一種改進(jìn)的水準(zhǔn)網(wǎng)條件平差算法

張廣興

(河北省地礦局第八地質(zhì)大隊(duì)測(cè)繪處, 河北 秦皇島 066000)

0 引言

在高程控制測(cè)量中水準(zhǔn)網(wǎng)平差至關(guān)重要,通常使用條件平差和間接平差[1-3]。間接平差利用未知參數(shù)消除觀測(cè)值之間的不符值,通過自由極值求解未知參數(shù)的最或是值,達(dá)到平差的目的。間接平差參數(shù)設(shè)定簡單,誤差方程在建立過程中唯一,但未知參數(shù)個(gè)數(shù)的選定要求高,一旦選定不合適就會(huì)產(chǎn)生較大誤差[4-10]。

條件平差是一種經(jīng)典的平差方法,19世紀(jì)到20世紀(jì)之間發(fā)展的已經(jīng)相對(duì)成熟。條件平差是將全部觀測(cè)值的平差值作為未知數(shù),利用多余觀測(cè)數(shù)列方程,通過求條件極值求解改正數(shù),進(jìn)行平差。條件平差方程式直觀簡單,計(jì)算過程規(guī)律性強(qiáng),但由于水準(zhǔn)網(wǎng)形多種多樣,導(dǎo)致條件平差方程不唯一[11]。自20世紀(jì)50年代開始,隨著計(jì)算機(jī)的不斷發(fā)展,條件平差方法也得到了很大程度的發(fā)展,研究成果相當(dāng)普遍,但是由于水準(zhǔn)網(wǎng)形復(fù)雜多樣,條件平差方程列立不唯一,改正數(shù)的解存在多樣性,在使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理時(shí)非常困難,由此本文提出了一種利用傳遞矩陣建立條件平差的算法。

1 利用傳遞矩陣建立條件方程

1.1 傳遞數(shù)矩陣的建立

假設(shè)某一水準(zhǔn)網(wǎng)中水準(zhǔn)路線數(shù)為n,水準(zhǔn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m,則該水準(zhǔn)網(wǎng)的傳遞數(shù)矩陣T為:

(1)

式(1)中水準(zhǔn)路線取值為1,2,…,n,水準(zhǔn)點(diǎn)從待定點(diǎn)開始編號(hào),全部編號(hào)結(jié)束后緊接著對(duì)已知點(diǎn)編號(hào),直到m結(jié)束。

1.2 傳遞數(shù)矩陣的運(yùn)算規(guī)則

通過選取的水準(zhǔn)路線的起點(diǎn)和終點(diǎn)是否已知、未知水準(zhǔn)點(diǎn)的近似高程是否已經(jīng)計(jì)算,計(jì)算傳遞數(shù)矩陣[12],運(yùn)算規(guī)則為:

(1)若水準(zhǔn)路線j的起始水準(zhǔn)點(diǎn)i已知,終點(diǎn)水準(zhǔn)點(diǎn)k未知,且該點(diǎn)近似高程未知,則有:

T(k,j)=1,且T(k)其余分量值為0,式中,T(k)為第k號(hào)水準(zhǔn)點(diǎn)的傳遞向量。

(2)若水準(zhǔn)路線j的起始水準(zhǔn)點(diǎn)i未知,且該點(diǎn)近似高程未知,終點(diǎn)水準(zhǔn)點(diǎn)k已知,則有:

T(i,j)=-1,且T(i)其余分量值為0。

(3)若水準(zhǔn)路線j的起始水準(zhǔn)點(diǎn)i未知,且該點(diǎn)近似高程已知,終點(diǎn)水準(zhǔn)點(diǎn)k未知,且該點(diǎn)近似高程未知,則T(k)由兩部分組成,一部分為該水準(zhǔn)路線對(duì)終點(diǎn)的影響:

T(k,j)=1,且T(k)其余分量值為0。

另一部分為起點(diǎn)傳遞數(shù)向量傳遞給終點(diǎn)的,為:

T(k)=T(k)+T(i)

(2)

(4)若水準(zhǔn)路線j的起始水準(zhǔn)點(diǎn)i未知,且該點(diǎn)近似高程未知,終點(diǎn)水準(zhǔn)點(diǎn)k未知,且該點(diǎn)近似高程未知,則T(k)由兩部分組成,一部分為該水準(zhǔn)路線對(duì)起點(diǎn)的影響:

