虛數(shù)產(chǎn)生定理及其應(yīng)用

王海東

【摘要】從虛數(shù)定義可以推出虛數(shù)產(chǎn)生定理.從虛數(shù)產(chǎn)生定理可以推出負(fù)實(shí)數(shù)開方定理.從虛數(shù)產(chǎn)生定理和負(fù)實(shí)數(shù)開方定理可以推出復(fù)數(shù)表示定理.從復(fù)數(shù)表示定理可以推出偽實(shí)數(shù)公式.偽實(shí)數(shù)公式在復(fù)數(shù)運(yùn)算中具有兩個(gè)重要作用：第一個(gè)重要作用是把復(fù)數(shù)公式改寫成實(shí)數(shù)公式，第二個(gè)重要作用是把實(shí)數(shù)公式還原為復(fù)數(shù)公式.

【關(guān)鍵詞】虛數(shù)產(chǎn)生定理;負(fù)實(shí)數(shù)開方定理;復(fù)數(shù)表示定理;偽實(shí)數(shù)公式

從數(shù)學(xué)發(fā)展史的角度來(lái)看，實(shí)數(shù)的出現(xiàn)不難理解.因?yàn)椋瑢?shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù).人類并非一開始就認(rèn)識(shí)到了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的存在.這一認(rèn)識(shí)是在人類從自然數(shù)到整數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從分?jǐn)?shù)到小數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中逐漸形成的.

與實(shí)數(shù)的出現(xiàn)相比，虛數(shù)的出現(xiàn)卻顯得有些難于理解.雖然虛數(shù)的出現(xiàn)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，但是虛數(shù)的來(lái)源卻變成了數(shù)學(xué)的破綻.虛數(shù)是怎么出現(xiàn)在實(shí)數(shù)旁邊的？為什么除了實(shí)數(shù)之外還有虛數(shù)？如果不承認(rèn)虛數(shù)的存在，實(shí)數(shù)是否可以獨(dú)自存在下去？在這個(gè)問(wèn)題上，從未有人用數(shù)學(xué)定理給出一個(gè)令人信服的答案.

為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？是因?yàn)槿祟惒痪邆浠卮疬@個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力嗎？不是.自從產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題以來(lái)，人類已經(jīng)涌現(xiàn)出了無(wú)數(shù)個(gè)才華出眾的數(shù)學(xué)家.這些數(shù)學(xué)家完全具備回答這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力.他們之所以沒有使這個(gè)問(wèn)題得到回答，是因?yàn)樗麄儧]有把這個(gè)問(wèn)題當(dāng)成一個(gè)必須回答的問(wèn)題，他們之所以沒有把這個(gè)問(wèn)題當(dāng)成一個(gè)必須回答的問(wèn)題，是因?yàn)樗麄儧]有充分認(rèn)識(shí)到回答這個(gè)問(wèn)題的重要性.

那么，回答這個(gè)問(wèn)題究竟具有什么重要性呢？顯然，回答這個(gè)問(wèn)題的重要性在于：它不僅可以使我們對(duì)虛數(shù)的出現(xiàn)做出合理解釋，而且可以使我們對(duì)復(fù)數(shù)的構(gòu)成做出合理解釋.復(fù)數(shù)是由兩個(gè)與虛數(shù)具有不同關(guān)系的實(shí)數(shù)構(gòu)成的.其中，一個(gè)實(shí)數(shù)與虛數(shù)具有加法關(guān)系，一個(gè)實(shí)數(shù)與虛數(shù)具有乘法關(guān)系.前者被定義為復(fù)數(shù)的實(shí)部，后者被定義為復(fù)數(shù)的虛部.復(fù)數(shù)就等于實(shí)部與虛部的代數(shù)和.從復(fù)數(shù)的構(gòu)成來(lái)看，早在某個(gè)復(fù)數(shù)出現(xiàn)之前，構(gòu)成這個(gè)復(fù)數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)就已經(jīng)出現(xiàn)了，這兩個(gè)實(shí)數(shù)與虛數(shù)的不同關(guān)系就已經(jīng)形成了.

由此可見，復(fù)數(shù)不是一個(gè)可以隨意構(gòu)成的數(shù)學(xué)概念.復(fù)數(shù)的構(gòu)成體現(xiàn)著某種已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)關(guān)系.這種數(shù)學(xué)關(guān)系僅僅適用于兩個(gè)相互對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).這兩個(gè)相互對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)就是虛數(shù)的產(chǎn)生原因和存在條件.離開了這兩個(gè)相互對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，體現(xiàn)這種數(shù)學(xué)關(guān)系的復(fù)數(shù)就不復(fù)存在了.

