不動點定理求解遞推數列的斂散性

郭獻洲 劉文文

摘要 設遞推數列[an+1=fn（an）]，[fn（x）]為其壓縮映射。利用不動點定理引入并證明一致壓縮定理、冪壓縮定理等，從而求解收斂遞推數列的極限并判斷遞推數列發散的快慢。將結果推廣到更廣泛的完備錐度量空間。

關 鍵 詞 不動點定理;遞推數列;一致壓縮;冪壓縮;錐度量空間

中圖分類號 O177.91? ? ?文獻標志碼 A

文章編號：1007-2373（2021）06-0051-05

Abstract Recursive sequence[an+1=fn（an）]， [fn（x）]is the compression mapping. We introduce the fixed point theorem and prove the uniform compression theorem， the power reduction theorem and so on to solve the limit of the convergence of the recursive sequence and judge the divergent speed of the recurrence sequence . Then we generalize the result to a wider range of complete cone metric space.

Key words fixed point theorem; recursive sequence; uniform compression; power compres-sion; cone metric spaces

0 引言

利用不動點列來求數列極限是一種有效簡便的方法。首先，它能夠去掉遞推函數只能與通項有關的限制;再者，用遞推關系式表達的序列其通項表達式不易得到，但不動點列可以直接求解得到其一般的通項表達式，更易得其極限。這樣，對于由遞推公式給出的數列，可以把求數列本身極限的問題轉化為求不動點列的極限問題[1]。本文用Banach不動點定理來討論遞推數列[an]的斂散性，將求數列的極限問題轉化為求方程[fx=x]是否有唯一解的問題。類似的，在考慮如何判斷數列發散快慢的問題時，本文提出初等發散列的概念作為比較對象，再引入發散不動點的概念，就可以更簡單的判斷數列發散時的階的情況。

參考文獻：

[1]? ? 江正華. Banach不動點定理的一個推廣[J]. 南京大學學報（自然科學），2014，50（1）：9-13.

[2]? ? HUANG L G，ZHANG X. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，332（2）：1468-1476.

[3]? ? REZAPOUR S，HAMLBARANI R. Some notes on the paper “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings”[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，345（2）：719-724.

[4]? ? RAJA P，VAEZPOUR S M. Some extensions of banach's contraction principle in complete cone metric spaces[J]. Fixed Point Theory and Applications，2008，2008（1）：768294.

[5]? ? HUANG H P，HAN Y，XU S Y. Some fixed point results on a class of contractive mappings in cone metric spaces[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2013，28（4）：539-545.

[6]? ? ASADI M，RHOADES B E，SOLEIMANI H. Some notes on the paper “The equivalence of cone metric spaces and metric spaces”[J]. Fixed Point Theory and Applications，2012，2012（87）：1-4.

[7]? ? 綦建剛，劉衍勝，呂永敬. 函數的不動點與數列的極限研究[J]. 山東師大學報（自然科學版），1997，12（1）：87-90.

[8]? ? 董巧麗，郭文雅. 非擴張映像的一類慣性θ方法[J]. 河北工業大學學報，2018，47（1）：44-47.

[9]? ? 李娟. 利用壓縮映像原理處理有關數列收斂性[J]. 甘肅聯合大學學報（自然科學版），2011，25（5）：29-31.

[10]? 郭獻洲，張相梅. 一類算子的換位代數的K-群[J]. 河北工業大學學報，2015，44（6）：73-75.

[11]? 童裕孫. 泛函分析教程[M]. 上海：復旦大學出版社，2003：49-56.