基于非穩態導熱的爐溫曲線設計

周 敏，宋來富

（南通大學 a. 理學院； b. 機械工程學院， 江蘇 南通 226019）

1 問題重現

在集成電路板等電子產品的工業批量生產中，往往通過回流焊加熱將電子元件焊接于電路板上，回焊爐起著至關重要的作用。回流焊具有精度高、潤濕力強、抗氧化能力強等優點，在工業生產中具有不可替代的地位。回流焊生產過程中回焊爐各部分要保持工藝要求的溫度，以保證焊接效果與產品質量。目前，該工作大多通過實驗測試來調控，周期長且成本高，因此，通過機理模型分析降低成本，壓縮測試周期顯得尤為必要。

文獻[1]要求解決以下問題：

（1）各溫區設定溫度為173 ℃（小溫區1—5）、198 ℃（小溫區 6）、230 ℃（小溫區 7）、257 ℃（小溫區8—9），在傳送帶過爐速度為78 cm/min 的情況下，明確焊接區域中心的溫度變化情況，得到小溫區3、6、7 中點及小溫區8 的結束處焊接區域中心的溫度，并畫出相應的爐溫曲線。

（2）在各溫區設定溫度為182 ℃（小溫區1—5）、203 ℃（小溫區 6）、237 ℃（小溫區 7）、254 ℃（小溫區8—9）的情況下，確定傳送帶最大過爐速度。

（3）為保證爐溫曲線超過217 ℃至峰值溫度所覆蓋的面積最小，給出最優爐溫曲線，各溫區的設定溫度、傳送帶過爐速度及相應面積。

2 問題（1）的解決

2.1 顯式前向差分方程

用顯式前向差分法[2]求解熱傳導方程[3-4]，顯式前向差分方程簡化為：

其中：uik表示第i 個坐標位置、第k 個時間點的溫度，r 為需要確定的參數。網格中格點的分布如圖1 所示。

圖1 熱傳導方程的網格劃分

2.2 擬合結果

選定參數r 的取值，用迭代法求得前三個溫區的溫度，在冷卻區使用變化的參數r，得到最后的溫度[5]。與文獻[1]附錄給定的溫度進行擬合，得到前三個溫區最優擬合的熱傳導系數r = 5.1 ×10-6，爐溫曲線的擬合結果如圖2 所示。圖2 中擬合曲線與實驗曲線重合度高，表明擬合效果較好。此時，小溫區3、6、7 中點及小溫區8 結束處焊接區域中心的溫度依次為：

圖2 爐溫曲線擬合對比

136.17 ℃，166.09 ℃，178.76 ℃，210.17 ℃。

2.3 參數的靈敏度分析

取r±5%，考察擬合殘差。當r=5.355×10-6時，平均殘差為 2.43；當 r=4.845× 10-6時，平均殘差為2.85，說明擬合所得r 是恰當的。

3 問題（2）的解決

問題（2）實質上是一個優化問題。給定四個恒溫區的溫度，求傳送帶最大過爐速度。過爐速度調節范圍為65～100 cm/min，以給定的制程界限為約束條件[1]，求解最優速度。

采用倒退方式逆向求解。以速度100 cm/min為初值，給定步長0.1 cm/min 向下搜索，得到在給定條件下的爐溫曲線。判斷是否滿足制程界限，如果不滿足，向下繼續搜索；如果滿足，可以認為當前速度即為允許的最大過爐速度。

搜索得到滿足制程界限的傳送帶最優過爐速度為v=78.4 cm/min。此時溫度上升速率最高，達2.99 ℃/s。溫度上升過程中，在 150 ℃～190 ℃時，升溫時長T1=71.3 s；溫度大于217 ℃時，升溫時長T2=53 s；峰值溫度為U=240.00 ℃，均滿足約束條件。

4 問題（3）的解決

由于溫度是離散的，每間隔Δt=0.5 s 取值，因此求面積采用離散求和的方式，用公式表示為：

其中：N 為 217 ℃至最高溫度間的間隔數，u（tk）為爐溫曲線上每個時間間隔所對應的溫度，由各溫區的溫度及過爐速度共同確定。

通過優化求得最小面積為544.97（℃·s）。根據多目標優化[6]，最終求得各溫區的設定溫度分別為 165 ℃、186 ℃、225 ℃、259 ℃。傳送帶過爐速度v = 74.2 cm/min。在此設定參數下，爐溫最優曲線如圖3 所示。

圖3 最優爐溫曲線

分析圖3 爐溫曲線可知：溫度上升速率最高為2.98 ℃/s，溫度上升過程中，在150 ℃～190 ℃時，升溫時長T1=63.1 s；溫度大于217 ℃時，升溫時長T2=40 s，峰值溫度U=240.69 ℃，各項指標均符合制程界限。