考慮初始變形的鋼管腳手架穩定性分析*

趙元一，徐 佳，趙成成

(1.同濟大學浙江學院，浙江 嘉興 314051；2.浙江上嘉建設有限公司，浙江 嘉興 314001)

0 引言

立桿是外腳手架應用的主要受力構件，在軸向壓力作用下，立桿的變形及彎曲是控制架體穩定性的主要因素。以材料力學中的軸向鉸接受力構件為基礎，結合桿件的應變能及變分極值條件，綜合考慮桿件側向撓度、軸向變形等因素，能求解出基于多項式級數表達的壓桿穩定臨近荷載。童根樹等通過理論和非線性計算軟件，分析了預應力在壓桿穩定性中的應用，但缺少桿件初始變形對壓桿穩定性的分析。唐柏鑒等根據壓桿的基本屈曲模態，通過典型的算例研究了模擬曲線項數對臨界壓力的預估精度，但未能明確初始變形與鋼管壓桿屈曲荷載的定量關系。

本文充分考慮鋼管構件計算的復雜性，將精度與多項式級數相關聯，并考慮桿件初始變形的影響，能充分得出構件出廠變形和桿件穩定性的估算值并確保計算的可靠性。

1 最小勢能原理在簡支桿件的應用

桿件一端鉸接，另一端為可水平移動的桿件連接，在軸向壓力作用下，桿件在軸向變形和撓曲變形方向均有一定變化，其計算模型如圖1所示。

圖1 軸向壓力下桿件的計算模型

模型的抗彎剛度為EI，桿件總長度為L，桿件在x軸向的壓縮量為λ。

1.1 桿件變形能極值條件的推導

受壓桿件的應變能Π為：

(1)

式中：E為桿件材料的彈性模量；I為截面慣性矩；w為桿件撓度。

含有高階導數的變分Euler方程為：

(2)

將桿件軸線位移的桿件應變能帶入得：

受壓桿件的Euler方程為：

(3)

式(3)即為桿件受彎的Euler-Poisson方程。

1.2 桿件邊界條件的推導

假設桿件的整體變分為：

I[y(·)]=Φ(α)=

(4)

式中：W為所求桿件應變所對應的桿件軸線位移(桿件變形能極值所對應的軸線位移)；η為極值位移周邊的任意小函數變化；α為常數。

要保證桿件整體變分在α=0處取極值，即Φ′(α=0)=0，將式(4)帶入可得：

(5)

式中：右側第2項經一次分部積分可得：

(6)

第3項經2次分部積分可得：

(7)

對于壓桿而言，兩端固定，其邊界條件w(0)=w(L)=0，其邊界轉角和彎矩待定，由此可得壓桿的邊界條件為：

(8)

考慮到桿件的初始變形等因素，式(8)邊界條件可適當放寬。綜合可得桿件的整體Euler方程和邊界條件為：

對桿件的彎曲采用勒讓德(Legendre)多項式代替，即

(9)

考慮到在節點位置桿件的撓度為0及Euler方程的控制條件，則桿件的撓度曲線可化簡為：

(10)

按常規多項式進行位移求解，考慮到在節點位置桿件的撓度為0和Euler方程的控制條件，則桿件的撓度曲線可化簡為：

(11)

1.3 桿件外力做功

(12)

由此可得軸向壓力做功為：

(13)

對于壓桿結構，外力做功與結構應變能相等，即

(14)

將w和相應的表達式帶入可得：

(15)

(16)

將式(15)～式(16)分別對C1，C2求偏導，化為矩陣形式為：

(17)

由此可求得待定系數P與桿件材料及幾何尺寸的關系，此即為壓桿對應的臨界壓力。

1.4 計算結果對比分析

對于多項式級數的位移，主要的位移分量為：

w(x)=C1x(x-L)

(18)

總體勢能方程為：

(19)

與其相對應的桿件的軸向壓力為：

(20)

由式(20)可看出，桿件在軸力作用下的臨界壓力值與材料力學中的解析表達式相近，其材料力學解析解為：

(21)

2 基于桿件變形能的撓度分析

由材料力學的壓桿穩定方程可知，若無初始變形，桿件的撓度方程為：

(22)

(23)

由此可得方程的特解為：

(24)

