二維黎曼流形上Monge睞mpère方程解的一個不等式

【摘要】在這篇文章中，對滿足齊次Dirichlet邊值條件的橢圓型MongeAmpère方程， 在二維常曲率黎曼流形上借助與解有關的輔助函數，在u的Hessian矩陣特征值滿足一定條件時，給出一個與此方程解有關的微分不等式證明.

【關鍵詞】 黎曼流形;曲率;微分不等式

【基金項目】北京電子科技職業學院校內科技重點課題 “有關一類橢圓偏微分方程解的微分不等式”（項目編號：2018Z002-022-KXZ）

一、引言

對完全非線性的MongeAmpère方程det D2u=f（x），近幾年有較豐富的研究成果，比如在歐式空間中、空間形式中都有較好的結論，尤其是方程解的凸性估計.主要思路是構造一個與蒙日安培方程解有關的輔助函數，利用這個輔助函數進而證明與該方程解相關的微分不等式，從而去進行更深的凸性估計.

對滿足齊次Dirichlet邊值條件的橢圓型MongeAmpère方程

det D2u=1 in Ω，

u=0on Ω，

本文將在低維黎曼流形上進行類似的研究，通過構造一個輔助函數得到一個與橢圓型MongeAmpère方程解的微分不等式，并給出詳盡的證明.

二、主要結論

定理內容 設（M2，g）是具有非負截面曲率K=ε（ε≥0）的二維常曲率黎曼流形，ΩM2為有界凸區域.u是滿足齊次Dirichlet邊值條件的MongeAmpère方程

的一個嚴格凸解， 設函數ψ=∑2k，l=1σ2（D2u）uklukul-2u，若對u的Hessian矩陣特征值uii有uii2≥2成立，則有微分不等式∑2i，j=1uijψij≥0成立.

三、定理證明

在二維黎曼流形上定義曲率張量：

R（X，Y）Z=SymbolQC@XSymbolQC@YZ-SymbolQC@YSymbolQC@XZ-SymbolQC@[X，Y]Z，

記gij=g（ei，ej），定義

Rijkl=〈R（ek，el）ej，ei〉.

在二維常曲率黎曼流形上有

Rijkl=ε（gikgjl-gilgjk），

uijk=uikj-∑2β=1Rkjβiuβ，

uijkl=uijlk+∑2β=1Rβikluβj+∑2β=1Rβjkluiβ.

定義：

akl=σ2（D2u）ukl，

其中（ukl）=（ukl）-1，

akl=∑2j=1，j≠kujj，k=l，

-ukl，k≠l.

定理證明

已知D2u>0.在x0處選取光滑的標準正交標架e1，…，e5使得u的Hessian矩陣uij（x0）（1≤i，j≤2）是對角的并且gij=δij， 此時有SymbolQC@iej=0， Γkij=0.為了證明結論成立，要先進行對ψ二階求導.

ψ=∑2k，l=1σ2（D2u）uklukul-2u

=∑2k，l=1uklukul-2u.

首先，求一階導有

ψi=∑2k，l=1ukliukul+2∑2k，l=1uklukiul-2ui

=∑2k，l=1ukliukul，

求二階導有

ψii=∑2k，l=1ukliiukul+2∑2k，l=1ukliukiul

=∑2k，l=1ukliiukul+2∑2l=1uiliuiiul，

因此，

∑2i，j=1uijψij=∑2i=1uiiψii

=∑2i，k，l=1ukliiuiiukul+2∑2i，l=1uiliul

=∑2i，k，l=1ukliiuiiukul+2∑2i，l=1uiiulluiliul

=∑2j，k=1j≠kuiiujjiiu2k-∑2k，l=1k≠luiiukliiukul+

2∑2j=1k≠iujjiui-2∑2l=1l≠iuiliul.

對方程det D2u=1兩邊求一階導有

det D2uxk=∑2i，j=1uijuijk=0，

求二階導有

2detD2uxkxl=∑2i，j=1uijuijkl+∑2i，j，p，q=1（-uiqupjuijkupql）=0，

所以有

∑2i，j=1uijψij=∑2i，j，k，l=1k≠luiiujju2ijlu2k-∑2i，j，k，l=1k≠luiiujjuijkuijlukul

+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠kRijjiu2k+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠kRijijuiiujju2k

+4∑2i，l=1i≠lRilliu2l+2∑2i，j，k=1i≠k，j≠kRikikuiiujju2k，

方便整理不妨設

A=∑2i，j，k，l=1k≠luiiujj（u2ijlu2k-uijkuijlukul），

B=2∑2i，j，k=1i≠j，j≠kRijjiu2k+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠kRijijuiiujju2k+

4∑2i，l=1i≠lRilliu2l+2∑2i，j，k=1i≠k，j≠kRikikuiiujju2k.

根據柯西施瓦茨不等式很容易得到

∑2k，l=1（u2ijlu2k-uijkuijlukul）≥0，

所以

A=∑2i，j，k，l=1k≠luiiujj（u2ijlu2k-uijkuijlukul）≥0.

對B進行整理得到

B=2∑2i，j，k=1i≠j，j≠k，i≠kRijjiu2k+2∑2i，j=1i≠jRijjiu2i

+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠k，k≠iRijijuiiujju2k+2∑2i，j=1i≠jRijijuiiujju2i

+4∑2i，j=1i≠lRilliu2l+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠k，k≠iRikikuiiujju2k

+2∑2i，k=1i≠kRikiku2k

=-4ε∑2i=1u2i+2ε∑2i，j=1i≠juiiujju2i

=-4ε∑2i=1u2i+2ε∑2i，j=1i≠ju2iiu2j，

由uii2≥2，ε>0進而可得

B=-4ε∑2i=1u2i+2ε∑2i，j=1i≠ju2iiu2j

=2ε∑2i，j=1i≠j（u2ii-2）u2j≥0.

綜上，有微分不等式

∑2i，j=1uijψij≥0.

四、結束語

本文主要研究了二維黎曼流形上帶有0邊值Dirichlet條件的蒙日安培方程下的嚴格凸解的一個微分不等式，在給定嚴格凸解的Hessian矩陣特征值不小于2的情況下，證明微分不等式∑2i，j=1uijψij≥0成立.

【參考文獻】

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