由于復(fù)數(shù)不是一個(gè)可以隨意構(gòu)成的數(shù)學(xué)概念，所以我們必須對(duì)復(fù)數(shù)的構(gòu)成做出合理解釋.如果我們不能對(duì)復(fù)數(shù)的構(gòu)成做出合理解釋，我們就不能形成一個(gè)正確的復(fù)數(shù)概念.如果我們不能形成一個(gè)正確的復(fù)數(shù)概念，我們就不能形成正確的復(fù)數(shù)運(yùn)算方法.如果我們不能形成正確的復(fù)數(shù)運(yùn)算方法，我們就不能正確解決各種復(fù)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題.

那么，怎樣才能對(duì)復(fù)數(shù)的構(gòu)成做出合理解釋呢？顯然，要想對(duì)復(fù)數(shù)的構(gòu)成做出合理解釋，就必須對(duì)虛數(shù)的出現(xiàn)做出合理解釋.因?yàn)閺?fù)數(shù)的構(gòu)成是由虛數(shù)的出現(xiàn)所決定的.沒有虛數(shù)的出現(xiàn)就不會(huì)有復(fù)數(shù)的構(gòu)成.例如，黎曼猜想就是用復(fù)數(shù)形式表述出來(lái)的.要想解決黎曼猜想的證明問(wèn)題，就必須揭開黎曼猜想的復(fù)數(shù)之謎.所謂黎曼猜想的復(fù)數(shù)之謎，就是黎曼猜想的復(fù)數(shù)構(gòu)成之謎.要想揭開黎曼猜想的復(fù)數(shù)之謎，就必須揭開黎曼猜想的虛數(shù)之謎.所謂黎曼猜想的虛數(shù)之謎，就是黎曼猜想的虛數(shù)出現(xiàn)之謎.

說(shuō)到這里，我們不能不為第一個(gè)發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的數(shù)學(xué)家感到遺憾.因?yàn)樗陌l(fā)現(xiàn)并不徹底.雖然他發(fā)現(xiàn)了虛數(shù)的存在，但是他沒有發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的來(lái)源.由于他的發(fā)現(xiàn)并不徹底，所以他并沒有回答自己遇到的所有問(wèn)題.由于他并沒有回答自己遇到的所有問(wèn)題，所以他在回答了一個(gè)問(wèn)題的同時(shí)又留下了一個(gè)有待回答的問(wèn)題.

下面，我們就來(lái)回答這個(gè)有待回答的問(wèn)題.

從虛數(shù)定義來(lái)看，虛數(shù)是從負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算中產(chǎn)生出來(lái)的.只要必須進(jìn)行負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算，就一定會(huì)在運(yùn)算過(guò)程中產(chǎn)生一個(gè)虛數(shù).因此，我們可以從虛數(shù)定義中推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)定理：所有負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)虛數(shù).這個(gè)數(shù)學(xué)定理就是虛數(shù)產(chǎn)生定理.

令-x代表任意負(fù)實(shí)數(shù)，y代表負(fù)實(shí)數(shù)的開方，i代表虛數(shù)單位，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明虛數(shù)產(chǎn)生定理.

第一步，假定-x=-1.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-1=i.

第二步，假定-x=-n且0

y=-n=-1×n=-1×n=in.

第三步，假定-x=-n+m且m≥1.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-（n+m）=-1×（n+m）=-1×n+m=in+m.

因?yàn)樯鲜鋈齻€(gè)公式覆蓋了所有負(fù)實(shí)數(shù)，所以我們可以推出以下公式：

y=-x=-1×x=-1×x=ix.

證畢.

虛數(shù)產(chǎn)生定理將虛數(shù)的產(chǎn)生原因歸結(jié)于負(fù)實(shí)數(shù)開方.雖然這個(gè)結(jié)論已經(jīng)給出了上述問(wèn)題的答案.但是這個(gè)答案又向我們提出了一個(gè)新的問(wèn)題：負(fù)實(shí)數(shù)開方又是怎樣形成的呢？為什么必須進(jìn)行負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算呢？如果這個(gè)新的問(wèn)題得不到回答，已經(jīng)給出的答案就會(huì)使人產(chǎn)生疑慮.

從虛數(shù)產(chǎn)生定理來(lái)看，負(fù)實(shí)數(shù)開方來(lái)源于絕對(duì)值相同的正負(fù)實(shí)數(shù)的乘積.只要絕對(duì)值相同的正負(fù)實(shí)數(shù)可以相乘，就一定會(huì)產(chǎn)生負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算.因此，我們可以從虛數(shù)產(chǎn)生定理中推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)定理：任何絕對(duì)值相同的正負(fù)實(shí)數(shù)相乘都會(huì)產(chǎn)生負(fù)實(shí)數(shù)開方.這個(gè)數(shù)學(xué)定理就是負(fù)實(shí)數(shù)開方定理.

