斜拉橋多索-淺拱-彈性約束模型及面內自由振動

蘇瀟陽 康厚軍 皮梓豪 叢云躍

摘要：考慮斜拉橋的初始構型和支座剛度，建立了豎向彈性約束下的多索-淺拱動力學模型.首先基于索和淺拱的經典動力學方程，將淺拱在索-拱耦合處分段，推導了豎向彈性約束多索-淺拱的面內自由振動理論.然后采用分離變量法對其面內特征值問題進行了求解.同時以雙索-淺拱模型為例，建立了相應的有限元模型，并將論文方法算出的頻率和模態與有限元結果進行對比，從而驗證了論文方法和模型的正確性.最后，對豎向彈性約束雙索-淺拱的動力學特性進行了系統的參數化分析.結果表明：豎向剛度對系統的動力學特性有著明顯的影響.

關鍵詞：多索淺拱；動力學模型；彈性約束；自由振動；特征值

中圖分類號：O343.9文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金資助項目（11972151，11872176），National Natural Science Foundation of China（11972151，11872176）

Elastically Constrained Multi-cable-stayed Shallow-arch Model in Cable-stayed Bridge and Its in-plane Free Vibration Research

SU Xiaoyang，KANG Houjun，PI Zihao，CONG Yunyue

（College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：Considering the initial configuration and support stiffness of cable-stayed bridge，the multi-cablestayed shallow-arch model with vertical elastic constraints is established. Firstly，based on the classical dynamics e-quations of the cable and shallow arch，the theory of in-plane free vibration of the model is deduced by dividing the shallow arch into several segments at the cable-arch coupling points. Then，the double-cable-stayed shallow-arch model is taken as an example and its in-plane eigenvalue problem is solved by separation-of-variable method. At the same time，taking the double-cable-shallow arch model as an example，the corresponding finite element model is es-tablished. The frequencies and mode shapes calculated by the present method are compared with those obtained by fi-nite element method，which verifies the correctness of the method and model in this paper. Finally，a systematic para-metric analysis on the dynamics properties of the model is conducted. It is shown that the vertical stiffness has a sig-nificant effect on the dynamics properties of the system.

Key words：multi-cable-stayed shallow arch；dynamic model；elastic constraints；free vibration；eigenvalue

斜拉橋由于受力性能好、抗震性能強、造型優美及優越的跨越能力在大跨度橋梁中占有十分重要的地位.但由于斜拉橋跨度的不斷增大以及新材料的不斷應用，結構也變得更輕更柔，其動力學問題也就更為突出.因此，國內外學者對斜拉橋的動力學特性進行了大量研究. Gattulli等[1]通過經典變分公式，建立了斜拉橋索-梁結構橫向動力學運動控制方程，并對其特征值問題進行了參數分析.本課題組[2-5]采用傳遞矩陣法對斜拉梁、雙索梁結構的面內振動問題進行了詳細的分析.通過考慮斜拉橋中橋塔的振動，提出了多梁離散彈簧動力學整體模型，并對斜拉橋的整體豎彎剛度進行了評估，探究了拉索對斜拉橋豎向振動頻率的影響. Cao等[6]提出了由四根拉索和橋面梁組成的斜拉橋模型，并對該模型的線性特征值問題進行了深入的研究，該模型將橋面塔視為剛性，忽略了橋塔的振動.然而，在實際工程中，大跨度斜拉橋的橋面梁一般具有一定的預拱度以滿足排水的需要，上述研究都沒有考慮斜拉橋橋面梁的初始構型，這對理解斜拉橋的動力學行為難免有偏差.鑒于此，考慮橋面梁的初始構型，Kang等[7]建立了斜拉橋的雙索-淺拱動力學模型，對端部軸向簡諧激勵下的1∶1∶1內共振動力學問題進行了研究.叢云躍等[8]基于索和淺拱的經典動力學方程，對雙索淺拱的面內自由振動進行了研究.

以上研究均將斜拉橋的邊界條件模擬為簡支，實際上在基礎變形以及由于基礎變形所引起的附加慣性力的影響下，這可能會導致計算出的模型固有頻率顯著降低[9]，尤其是低階的頻率.所以建立相應的彈性支承模型更符合實際工程情況.因此，國內外學者對彈性約束下各種模型的動力學特性進行了研究.易壯鵬等[10]研究了兩端彈性約束淺拱的自由振動特性和非線性動力特性. Ding等[11]建立了帶有非線性隔振的微曲梁的非線性動力學模型，研究了具有彈性邊界的彎曲梁動力學問題，并推導了具有彈性邊界的彎曲梁的模態函數和頻率公式.

論文在上述研究的基礎上，為建立更為精細的斜拉橋動力學模型，考慮斜拉橋橋面板的初始構型以及支座剛度的影響，建立兩端豎向彈性支承的多索-淺拱動力學模型，并對該模型進行參數分析.論文模型相比于其他模型（例如索梁模型）更接近斜拉橋的真實狀態，可以對斜拉橋的面內特征值問題進行分析，從而更準確地揭示斜拉橋的動力學特性.另外，基于該模型可以對斜拉橋的非線性振動進行研究，揭示斜拉索的大幅振動機理，為實際工程提供參考.

