偏置轉向軸原地轉向輪胎力學特性研究

周福陽 郭康權 李 巖 黨小選

(西北農林科技大學機械與電子工程學院, 陜西楊凌 712100)

0 引言

溫室、農產品倉儲庫等環境空間狹小且封閉，需要運動靈活、無廢氣排放的動力機械[1-3]。為此，本課題組研發了一種4輪轂電機獨立驅動、4輪全向獨立轉向的柔性底盤[4-9]，該底盤主要由4組相同的、轉向軸與輪胎回轉平面之間具有一定偏置距離、驅動轉向合二為一的偏置轉向機構組成，其結構簡單，四輪獨立驅動、獨立轉向，可以靈活地實現兩輪轉向、四輪轉向、橫行、斜行及原地回轉等運動模式，便于在狹小封閉空間運行作業。

柔性底盤在進行原地回轉與橫行模式姿態切換時，車體不動，車輪繞偏置轉向軸原地滾動轉向。文獻[10-14]對普通車輛原地轉向時的輪胎模型進行了研究。但普通車輛原地轉向與偏置轉向軸原地轉向時輪胎的運動并不完全相同，其模型也不適用。WEI等[15]對車輪轉向力矩隨車輪轉速增加的變化情況進行了研究，并提出了新的動力學模型，但其研究的是車輛運動過程中車輪的轉向力矩。宋樹杰等[9]在試驗臺上對柔性底盤原地姿態切換時的電機特性進行了研究，發現輪胎受到較大的縱向力，但并未解釋其原因，且其偏置距離固定不變。目前，尚未見對柔性底盤特有的偏置轉向軸原地轉向運動輪胎力學特性的研究報道。本文基于LuGre摩擦模型對偏置轉向軸原地轉向進行建模與試驗測量，研究其力學特性，以期為柔性底盤轉向驅動力矩的估算和轉向裝置參數的優化提供依據。

1 輪胎模型

1.1 偏置轉向軸原地轉向工況分析

柔性底盤樣機如圖1所示[6]，其電磁摩擦鎖定片與車架固連，動片、偏置轉向軸(在軸承座內)及偏置臂三者固連。動片、偏置轉向軸、偏置臂、電動輪等構成了車輪轉向組。偏置轉向軸(相當于普通車輛的主銷)與輪胎回轉平面之間有一定的偏置距離，摩擦鎖鎖緊時，車輪轉向組和車體之間的相對位置不變，車輛保持直行或現有的運動狀態；當鎖緊力矩小于輪胎力相對偏置轉向軸的力矩時，車輪轉向組相對車體轉動，車輪轉向，車輛隨之轉向。

原地回轉與橫行是柔性底盤的兩種靈活且重要的運動方式，二者皆由初始姿態切換而來，姿態切換時電磁鎖解鎖，兩前輪正轉，兩后輪反轉，從而車體不動，車輪轉向(圖2)。該過程車輪繞偏置轉向軸原地轉向，因此，明確其輪胎的力學特性，是柔性運動控制的關鍵和基礎。相比于傳統車輛，偏置轉向軸原地轉向時具有3方面特殊性：①輪胎回轉平面與轉向軸存在較大偏置距離(一般超過250 mm)，輪胎繞偏置轉向軸轉向的同時還存在自轉滾動。②轉向動力源自輪轂電機，轉向力完全來自輪胎滾動時受到的地面的反作用力。③輪胎轉向角變化范圍大，理論上可以360°，實際中也能超過135°。可見，偏置轉向軸轉向過程比較特殊，且受力狀態較為復雜，需通過深入的理論分析及試驗，明確其力學特性。

1.2 輪胎接地區域運動學分析

1.2.1接地區域縱向滑移速度

車輪前進時的輪胎滑移速度等于車速(車輪中心速度)與輪速(通過車輪角速度算出的滾動速度)的差。繞偏置轉向軸原地轉向時車輪邊滾邊轉，將輪胎劃分成一個個縱向列，各列中心的速度(相當于車速)與其到轉向軸的距離成正比；而車輪作為一個整體，各列滾動速度(相當于輪速)相同。該矛盾造成各列接地區域滑移速度不同，靠近中間的某個列純滾動，其外側各列向前滑動，內側列向后滑動。

圖3為輪胎原地滾動轉向示意圖，圖中的虛線顯示的矩形為輪胎接地印記，在接地印記上定義接地區域的坐標，坐標原點為輪胎接地印記最前最內側的點，坐標方向如圖中所示。該坐標系隨著轉向組一起轉動，為運動坐標系。設輪胎滾動轉向過程中，純滾動列的橫坐標為l，該距離為穩定點距離，接地印記內側到轉向軸的距離為L，為胎邊距離，則

rω=(L+l)φ

(1)