T(i,j)=-1,且T(i)其余分量值為0。

另一部分為終點(diǎn)傳遞數(shù)向量傳遞給起點(diǎn)的,為:

T(i)=T(i)+T(k)

2.3 利用傳遞數(shù)矩陣的條件平差系數(shù)矩陣的建立

選取必要觀測(cè)數(shù)t條水準(zhǔn)路線計(jì)算待定點(diǎn)的近似高程,則多余觀測(cè)數(shù)r為水準(zhǔn)路線的總數(shù)n與必要觀測(cè)水準(zhǔn)路線數(shù)t的差值,利用r條水準(zhǔn)路線建立條件方程。

假設(shè)系數(shù)矩陣A為:

(3)

假設(shè)A(s)為第s個(gè)條件方程的系數(shù)構(gòu)成的行向量,若第j條水準(zhǔn)路線未用于計(jì)算待定點(diǎn)的近似高程,起始水準(zhǔn)點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為i,終點(diǎn)水準(zhǔn)點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為k,則A(s)為:

A(s)=T(i)-T(k)

(4)

常數(shù)項(xiàng)W為:

W(s)=該點(diǎn)水準(zhǔn)路線起點(diǎn)高程+高差-終點(diǎn)高程

(5)

2 算例分析

2.1 算例1

水準(zhǔn)網(wǎng)1如圖1所示。已知高程為HX=237.483 m,水準(zhǔn)路線數(shù)n為5,水準(zhǔn)點(diǎn)總個(gè)數(shù)m為4,觀測(cè)高差與路線長度如表1所示。

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)1

表1 水準(zhǔn)網(wǎng)1觀測(cè)高差和路線長度

水準(zhǔn)網(wǎng)1的水準(zhǔn)路線的編號(hào)如表1所示,水準(zhǔn)點(diǎn)的編號(hào)如表2所示。

表2 水準(zhǔn)網(wǎng)1水準(zhǔn)點(diǎn)點(diǎn)名與對(duì)應(yīng)編號(hào)

利用L1、L3、L5水準(zhǔn)路線計(jì)算待定點(diǎn)的近似高程,即第1、3、5號(hào)水準(zhǔn)路線,相應(yīng)確定傳遞數(shù)矩陣。第1、3、5號(hào)水準(zhǔn)路線為水準(zhǔn)路線起始水準(zhǔn)點(diǎn)已知,終點(diǎn)水準(zhǔn)點(diǎn)未知,且該點(diǎn)近似高程未知,則有T(1, 4)=1,T(2, 4)=1,T(3, 4)=1,其余分量值為0,所以傳遞數(shù)矩陣為:

(6)

第2、4號(hào)水準(zhǔn)路線未參與傳遞數(shù)矩陣的計(jì)算,可以用來計(jì)算條件平差的系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)矩陣。以第2條水準(zhǔn)路線為例,起點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為1,終點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為2,所以可以求得:

(7)

同理可以計(jì)算出:

(8)

又因?yàn)锳(s)第j個(gè)分量的值為1,所以最終求得條件平差的系數(shù)矩陣為:

(9)

根據(jù)常數(shù)項(xiàng)W的計(jì)算公式,以W(1)為例,2號(hào)水準(zhǔn)路線起點(diǎn)Y近似高程為237.483+5.835=238.018 m,終點(diǎn)Z的近似高程為237.483+9.640=247.123 m,可以求得:

W(1)=238.018+3.782-247.123=-0.023 m

(10)

同理可以求得W(2)=0.014 m。

所以求得常數(shù)項(xiàng)矩陣為:

(11)

根據(jù)條件平差過程可以求得法方程聯(lián)系數(shù)K:

(12)

所以改正數(shù)V為:

(13)

這樣就可以求得觀測(cè)高差的改正數(shù),對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)1的原始測(cè)量高差進(jìn)行改正后如表3所示。

表3 水準(zhǔn)網(wǎng)1觀測(cè)高差及其改正值 單位:m

為了比較通過傳遞數(shù)矩陣改正后高程的精度,以環(huán)路閉合差進(jìn)行評(píng)價(jià),選取了水準(zhǔn)網(wǎng)1中的三個(gè)閉合環(huán)路,計(jì)算其改正前后環(huán)路閉合差,如表4所示。