1兩端彈性約束多索-淺拱模型

考慮支座處基礎變形的影響，將模型兩端支座簡化為豎向彈性支承，論文暫不考慮支座處轉動彈性支承[12].圖1為考慮斜拉橋初始構型之后，兩端豎向彈性約束的多索-淺拱模型，分別建立坐標系soy和xjojyj（j = 1，2，…，n）描述淺拱和索的振動，根據索的數量將淺拱分為i段，i=1，2，…，n+1.在能體現問題本質的前提下做出如下假設：

3數值分析

3.1模態分析

選取以下物理參數進行簡要數值分析：淺拱彈性模量34.5 GPa，跨徑300 m，截面慣性矩9.8 m4，單位長度質量4.4×104kg/m；斜拉索彈性模量210 GPa，長度115.5 m，單位長度質量10.4 kg/m，橫截面積6.3×10-3m2，初始索力1 MN，拉索傾角30°.實際工程中支座的豎向剛度大概有7個數量級，因此選取兩端彈性支座的無量綱剛度為k1= k2= 1 000.對應的實際剛度為1.25×107N/m.

為驗證論文方法的正確性，利用有限元分析軟件ANSYS15.0建立了相應的有限元模型.斜拉索采用Link1單元模擬，淺拱采用Beam3單元模擬，彈性支承采用Combine14單元模擬.表1和圖2列出了根據論文方法和有限元模擬得到的結構前八階頻率和前五階模態.可以看到，論文方法計算得到的結果和有限元模擬得到的結果吻合非常好，雖然第五階頻率的相對誤差稍微有點大，但其絕對誤差只有0.055 6（1.098 1～1.042 5）.另外，仔細觀察第五階模態可以發現，索在有限元中只有拖動效應，而沒有自身的振動，論文算法中體現出了索的自身振動和拖動效應，從而使索力加大，進而提高了結構的整體剛度，因此導致第五階頻率誤差較大.

3.2參數分析

為研究基于該模型的斜拉橋更多動力學特性，采用論文中的計算方法對相關重要參數進行了分析.

圖4給出了k = 1 000和k = 10 000下模型的前五階頻率隨淺拱矢跨比的變化曲線.從圖中可以看出：在一定矢跨比范圍內，某階頻率會隨著矢跨比的增加而變大，隨著矢跨比的繼續增加，該階頻率將不再改變.論文稱該影響范圍為矢跨比對頻率的影響域，隨著支座彈簧剛度的變化，這個影響域也會隨之發生變化.

另外，圖4（a）中的前兩階頻率，圖4（b）中的前三階頻率之間分別出現了頻率曲線相互靠近而又分離的現象，即veering現象，這與文獻[8]中觀察到的現象一致.然而，各階頻率對支座彈簧剛度的敏感程度不同，如圖3所示，第一、三階頻率隨支座剛度的增加變化較小，因此在圖4（a）中，veering現象發生在前兩階頻率之間，而在圖4（b）中，veering現象發生在前三階頻率之間.仔細觀察圖4（a）可以發現，當f = 0.022 5時，ω2≈ω1；當f = 0.018 3時，ω3≈2ω2.這表明模型各階頻率之間存在多種內共振關系，此時相鄰階模態之間會發生能量傳遞和模態互換，并導致索的大幅振動，工程中應注意設計參數以避免此現象的發生.

圖5給出了拉索垂度對模型的前五階頻率的影響曲線.從圖中可以看出前四階模態頻率隨著拉索垂度的增加而緩慢減小，這是因為前四階模態中拉索的振動主要由淺拱的拖動造成，隨著拉索垂度的增加，拉索等效剛度減小，整體結構剛度也減小，從而頻率減小.第五階頻率隨著拉索垂度的增加先減小后增加，這是因為隨著垂度的進一步增加，索與水平方向的夾角減小，索力的水平分量變大，從而導致淺拱的幾何剛度增大，結構的頻率增大.第五階模態拉索自身振動幅度較大，因此拉索垂度對模型頻率的影響也更加明顯.

圖6給出了拉索傾角對模型前五階頻率的影響曲線.從圖中可以看出，前兩階頻率隨著拉索傾角的增加先緩慢增加，再緩慢下降，但總體來說變化幅度很小.當拉索傾角較小時，三、四、五階頻率隨拉索傾角的增加變化不大，當拉索傾角繼續增加到一定值時，頻率會顯著下降.這是因為隨著傾角的增大，拉索兩端錨固點水平距離不變，斜拉索變長，質量也隨之增加，因此頻率變小[14，15].另外，當拉索傾角增加到1.2左右時，第四階和第五階頻率很接近，這是因為此時第四階和第五階模態都是索單獨振動的局部模態，第四階是反對稱模態，第五階是正對稱模態；而當拉索傾角增加到1.3左右時，局部模態變為第三階和第四階，因此第三階和第四階的頻率曲線發生了重合.

4結論

論文考慮斜拉橋的初始構型和更合理的支承條件，建立了豎向彈性約束下的多索-淺拱動力學模型.基于索和淺拱的經典動力學方程，將淺拱在索-拱耦合處分段，推導了豎向彈性約束多索-淺拱的面內自由振動理論.以豎向彈性約束雙索-淺拱模型為例，對其面內特征值問題進行了求解，通過與有限元模擬得到的結果進行對比，表明論文方法和模型的正確性.最后，對模型的動力學特性進行了詳細的參數化分析并由此得出如下結論：

1）隨著彈性支座剛度的增加，結構的各階頻率增加，在支座位移大的模態中，頻率對支座剛度變化更為敏感.支座剛度會影響系統內共振的發生從而影響系統的動力學行為，將兩端邊界條件視為彈性約束更合理.

2）增加淺拱矢跨比會使得結構的某階頻率明顯增加，從而改變結構的內共振關系，在斜拉橋動力特性分析中應當考慮橋面梁初始構型所造成的影響.

3）改變淺拱矢跨比和拉索傾角會產生veering現象.支座剛度的變化會影響這一現象的出現，剛度越大該現象越明顯.

4）拉索垂度對低階頻率影響不明顯，對高階頻率的影響較為明顯.拉索傾角對局部模態影響較大，因此在進行拉索設計時應該設計合適的傾角，避免局部模態出現在低階模態而產生內共振.

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