矩陣等價、相似、合同的區別與聯系

李伯忍

摘?要：矩陣的等價、相似與合同在線性代數課程教學中占據非常關鍵的地位，但是學生學習過程中對這一部分的內容往往很難準確把握。為此，本文針對它們之間的區別和聯系進行探討，為學生對這些概念的理解提供一定的幫助。

關鍵詞：等價;相似;合同

中圖分類號：G4?文獻標識碼：A?doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.04.065

《線性代數》是大學數學中的一門非常重要的必修基礎課程。學好這一門課程，不僅有利于對學生的理解和邏輯推理能力的培養與訓練，而且對其后續專業課程的學習也發揮著極其重要的支撐作用。

本文將就線性代數課程矩陣之間的非常重要的關系：矩陣的等價、相似與合同進行討論，著重探討三者之間的區別與聯系，為學生對這些概念的理解提供一定的支持。

1?基本概念

矩陣等價定義：假定矩陣A和B為同型矩陣，若存在可逆的矩陣P，Q，滿足PAQ=B，那么稱A和B是等價的。

矩陣相似定義：假定矩陣A和B均為n階方陣，若存在可逆的矩陣P，滿足P-1AP=B，那么稱A和B是相似的。

矩陣合同定義：假定矩陣A和B均為n階方陣，若存在可逆的矩陣P，滿足PTAP=B，那么稱A和B是合同的。

2?區別和聯系

（1）矩陣的等價只是要求矩陣A和B是具有相同的行和列的矩陣，不要求必須是方形矩陣，但是相似和合同則要求矩陣A和B必定是同階的方形矩陣。

（2）等價的矩陣、相似的矩陣以及合同的矩陣均是同可逆或者同為不可逆。

（3）等價的矩陣、相似的矩陣以及合同的矩陣均滿足反身性、對稱性和傳遞性。

（4）矩陣的等價、相似以及矩陣合同實際上均是矩陣和矩陣之間進行初等變換，只是初等變換的要求有些區別。

詳細的說明展示如下：

依據可逆矩陣的充要條件，n階方形矩陣陣A是可逆的矩陣A等于一系列初等矩陣的乘積。

可見等價變換是對矩陣作一系列的有限次初等行或列變換;相似變換和合同變換也是作一系列的有限次初等行或列變換，但行變換的次數與列變換的次數是相同的，而且矩陣行變換與矩陣列變換的變換方式是相對應的;相似變換要求作一次矩陣列變換，相應的也要求作一次矩陣逆行變換;合同變換要求作一次矩陣列變換，也相應的作一次相同的矩陣行變換。

3?文氏關系圖

4?如何判定矩陣與矩陣之間的相互關系

在判定矩陣的等價關系、相似以及合同關系時，滿足矩陣等價、矩陣相似或者矩陣合同的兩個矩陣的秩都必定相等，再適當的利用特征值與正負慣性指數來判定矩陣相似或者矩陣合同。

（1）矩陣A與B等價R（A）=R（B）。

（2）判定矩陣相似的四個必要條件：①A與B的秩相等;②A與B的特征值相同;③A與B的特征多項式相等;④A與B的行列式相等。

假定滿足上述的必要性，我們還不可以判定矩陣是相似的，如何判別兩個一般矩陣的相似，一般考試大綱不做要求，但如果矩陣A和B均與一個對角陣相似，那么可由相似矩陣滿足傳遞性，可以知道A和B是相似的。

（3）對實對稱矩陣，有一些非常重要的結論，可用于判斷矩陣是相似的或者是合同的：①A與B均是實對稱矩陣并且是相似的矩陣A和B的特征值相同;②A與B均是實對稱矩陣并且是合同的二次型xTAx和xTBx的正負慣性指數是相同的;③A與B均是實對稱矩陣并且是相似的A與B必定是合同的。

矩陣的合同主要應用于二次型，故判定矩陣是否合同的前提主要是在實對稱矩陣的前提下進行，所以實對稱矩陣A和B是否合同，只需要判定矩陣A與B的特征值符號是否一樣;矩陣相似是指兩個矩陣的特征值相同;矩陣等價是指兩個矩陣的秩相等。

5?矩陣的等價、相似以及合同關系，有下面的幾個結論

（1）矩陣A和B是相似的，則矩陣A和B一定是等價的，反之不一定成立。

（2）矩陣A和B是合同的，則矩陣A和B一定是等價的，反之不一定成立。

（3）若矩陣A和B均是實對稱矩陣且相似，則矩陣A和B一定是合同的，反之則不一定成立。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]周勇.線性代數[M].北京：北京大學出版社，2018.

[3]孫瑤，杜潤梅.線性代數中兩個矩陣相似、合同、等價的關系[J].教育，2015，（46）：251.