式中：Cr為初始變形狀態桿件的撓度幅值，由現場測量統計得出。

壓桿穩定的臨界壓力Pcr普遍小于桿件的材料屈服強度，主要是因為在撓度作用下產生彎矩，引發桿件失穩。考慮到桿件的初始變形后，將材料力學的壓桿穩定臨界荷載式(21)代入式(22)，得出修正后的撓度曲線方程，并以此作為附加彎矩的修正項，結合材料的屈服強度對臨界壓力進行進一步修正，則有：

(25)

3 工程實例計算分析

施工規范中的主受力桿件(立桿)以直徑48mm、壁厚3.5mm鋼管構件作為主要應用構件，之后考慮到生產和現場應用的實際問題，將壁厚3.0mm的桿件也列入受力構件的計算范疇。考慮到現場應用較多的鋼管型材，腳手架采用直徑48mm、壁厚為3.0mm的鋼管，材料屈服強度fy=205N/mm2，在施工過程中連墻件為兩步兩跨，底層腳手架考慮施工高度，其步距為1.80m，鋼管在其步距內的初始變形幅值(50mm)下，其工作條件下的臨界荷載Pcr的確定步驟如下。

1)假設在不考慮鋼管初始變形的情況下，桿件的臨界荷載。

2)考慮初始位移后的壓桿撓度曲線，并求出撓度幅值A0。

3)確定考慮初始變形后的桿件撓曲線幅值后，進行修正后的彎矩求解。

由此可得修正后的桿件臨界壓力Pcr=2.62kN，遠遠小于桿件的理論臨界荷載，初始變形對桿件的臨界壓力有較顯著影響，控制初始變形能有效提高腳手架體系的承載力。因此，可得出腳手架立桿初始變形與其臨界荷載的關系曲線，如圖2所示。

圖2 初始變形影響下立桿的臨界荷載

由圖2可知，隨著初始撓度的增加，腳手架立桿的受壓臨界荷載逐漸降低。當初始撓度與桿件計算長度之比為0～1/150時，其壓桿臨界荷載高于桿件的材料屈服強度，應以材料屈服強度為控制因素，取材料屈服強度為79.8kN；當初始撓度與桿長之比逐漸加大后，受壓臨界荷載下降較明顯，當初始撓度幅值與桿件計算長度之比為1/45時，其臨界荷載下降至材料強度的40%，之后隨著桿件初始變形幅值的增大，壓桿臨界荷載下降趨于緩和。為確保立桿的穩定性，其初始撓度幅值應控制在一定幅度內，以防止桿件失穩。

為確保理論計算的可靠性，采用有限元計算軟件MIDAS對壓桿穩定性進行受力分析，考慮到壓桿在軸力和初始變形下的撓度疊加，采用梁單元模型，對不同初始變形的壓桿進行豎向受力分析，立桿長度為1.8m，用4個梁單元進行等效，其極限狀態受力與理論計算結果對比如圖3所示。

圖3 立桿臨界荷載的理論解與數值解對比

與有限元計算結果對比可得，其理論解整體結果與數值解基本一致，變化趨勢也基本相同，由于數值解計算模型采用4個梁單元模擬，其變形剛度較實際情況大，所以數值解的極限穩定荷載比理論值稍顯偏大。

4 結語

以桿件最小勢能原理為基礎，通過變分法和歐拉方程，計算分析了在軸向壓力荷載作用下，壓桿的臨界穩定荷載解析及半解析解，將桿件初始變形代入壓桿撓曲微分方程，計算并分析了初始變形對臨界穩定荷載的影響，結論如下。

1)在軸向荷載作用下，壓桿變形可通過結構變分和對應的歐拉方程求導得出，以麥克勞林展開式為基礎的半解析方法通過多項式解進行擬合同樣能得出較接近實際的結果，且計算量較小。

2)在考慮邊界約束條件后的桿件初始變形后，其壓桿的臨界穩定荷載仍以材料屈服強度為界定條件，判斷依據為桿件最大正應力不得超過材料自身的屈服強度。

3)初始變形對壓桿穩定的影響較顯著，以工程普遍采用的扣件式腳手架立桿為研究對象，不同的桿件初始撓度對桿件的附加彎矩和后續側向變形影響較顯著，與其對應的臨界穩定荷載也隨初始的側向變形明顯降低。