橫向約束瞬變電磁擬三維反演

楊云見 王緒本 劉雪軍 何展翔 米曉利 唐必晏

(①成都理工大學地球物理學院，四川成都 610059； ②東方地球物理公司綜合物化探處，河北涿州 072751；③南方科技大學前沿與交叉科學研究院，廣東深圳 518055)

0 引言

瞬變電磁法(Transient Electromagnetic Me-thod，TEM)是一種重要的可控源電法勘探方法，該方法采用不接地回線或接地導線向地下發射脈沖電流，在一次場的間歇期，觀測大地中的感應電磁場(通常觀測垂直方向的感應電動勢)，也稱為二次場。通過研究二次場隨時間和空間的變化規律，分析大地的電性分布特征。因采用人工源，并且觀測二次場，該方法具有數據精度高、不受一次場影響等優點，已被廣泛地應用于工程、水文、環境、資源等勘探領域[1-5]。

盡管當前TEM數據的二維和三維正反演解釋取得了巨大進步[6-11]，然而由于反演計算量大，需要大規模的計算平臺，難以普遍應用于實際資料[12-16]，故一維反演仍是目前實際資料處理解釋主要手段之一[17-21]。然而，TEM數據的一維反演存在反演剖面連續性差的問題，且數據記錄周期的晚期信號弱，單點反演的深部數據受噪聲影響大。

基于大地介質電性連續變化的特點，Auken等[22]首先將橫向約束反演方法用于直流電電磁數據反演；Vallée等[23]將橫向約束方法應用于時間域航空電磁數據的反演，有效改善了反演效果；蔡晶等[15]、殷長春等[16]分別將該方法用于航空電磁數據頻域和時域反演，明顯改善了整個反演剖面的連續性，提高了解釋結果的準確性。

傳統的橫向約束反演方法只沿測線方向進行橫向約束。對于三維測網的觀測數據，若只沿測線方向進行橫向約束而不考慮相鄰測線之間構造的關聯性，會大大降低地質解釋的可靠性。為此，Viezzoli等[24]提出了基于空間約束的航空電磁數據反演方法，即不僅沿測線方向，也垂直于測線方向施加橫向約束。殷長春等[25]將空間約束用于航空電磁擬三維反演，通過理論和實測數據測試證明了該方法適合求解多測線航空電磁數據的最優化反演。

本文從橫向約束原理出發，將橫向約束引入地面三維測網的TEM數據的一維反演解釋，給出了一種距離加權進行相鄰點橫向約束的擬三維反演方法。該方法能有效地實現橫向約束，保證相鄰測點模型的連續性，且不要求測網是嚴格規則的，實現了一般測網條件下的橫向約束擬三維反演。模型正演數據和實際數據測試結果驗證了該方法的正確性、有效性和實用性。

1 橫向約束擬三維反演方法

傳統的橫向約束擬二維反演方法首先集成剖面數據，再沿測線施加橫向約束，同時反演測線上多測點的地電參數[16]。該方法的實質是把相鄰測點地電模型的差異作為約束項加入目標函數，對模型進行橫向平滑處理，以保證相鄰測點間模型的連續性，進而壓制因為噪聲導致的單個測點地電參數突變。TEM勘探中，測點設計常采用測網方式，且通常測點分布是非完全規則的。基于橫向約束的原理，本文采用一種距離加權相鄰點進行橫向約束的擬三維反演方法，即：對所有測點數據進行集成，對所有測點均采用半徑r之內、距其最近的p個測點進行距離加權橫向約束，反演測點處的地電模型，實現一種廣泛適用的TEM數據橫向約束擬三維反演。

距離加權相鄰點橫向約束的原理如圖1所示。圖中測點按順序編號，各測點的反演由距其最近的p個點進行橫向約束。例如，33號測點由距其最近的24、34、25、32號測點(此時p=4)進行橫向約束，這4個測點分別稱為33號點的第1～4號相鄰點。

圖1 距離加權相鄰點橫向約束原理示意圖

設三維測網有l個測點，按一定順序進行編號，并設每個測點有k個衰減延時(實際各個測點的延時數可以不一致，此處為了表述方便，都設為k)。這l個測點的電磁數據可表示為

d=[d11,d12,…,d1k,…,di1,di2,…,dik,…,dl1,dl2,…,dlk]T

(1)

假設反演模型為n層，只考慮各層的電導率σ，則l個測點的總模型可表示為

m=[σ11,σ12,…,σ1n,…,σi1,σi2,…,σin,…,σl1,σl2,…,σln]T

(2)