表4 改正后環(huán)路閉合差 單位:mm

由表4可知,閉合環(huán)XYZ、XZQ以及XYZQ的環(huán)路閉合差在利用傳遞數(shù)矩陣改正后效果明顯變好,環(huán)路閉合差都為0 mm,說明本文所用方法有效,可以在高程改正中應(yīng)用。為了避免數(shù)據(jù)的偶然性,利用算例2進(jìn)行驗(yàn)證。

2.2 算例2

水準(zhǔn)網(wǎng)2如圖2所示。已知高程為HA=23.0 m,HB=23.564 m,HC=23.663 m,水準(zhǔn)路線數(shù)n為6,水準(zhǔn)點(diǎn)總個(gè)數(shù)m為5,觀測(cè)高差與路線長度如表5所示。

圖2 水準(zhǔn)網(wǎng)2

水準(zhǔn)網(wǎng)2的水準(zhǔn)路線的編號(hào)如表5所示,水準(zhǔn)點(diǎn)的編號(hào)如表6所示。

表5 水準(zhǔn)網(wǎng)2觀測(cè)高差和路線長度

表6 水準(zhǔn)網(wǎng)2水準(zhǔn)點(diǎn)點(diǎn)名與對(duì)應(yīng)編號(hào)

利用第3、4兩條水準(zhǔn)路線計(jì)算待定點(diǎn)的近似高程,相應(yīng)確定傳遞數(shù)矩陣。第3、4這兩條水準(zhǔn)路線為水準(zhǔn)路線起始水準(zhǔn)點(diǎn)已知,終點(diǎn)水準(zhǔn)點(diǎn)未知,且該點(diǎn)近似高程未知,則有T(1, 4)=1,T(2, 3)=1,其余分量值為0,所以傳遞數(shù)矩陣為:

(14)

第1、2、5、6條水準(zhǔn)路線未參與傳遞數(shù)矩陣的計(jì)算,可以用來計(jì)算條件平差的系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)矩陣。以第1條水準(zhǔn)路線為例,起點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為2,終點(diǎn)點(diǎn)號(hào)為1,所以可以求得系數(shù)矩陣A為:

(15)

根據(jù)常數(shù)項(xiàng)W的計(jì)算公式,求得常數(shù)項(xiàng)矩陣為:

(16)

根據(jù)條件平差過程可以求得法方程聯(lián)系數(shù)K:

(17)

所以改正數(shù)V為:

V=QATK=
[0.001 1-0.004 450.005 5-0.000 36
0.011 60.012 4]T

(18)

對(duì)水準(zhǔn)網(wǎng)2的原始測(cè)量高差進(jìn)行改正后如表7所示。

表7 水準(zhǔn)網(wǎng)2觀測(cè)高差及其改正值

同樣,參考算例1,采用水準(zhǔn)網(wǎng)2中的三個(gè)閉合環(huán)進(jìn)行評(píng)價(jià),改正后效果,如表8所示。

表8 環(huán)路閉合差 單位:mm

由表8可知,閉合環(huán)ADE、BDE以及ABD的環(huán)路閉合差在改正前分別為10 mm、-7 mm、3 mm,利用傳遞數(shù)矩陣改正后效果明顯變好,環(huán)路閉合差分別為5 mm、-4 mm、1 mm,證明了利用傳遞數(shù)矩陣的條件平差的有效性。

3 結(jié)束語

基于條件平差和間接平差本身計(jì)算過程中存在的問題,本文提出了一種利用傳遞數(shù)矩陣建立條件方程的算法,利用傳遞數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,解決了條件方程建立過程中多樣性的問題,采用兩個(gè)算例,對(duì)改正后結(jié)果的環(huán)路閉合差進(jìn)行比較,算例1通過改正之后三個(gè)環(huán)路閉合差全部為0,算例2在改正后三個(gè)環(huán)路閉合差為5 mm、4 mm、1 mm,效果明顯變好,兩個(gè)算例證明了本文所用方法的有效性,在實(shí)際應(yīng)用中具有參考價(jià)值。