令y和-x含義不變，我們可以用以下方法證明負(fù)實(shí)數(shù)開方定理：

已知

y=-x

又知

y2=-x

因此x=-y2=y×（-y）

證畢.

從平面直角坐標(biāo)系來(lái)看，負(fù)實(shí)數(shù)開方定理的幾何表示就是：某個(gè)圍繞原點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)的向量，在旋轉(zhuǎn)到x從正數(shù)變?yōu)樨?fù)數(shù)的時(shí)候，或者從y為正數(shù)的位置旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)為負(fù)數(shù)的位置，或者從y為負(fù)數(shù)的位置旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)為正數(shù)的位置，并把這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程用絕對(duì)值相同的正負(fù)實(shí)數(shù)的乘積表現(xiàn)出來(lái).

從負(fù)實(shí)數(shù)開方定理的幾何表示來(lái)看，虛數(shù)產(chǎn)生定理的幾何表示就是：先把發(fā)生在左平面的負(fù)實(shí)數(shù)開方用出現(xiàn)在右平面的虛數(shù)表現(xiàn)出來(lái)，再把用虛數(shù)構(gòu)造出來(lái)的某個(gè)復(fù)平面從右平面擴(kuò)展到左平面.

從虛數(shù)產(chǎn)生定理的幾何表示來(lái)看，上述問(wèn)題的最終答案就是：虛數(shù)不僅來(lái)源于負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算，而且來(lái)源于某個(gè)向量的旋轉(zhuǎn)過(guò)程.因?yàn)橹挥性谀硞€(gè)向量的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，才能產(chǎn)生絕對(duì)值相同的正負(fù)實(shí)數(shù)相乘的現(xiàn)象.只有產(chǎn)生絕對(duì)值相同的正負(fù)實(shí)數(shù)相乘的現(xiàn)象，才能產(chǎn)生負(fù)實(shí)數(shù)的開方運(yùn)算.

由此可見，虛數(shù)產(chǎn)生定理和負(fù)實(shí)數(shù)開方定理不僅是兩個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)定理，而且是兩個(gè)具有內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)定理.只有把這兩個(gè)數(shù)學(xué)定理的內(nèi)在聯(lián)系充分展現(xiàn)出來(lái)，我們才能對(duì)虛數(shù)的出現(xiàn)做出合理解釋.

但是，我們的收獲不止如此.因?yàn)椋覀儾粌H已經(jīng)看到了虛數(shù)產(chǎn)生定理和負(fù)實(shí)數(shù)開方定理的內(nèi)在聯(lián)系，而且可以通過(guò)這兩個(gè)定理的證明過(guò)程分別找到兩個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)公式.

我們通過(guò)虛數(shù)產(chǎn)生定理的證明過(guò)程找到的數(shù)學(xué)公式是：

y=ix

我們通過(guò)負(fù)實(shí)數(shù)開方定理的證明過(guò)程找到的數(shù)學(xué)公式是：

y=-xy

把這兩個(gè)數(shù)學(xué)公式聯(lián)系起來(lái)，我們可以推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)公式：

ix=-xy

從這個(gè)數(shù)學(xué)公式中，我們又可以推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)公式：

iy=-xx

這個(gè)數(shù)學(xué)公式表明：當(dāng)x等于零時(shí)，y就肯定會(huì)等于零.但是，x不可能等于零.x等于零意味著分母等于零，分母等于零意味著分?jǐn)?shù)無(wú)意義.由于x不可能等于零，所以y也不可能等于零.因此，純虛數(shù)是一個(gè)并不存在的虛數(shù).人們使用純虛數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的唯一理由，就是可以通過(guò)復(fù)數(shù)運(yùn)算將它還原為一個(gè)早已存在的虛數(shù).

這個(gè)數(shù)學(xué)公式還表明：某個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部既不可能同時(shí)等于零，也不可能一個(gè)等于零另一個(gè)不等于零.零復(fù)數(shù)不是來(lái)源于等于零的實(shí)部和虛部，而是來(lái)源于不等于零的實(shí)部和虛部.如果某個(gè)復(fù)數(shù)不具有這樣的性質(zhì)，這個(gè)復(fù)數(shù)就會(huì)違背虛數(shù)產(chǎn)生定理和負(fù)實(shí)數(shù)開方定理，構(gòu)成這個(gè)復(fù)數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)就變成兩個(gè)不存在復(fù)數(shù)關(guān)系的實(shí)數(shù)了.從這一點(diǎn)來(lái)看，我們只能在平面直角坐標(biāo)系的四個(gè)象限之內(nèi)尋找復(fù)數(shù)的幾何表示，不能在平面直角坐標(biāo)系的兩條坐標(biāo)軸上尋找復(fù)數(shù)的幾何表示.這是復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的一個(gè)重要區(qū)別.