以各測點為中心，在橫向約束半徑r內搜索距其最近的p個測點(如果數據點不足，允許少于p個測點)，并分別記錄這p個點的序號及其距離。

基于吉洪諾夫正則化反演思想，反演目標函數中包含數據擬合項及正則化項。將橫向約束作為正則化項加入反演目標函數，依次將各測點與其第1～p個相鄰點的模型差異加入目標函數，再將各測點模型的縱向粗糙度加入目標函數，由此得到橫向及縱向上均施加了平滑約束的反演目標函數。求解該反演目標函數，即可得到擬三維反演結果。距離加權橫向約束的擬三維反演目標函數可寫為

(3)

式中：F為正演算子；C為協方差矩陣，用于基于數據誤差對觀測數據擬合進行加權；kv、kh分別為縱向和橫向約束因子；Ev為各測點模型的縱向一階差分矩陣；Eh,i為各測點第i相鄰點橫向約束一階差分矩陣(若某測點的第i相鄰點不存在時，Eh,i中對應于該測點的行元素全為零)；Di為第i相鄰點橫向約束距率加權矩陣；Evm和Eh,im分別表示所有測點對應模型的縱向粗糙度及其第i個相鄰點的橫向粗糙度。Ev、Eh,i及Di可分別表示為

Ev=

(4)

(5)

(6)

式中rl,i表示第l個測點與其第i個相鄰點的距離。在實際數據處理過程中，需要設定一個最小距離r0，當rl,i﹤r0時，用r0代替。式(3)中依次加入了各測點與其相鄰p個測點地電模型的差異對模型進行橫向約束，求該目標函數的極小，即能得到橫向平滑約束的最小二乘解，從而實現了橫向約束擬三維反演。

式(3)中的縱向約束及橫向約束項為反演目標函數的平滑正則化項，根據吉洪諾夫正則化的思想，縱向約束因子kv及橫向約束因子kh可依據工區內地層的縱向和橫向變化特征初選，在保證數據擬合的前提下，以后驗方式選擇合理的值。

由于各測點都選取相鄰測點進行橫向約束，該方法不要求測網嚴格規則，同時對各測點的排序也不做要求，具有廣泛的適應性。此外，該方法同樣適用于二維數據的反演，此時該方法即為常規的橫向約束擬二維反演(LCI)。

2 橫向約束擬三維反演目標函數的求解

高斯—牛頓法具有迭代穩定、收斂快的特點，因此本文采用高斯—牛頓迭代法求解式(3)中橫向約束擬三維反演目標函數的極小。

設m0為模型初值，Δm為模型修正量，將F在m0處一階展開，目標函數對Δm求導，并令導數為零，得到高斯—牛頓法模型修正量的求解式為

(7)

式中J為各測點正演函數與相應模型雅可比矩陣的集成，即順序地以各測點一維雅可比矩陣為塊的分塊對角矩陣，該矩陣僅包含l×k×n個非零元素。

由式(7)可求解Δm,得到修正后的模型m=m0+Δm，再把m賦給m0，這樣反復迭代，直到達到預設的擬合誤差或最大迭代次數，即得到最終反演結果。

式(7)反演迭代的關鍵在于求取正演函數相對于模型的雅可比矩陣。本文重點研究最常用的回線源裝置瞬變電磁法。一維正演采用首先在頻率域進行、再通過正弦變換轉換到時間域的經典算法，雅可比矩陣的求取則采用擬正演的方法。

水平矩形回線源布設于地面，測點可位于地面上除發射導線處的任何位置，記錄數據為垂直磁場的感應電動勢。對于回線源頻率域的響應，可將矩形線圈的四邊看作是4個導線源，則回線源的響應可表示為四個導線源的疊加場，地面上的磁場垂直分量[26]為

(8)

通過正弦變換

(9)

根據式(8)和式(9)，只有反射系數rTE中包含模型參數，因此只需要對rTE求導。本文借鑒MT Occam反演[27]中的正演函數對地層電導率的求導方法，基于反射系數遞推，采用擬正演方法計算瞬變響應對于各層的偏導數。

rTE的表達式[26]為

(10)

(11)

其中

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式(16)表明，計算下一層電導率的導數可以利用上一層計算的中間結果，從而減少計算量，提高計算效率。

3 模型試算

為驗證上述橫向約束擬三維反演方法的效果，設計包含一個高阻體及一個低阻體的模型(圖2a和圖2b)進行正演模擬，再用正演合成數據進行反演測試。模擬采用中心回線裝置，設發射回線為100m×100m的正方形，電流為10A，接收線圈面積為200m2，觀測時間范圍為0.00001～0.00500s，測網點線距均為100m，共計21×21個測點。正演場中加入典型的1 nV/m2隨機背景噪聲。由于本實驗的目的是驗證橫向約束擬三維反演的有效性，因此對各測點對應的模型采用一維正演。

