有耗對稱介質層反射系數的快速計算

孫憲鋼，魏 兵，石 磊

(1.西安電子科技大學 物理與光電工程學院，陜西 西安 710071；2.西安電子科技大學 信息感知協同創新中心，陜西 西安 710071)

平面層狀結構在生活中十分常見，除了美觀之外，它的電磁傳輸特性也十分顯著，尤其是周期平面層狀結構在吸波材料[1-4]、頻率選擇表面[5]、地質構造研究[6]和光子晶體[7-8]等方面都有著廣泛的應用。分析電磁波在層狀介質中的反射和透射，常采用傳播矩陣法[9-13]。在20世紀60年代，DE JAGER等[14]用傳播矩陣法對非均勻層狀結構的反射和透射進行了探究。2000年，鄭宏興等[10]利用傳播矩陣法計算了各向異性分層介質的反射和透射。2017年和2019年，王飛等[12-13]用傳播矩陣法分別對分層有耗手征介質和含石墨烯分界面有耗分層介質的反射和透射進行了計算?？梢钥吹?，傳播矩陣法應用較為廣泛，但是，該方法以矩陣連乘的形式處理層狀結構，當層數較多時，需要考慮矩陣連乘的數量以及計算結果的穩定性問題。特別是傳播矩陣法在計算有耗層狀體系時，如果材料電導率較大或結構層數較多，則容易產生較大的計算量并出現數值失穩問題，導致計算結果發散[15]。

有耗對稱的平面介質層，作為一種特殊的層狀結構，在以上各方面也都有應用，可采用傳播矩陣法計算其反射系數，但是也會出現相同的問題。為此，采用等效四端網絡法計算有耗對稱平面介質層的反射系數。1990年，李世智等[16]在研究地表探測時，對此法進行了初步的研究。1998年，段方勇等[17]對李世智等的研究進一步加深，并且給出了一些理論推導。2007年，MEHTA等[18]在近地表層特性研究時也運用此法做了一定的運算。筆者通過對等效四端網絡法進行詳細研究，發現該方法對界面矩陣進行了簡化處理，相對于傳播矩陣法，降低了矩陣的數量，避免了傳播矩陣法中出現的大量矩陣連乘，在計算多個頻點或寬頻段時可以快速計算有耗對稱介質層的反射系數，并且以光子晶體為例，對比了兩種方法在具體計算其反射系數時的計算時間和消耗的內存。

1 理論公式

1.1 有耗介質中拉普拉斯波動方程解

設平面電磁波沿z軸正方向傳播，其中電場強度為Ex，磁場強度為Hy，則可以得到其一維有耗介質的Maxwell支配方程為

(1)

其中，ε為介電常數，μ為磁導系數，σ為電導率，σm為導磁率。為了得到頻域解析解，對式(1)的時域t進行拉普拉斯變換到s域[19]，化簡求解可以得到電磁場滿足

(2)

其中，γ(s)=((σm+μs)(σ+εs))1/2，為損耗介質中的電波傳播系數；B(s)和A(s)為上下行波幅值，由邊界條件確定。令s=jω，即可得到頻域解析解，再令σ=0，式(2)退化為一般無耗介質波動方程的解。

1.2 等效四端網絡法求反射系數

設平面電磁波從真空(ε0，μ0)垂直入射有N層介質的第1層介質的分界面上，入射平面為xOz平面，如圖1所示。各層介質是均勻有耗的，介質分界面都為平行平面，第n層介質的厚度為dn，相應的電磁參數為：介電系數εn，磁導系數μn，電導率σn，導磁率σmn，n=1，2，…，N。

圖1 分層介質

設第ln個界面的電場強度和磁場強度分別為En和Hn，其表達式可由式(2)獲得。由于在層狀結構的輸入界面l1和輸出界面ln+1各有2個變量，因此，此層狀介質系統可以等效于有2個輸入量和2個輸出量的四端網絡，這個四端網絡的參數可以通過矩陣[Uij](i=1，2；j=1，2)聯系，所以，系統的左右邊界的矩陣表達式為

(3)

式(3)中矩陣元素Uij的值與所有介質層的物理參數有關。假設任意的第n層的左右邊界面的關系矩陣為[uij](i=1，2；j=1，2)已知，則應用n次遞推，式(3)可以改寫為

(4)

由式(3)和式(4)可以得到

(5)

式(5)表示出了四端網絡的參數由每一層的界面關系矩陣決定，其中，第n層介質中兩界面間的關系矩陣[uij](i=1，2；j=1，2)可以表示為

(6)