由于這個(gè)數(shù)學(xué)公式對(duì)復(fù)數(shù)的構(gòu)成做出了合理解釋，所以我們可以從這個(gè)數(shù)學(xué)公式中推出一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)定理：任何一個(gè)復(fù)數(shù)的虛部都可以用這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部表示出來(lái).這個(gè)數(shù)學(xué)定理就是復(fù)數(shù)表示定理.

令z代表復(fù)數(shù)，我們可以用以下方法來(lái)證明復(fù)數(shù)表示定理：

已知

z=x+iy

又知

iy=-xx

因此

z=x-xx=x1-1x

證畢.

令x=rcos θ，y=rsin θ，我們可以把復(fù)數(shù)表示定理應(yīng)用到復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表達(dá)式：

z=rcos θ+isin θ=rcos θ1-1rcos θ.

令z=reiθ，i=-xyx，我們還可以把復(fù)數(shù)表示定理應(yīng)用到復(fù)數(shù)的指數(shù)函數(shù)表達(dá)式：

z=reiθ=re-xθyx.

不過(guò)，我們?cè)趹?yīng)用復(fù)數(shù)表示定理的時(shí)候必須注意：雖然任何一種復(fù)數(shù)公式都可以改寫成實(shí)數(shù)公式，但是改寫出來(lái)的實(shí)數(shù)公式卻又與眾不同.當(dāng)x>0時(shí)，這種實(shí)數(shù)公式不會(huì)通過(guò)開方運(yùn)算產(chǎn)生虛數(shù).當(dāng)x<0時(shí)，這種實(shí)數(shù)公式將會(huì)通過(guò)開方運(yùn)算產(chǎn)生虛數(shù).因此，這種實(shí)數(shù)公式具有兩個(gè)不同定義域.一個(gè)定義域?qū)儆趯?shí)數(shù)定義域，另一個(gè)定義域?qū)儆趶?fù)數(shù)定義域.實(shí)數(shù)定義域?yàn)閤>0，復(fù)數(shù)定義域?yàn)閤<0.由于這種實(shí)數(shù)公式具有兩個(gè)不同定義域，所以我們不能將這種實(shí)數(shù)公式視為真實(shí)數(shù)公式，只能將這種實(shí)數(shù)公式視為偽實(shí)數(shù)公式.所謂偽實(shí)數(shù)公式，就是既有實(shí)數(shù)定義域又有復(fù)數(shù)定義域的實(shí)數(shù)公式.

偽實(shí)數(shù)公式在復(fù)數(shù)運(yùn)算中具有兩個(gè)重要作用：第一個(gè)重要作用是把復(fù)數(shù)公式改寫成實(shí)數(shù)公式，第二個(gè)重要作用是把實(shí)數(shù)公式還原為復(fù)數(shù)公式.從第一個(gè)重要作用來(lái)看，偽實(shí)數(shù)公式通過(guò)實(shí)數(shù)定義域重新定義了復(fù)數(shù)運(yùn)算的實(shí)軸，用位于縱軸右側(cè)的橫軸表示復(fù)數(shù)運(yùn)算的實(shí)軸.從第二個(gè)重要作用來(lái)看，偽實(shí)數(shù)公式通過(guò)復(fù)數(shù)定義域重新定義了復(fù)數(shù)運(yùn)算的虛軸，用位于縱軸左側(cè)的橫軸表示復(fù)數(shù)運(yùn)算的虛軸.這樣一來(lái)，偽實(shí)數(shù)公式就通過(guò)兩個(gè)不同定義域重新定義了復(fù)數(shù)運(yùn)算的橫軸和縱軸，把復(fù)數(shù)運(yùn)算的橫軸從實(shí)軸變成實(shí)軸和虛軸的對(duì)稱軸，把復(fù)數(shù)運(yùn)算的縱軸從虛軸變成了實(shí)軸和虛軸的變換軸.

由于偽實(shí)數(shù)公式通過(guò)兩個(gè)不同定義域重新定義了復(fù)數(shù)運(yùn)算的橫軸和縱軸，所以偽實(shí)數(shù)公式也通過(guò)兩個(gè)不同定義域重新定義了復(fù)數(shù)運(yùn)算的平面直角坐標(biāo)系.這個(gè)平面直角坐標(biāo)系的右平面是一個(gè)實(shí)平面.這個(gè)平面直角坐標(biāo)系的左平面是一個(gè)復(fù)平面.這個(gè)平面直角坐標(biāo)系的全平面是一個(gè)實(shí)平面和復(fù)平面的變換平面.利用這個(gè)實(shí)平面和復(fù)平面的變換平面，我們不僅可以拓展各種復(fù)變函數(shù)的幾何表示方法，而且可以解決許多以前不能解決的復(fù)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

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