圖2c為過高阻體及低阻體中心測線(y=950m)的加噪感應電動勢多測道曲線。由于TEM信號早期強、晚期弱，所以圖2c中早期段中沒有明顯噪聲，而晚期段中噪聲明顯。

采用本文橫向約束擬三維反演方法對正演數據(圖2c)進行反演，同時進行單點一維反演，以便對比分析兩種方法的效果。兩種方法反演的擬合誤差均設為小于5%。反演結果見圖3。從圖3a可以看到，單點一維反演結果中，高阻體及低阻體的形態大致能夠恢復，但高阻體內存在明顯的橫向不連續特征；反演剖面的下部則出現明顯不合理的橫向不連續現象及電阻率突變，其原因是晚期噪聲的影響。從圖3b可以看出，橫向約束擬三維反演對模型的恢復效果很好，低阻體及高阻體形態基本完整，邊界清晰；異常體以下的區域形態也恢復較好。可見橫向約束擬三維反演通過增強橫向連續性，能夠有效地壓制單點反演造成的不合理模型突變。此外，在橫向上，擬三維反演的地層界面很清晰，并沒有因為橫向約束導致界面模糊，原因在于地層界面產生的瞬變異常(圖2c)邊界清晰，反演函數中數據擬合項的影響強于橫向約束項。

圖2 測試模型俯視圖(a)和側視圖(b)及正演加噪多測道感應電動勢曲線(c)圖c中從上到下感應電動勢的觀測時間為0.00001～0.00500s,對數等間距取35道數據

圖3 單點一維反演(a)與橫向約束擬三維反演(b)z=150m(上)和y=950m(下)電阻率切片對比

4 實際數據應用

在中東某油田的采油區，地震資料顯示在淺部(深度約200m)可能存在凹陷，但不能完全確定。這類淺部凹陷嚴重影響地震資料的深部成像質量。為查清該淺部結構，改善地震剖面成像效果，在該區部署了TEM勘探，調查400m深度以上地層結構。

TEM采用200m×200m的中心回線裝置，觀測數據為垂直磁場分量。設計線距為400m，點距為250m，但由于工區位于采油區，油田設施眾多，為避開油田設施的干擾，實際測點分布很不規則(圖4)。

圖4 中東某地TEM測點分布圖藍、黑色圓點代表不同測線上的測點

由于測點分布很不規則，因此采用橫向約束擬三維反演方法。為了對比分析反演方法效果，對其中一條測線(N1測線)同時進行常規單點一維反演。圖5為N1測線經面積、電流歸一化后的觀測感應電動勢等值線剖面圖，圖6為該測線單點一維反演和橫向約束擬三維反演電阻率剖面及其對應的歸一化感應電動勢正演剖面。N2、N3測線反演電阻率剖面見圖7，圖8為全工區擬三維電阻率反演結果在不同海拔上的水平切片。

圖5 N1線歸一化觀測感應電動勢剖面

圖6 N1線單點一維反演(a)和橫向約束擬三維反演(b)電阻率剖面(上)及對應的模擬歸一化感應電動勢剖面(下)

可以看出，單點一維電阻率反演剖面能大致體現沿測線的構造特征，但各測點間的連續性不好，橫向上孤立異常突出，地層電性特征顯示也不甚清楚；而橫向約束擬三維反演的電性層橫向連續性較好，地層電性特征清楚，很大程度上避免了單點反演中的不合理電性突變，有效提高了反演剖面的精度。還可以看出，相鄰的N1、N2及N3測線反演剖面上電性層橫向連續，電性特征清楚，電性層在各剖面上能夠很好地進行追蹤，中部的目標凹陷(橫坐標2～4km)被清晰地勾繪了出來。圖7中反演電阻率剖面疊加了后期微測井視電阻率曲線，可見反演剖面與電測井曲線吻合較好，進一步說明本文橫向約束擬三維反演結果的可靠性。圖8中，地層橫向變化特征清楚，清晰地顯示了中部淺層凹陷的形態及走向。

圖8 橫向約束擬三維反演電阻率在海拔200m(a)和海平面(b)的水平切片

圖7 N2線(a)和N3線(b)橫向約束擬三維反演電阻率剖面圖a中藍色曲線為微測井視電阻率曲線

實際數據應用結果說明本文方法能夠有效地實現一般測網條件下的TEM數據橫向約束擬三維電阻率反演。

5 結論

針對TEM數據一維電阻率反演中存在反演剖面連續性差的問題，本文將橫向約束引入TEM數據反演中；考慮到實際測點分布并不嚴格規則的特點，構建了距離加權相鄰點橫向約束的擬三維反演方法，并采用高斯—牛頓法進行求解。

模型合成數據及實際數據的計算結果說明，距離加權相鄰點橫向約束擬三維反演可有效實現橫向約束，保證相鄰測點模型的連續性，提高反演解釋效果，且對一般非規則測網TEM數據也是適用的，具有廣泛的適用性。