，b]上必為常數，它的導數恒為零，此時可在（a，b）內任意取一點c，有f′（c）=0.

（2）若m≠M，則由f（a）=f（b）知，最大值與最小值至少有一個不在端點處取得.如果最大值不在端點處取得，那么存在c∈（a，b），使得f（c）=M.因為在區間內部取得的最大值一定是極大值，所以由費馬定理得f′（c）=0.

綜上所述，定理得證.

四、應用舉例，深入理解定理

用羅爾定理解決方程根的存在性問題，得到了證明方程的根的存在性問題的另一種方法的步驟.要提醒學生注意討論的是f′（x）=0的根的存在性還是f（x）=0的根的存在性，而且只能夠證明至少有一個根.

利用羅爾定理證明含有“中值點”的等式，總結出證明此類型等式的一般方法.

例1 已知函數f（x）=（x-1）（x-2），試判斷方程f′（x）=0有幾個根，并指出根的所在區間.（用羅爾定理判斷）

分析 依題意可知f（x）=0是二次方程，有兩個不相等的實根，f′（x）=0是一次方程，至多有1個實根.用羅爾定理來證明f′（x）=0有幾個根，即要判斷f（x）滿足羅爾定理的條件，但是題目并沒有給出驗證羅爾定理的區間，因此需要找出區間.而3個條件中，f（a）=f（b）是找出區間[a，b]的突破點，所以令f（x）=0求得區間是（1，2）.

解 因為f（1）=f（2），且f（x）在[1，2]上連續，在（1，2）內可導，由羅爾定理得，至少存在一點c∈（1，2），使得f′（c）=0.又因為f′（x）=0是一次方程，至多有1個實根，故f′（x）=0有1個實根，位于（1，2）內.

例2 用羅爾定理證明：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內有實根.

分析 依題意令f′（x）=3ax2+2bx-（a+b），因此我們需要通過導數公式表來找出f（x）的解析式，然后驗證f（x）在（0，1）內滿足羅爾定理.

證明 設輔助函數

F（x）=ax3+bx2-（a+b）x，

則F（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且F（0）=F（1）=0，由羅爾定理知，至少存在一點c∈（0，1），使F′（c）=0，又因為F′（x）=3ax2+2bx-（a+b），所以有3ac2+2bc-（a+b）=0，即方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內有實根.

例3 設f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f（1）=0，求證存在ξ∈（0，1），使

f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0.

分析 由題可知，函數f（x）在[0，1]上滿足羅爾定理的條件（1）和（2），需要證明的結論是f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0，即要證明某個函數的一階導數的方程等于零.把ξ改為x，由f′（x），f（x），sin x和cos x聯想到兩個函數相乘的導數，從而知道需要構造的函數為F（x）=f（x）sin x.

證明 設輔助函數為

F（x）=f（x）sin x，

則F′（x）=f′（x）sin x+f（x）cos x，顯然函數F（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且F（0）=F（1）=0，由羅爾定理知，至少存在一點ξ∈（0，1），

使得F′（ξ）=f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0.

練習：設f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f（1）=0，證明至少存在一點ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=-f（ξ）ξ.

分析 由題可知，函數f（x）在[0，1]上滿足羅爾定理的條件（1）和（2），需要證明的結論是f′（ξ）=-f（ξ）ξ.但是等號右邊并不為零，所以需要把式子整理變形，使得等號右邊為零，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，把ξ改為x，由f′（x），f（x），x和1聯想到兩個函數相乘的導數，從而知道需要構造的函數為F（x）=xf（x）.

證明 設輔助函數為F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf′（x），顯然函數F（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且F（0）=F（1）=0，由羅爾定理知，至少存在一點ξ∈（0，1），使得

F′（ξ）=f（ξ）+ξf′（ξ），

即f′（ξ）=-f（ξ）ξ.

小結：

1.羅爾定理的三個條件是充分的，不是必要的，缺少一個條件，結論不一定成立.

2.羅爾定理的應用及步驟.

（1）利用羅爾定理證明方程的根.

（ⅰ）判別方程f′（x）=0是否有根.驗證f（x）滿足羅爾定理的條件，在證明過程中要注意區間的選取，通常是從f（a）=f（b）中尋找區間（如例1）.

（ⅱ）應用羅爾定理討論方程的根.首先要構造一個函數，使得構造后的函數的導數是結論中的函數（如例2）.

（2）利用羅爾定理證明含“中值點”的等式.首先改寫中值等式，將所有項移到一側，把等號右邊變為零（若等號右邊為零則不需要改寫）;其次令表達式中的中值為變量x，并構造輔助函數.最后驗證輔助函數滿足羅爾定理的條件，得出結論.證明形如：f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=0的結論，可構造函數F（x）=f（x）g（x）.

拓展練習：

考慮到有部分學生需要專升本，因此我們在教學上還需要增加一些拓展的習題，讓有興趣的學生自行完成.

1.證明方程x5-5x+1=0有且僅有一個小于1的正實根.

2.證明：函數

f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）

在區間（1，3）內至少存在一點ξ，使f″（ξ）=0.

3.證明：方程x3-3x+c=0在區間（0，1）內沒有兩個不同的實根（提示：用反證法）.

五、總 結

“羅爾定理”是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的預備定理，也是數學分析內容中學習難度比較大的一部分.因此，在進行線上教學時，教師要認真備課，提高自己的教學水平，同時對自己的上課方式也要進行適當的調整，比如：教師在教學方式上要以連麥提問的教學形式，鼓勵學生積極思考，發揮學生的主體作用;在課堂上讓學生把做好的題目寫好拍照發到釘釘群里，對于重點、難點要板書給學生講解，做到以講練結合的方法，調動學生的積極性，使課堂氣氛更加活躍;在教學手段上，教師需采用多元化的教學手段，將板書、課件相結合;在教學模式上，教師應采取屏幕和攝像頭切換的線上教學模式，多讓學生獨立思考，提高學生的數學思維能力.

【參考文獻】

[1]劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

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[5]李雙安，陳鳳華，趙艷偉.拉格朗日中值定理教法研究[J].數學學習與研究：教研版，2016（09）：29，31.