對于關系矩陣[uij](i=1，2；j=1，2)，可參考文獻[17]。由式(6)可知，當第n層介質的厚度為0時，兩界面間的關系矩陣[uij](i=1，2；j=1，2)退化為單位矩陣，即介質層面之間的矩陣為單位矩陣。其中γn=((σmn+μns)(σn+εns))1/2，為每一層的損耗介質的電波傳播系數，bn=γn(s)/(σn+εns)為計算的中間變量。所以輸入界面和輸出界面的關系矩陣[Uij](i=1，2；j=1，2)可以通過每層左右邊界面的關系矩陣[uij](i=1，2；j=1，2)求出。入射波Ei，反射波Er和透射波Et的表達式可以表示為

(7)

(8)

將式(8)的總入射場和總透射場表達式代入式(3)，可以求出反射系數R為

(9)

可以看出，已知系統四端網絡的參數、前后區域的電磁參數以及該區域的電波傳播常數，即可用式(9)計算有耗分層介質的反射系數，以上參數的計算可以通過式(5)和式(6)得到。

2 算 例

算例1有耗3層介質的反射。設介質層的厚度為：d1=d3=0.5 m，d2=0.2 m；相應的電磁參數為：ε1=ε3=4ε0，ε2=ε0，μ1=μ2=μ3=μ0，σ1=σ3=0.05 S/m，σ2=0.03 S/m，下標代表層數編號；入射區域和透射區域為空氣。設定入射平面波的頻率為0.000 1～1 GHz，采用等效四端網絡法計算反射系數，并給出傳播矩陣法和FDTD方法[20-21]的計算結果。由圖2可知，三者符合良好，可以看出，3層有耗介質層的反射呈現單調性變化。

圖2 3層有耗介質的反射系數

算例2有耗4層介質的反射。設介質層的厚度為d1=d4=0.5 m，d2=d3=0.2 m；相應的電磁參數為：ε1=ε4=4ε0，ε2=ε3=2ε0，μ1=μ2=μ3=μ4=μ0，σ1=σ4=0.005 S/m，σ2=σ3=0.02 S/m，下標代表層數編號，入射區域和透射區域為空氣。設定入射平面波的頻率為0.000 1～1 GHz。采用等效四端網絡法計算反射系數，并給出傳播矩陣法和FDTD方法的計算結果。由圖3可知，三者符合良好，可以看出，此時有耗介質層的反射在高頻情形呈現出周期性變化，在低頻時呈現單調性變化(類似于算例1)。

圖3 4層有耗介質的反射系數

圖4 光子晶體的反射系數

圖5 光子晶體

由圖2和圖3可知采用等效四端網絡法計算有耗對稱介質層的反射系數，無論是奇數層或偶數層，所得結果均與傳播矩陣法及FDTD方法的計算結果較好吻合。將文中采用的等效四端網絡法與傳播矩陣法對比，給出算例1、算例2和算例3中具體的計算參數，如表1和表2所示。

表1 算例1和算例2等效四端網絡法和傳播矩陣法對比

表2 算例3等效四端網絡法和傳播矩陣法對比

由表1可知，算例1、2中采用等效四端網絡法和傳播矩陣法計算有耗對稱介質層的反射系數時，所需內存相差不大，但是傳播矩陣法所需的計算時間約為等效四端網絡法的3.4倍。等效四端網絡法的計算效率高于傳播矩陣法。由表2可知，與傳播矩陣法相比，算例3中等效四端網絡法在計算時間上減少90%以上，而且傳播矩陣法所用時間已超1小時以上。由此可見，當層數越多時，計算頻段越寬或采樣頻點較多時，等效四端網絡法的計算效率將遠高于傳播矩陣法的計算效率。

3 總 結

在計算有耗對稱介質層的反射系數時，結合傳輸線理論和傳播矩陣的思想，筆者采用了等效四端網絡法計算其反射系數，并且與傳播矩陣法在計算效率上進行了比較。相對于傳播矩陣法，等效四端網絡法對界面矩陣進行了簡化處理，使得矩陣計算時賦值次數成倍減少，降低了計算量，不論是周期還是非周期的介質層都可以快速計算其反射系數，掌握其反射特性。從仿真算例可以看出，如果介質層層數越多，或者計算頻段越寬，等效四端網絡法的計算效率將遠高于傳播矩陣法，同時FDTD方法的驗證表明了計算結果的準確性，為其在實際應用和設計中提供了一種快速計算電磁反射系數的方案。