式中r——輪胎半徑

ω——輪胎滾動角速度

φ——車輪轉向角速度

接地區域中心到轉向軸偏置距離為p，b為輪胎接地印記寬度，a為接地印記長度。則p=L+b/2。vX(x,y)為輪胎接地區域坐標為(x,y)的點的縱向滑動速度，縱向滑動以向X正向滑動為正，則

vX(x,y)=rω-(L+y)φ=(l-y)φ

(2)

由式(2)可知，接地區域上橫坐標相同的點的縱向滑動速度相等。穩定點內側接地區域向后滑動，外側接地區域向前滑動。

1.2.2接地區域橫向滑移速度

輪胎胎面的運動是在繞轉向軸公轉的基礎上繞車輪軸轉動，是兩個運動的合成運動。圖4a為輪胎接地區域絕對速度的合成。輪胎胎面運動的參考坐標系固定在車輪軸上，則參考坐標系的轉動角速度等于φ，車輪滾動時接地區域上任意一點的牽連速度為(L+y)φ/cosθ，相對速度為rω，則縱向絕對速度為

(3)

因為地面靜止，該速度即為輪胎縱向滑動速度。式(2)和式(3)一致，說明從兩種角度得到的縱向滑移速度相同。

橫向滑動以向Y正向為正，接地區域任意點的橫向速度為

(4)

式(4)說明輪胎接地區域任意一點的橫向滑移只和該點的縱坐標有關。縱坐標相等的點的橫向滑移速度相等。輪胎前部向內側橫滑，輪胎后部向外側橫滑。根據式(3)和式(4)做出接地區域各點的滑移速度，如圖4b所示。

1.3 偏置轉向軸原地轉向LuGre模型

1.3.1輪胎縱滑LuGre模型

輪胎模型中“魔術公式”等半經驗輪胎模型精度較高，使用廣泛，但需要擬合參數多，擬合難度大，并且參數物理意義不明確[16-18]。偏置轉向軸原地轉向時接地區域各點的橫向滑移沿縱向中線對稱(圖4b)，按照庫倫摩擦(動摩擦力大小相等，方向與滑移速度方向相反)，總的橫向摩擦力應該為零，這與實測中橫向摩擦力較大相矛盾。

LuGre摩擦模型由CANUDAS等[19]在Dahl模型的基礎上發展而來，它是Dahl模型的擴展，同時采納了鬃毛模型的思想，即在微觀下接觸表面可以看成是大量的具有隨機行為的彈性鬃毛。該模型用一個1階微分方程描述了諸多摩擦現象，較其他模型更能體現真實摩擦現象。該模型可以精確描述輪胎摩擦力的動態特性, 還具有數學形式緊湊與參數物理意義明確的優點。基于LuGre摩擦模型，學者們對輪胎滑移、滑移側偏聯合、以及原地轉向等輪胎運動提出新的動態力學模型[11-12, 17-18, 20-24]，證明了該模型在輪胎研究中的準確性。根據文獻[20]，分布式縱滑輪胎LuGre模型為

(5)

(6)

(7)

式中Fn(x,t)——接地印記上垂直載荷分布函數

σ0——輪胎剛度系數

σ1——輪胎阻尼系數

σ2——輪胎相對黏滯阻尼系數

z(x,t)——鬃毛的彈性變形量函數

F(x,t)——輪胎的摩擦力函數

uc——庫侖摩擦因數(近似于滑動摩擦因數)

us——靜摩擦因數

vr——接觸面的相對運動速度

g(vr)——Stribeck摩擦模型函數[25]，代表穩定狀態下摩擦因數隨滑移速度變化的函數

vs——Stribeck速度，取2.7 m/s

α——Stribeck指數，表示穩態摩擦特性，取0.5

1.3.2縱滑-橫滑聯合偏置轉向軸原地轉向LuGre模型

根據1.2節的分析，偏置轉向軸原地轉向時輪胎既有縱向滑移，又有橫向滑移，并且每一處滑移情況都不相同，需要將單一的縱滑模型擴展到各處滑移情況不同的縱向-橫向聯合滑移模型。偏置轉向軸原地轉向LuGre模型鬃毛的變形應為x、y和t的函數，z記為z(x,y,t)，該變形為矢量，也可以表示為兩個方向的標量z*(x,y,t)，*為x或者y，代表z在X或者Y方向的分量。變形量對時間的導數為

(8)

根據圖3可知

x(t+Δt)-x(t)=rωΔt

(9)

y(t+Δt)-y(t)=0

(10)

式中x(t)——輪胎上某一點t時刻在接地印記的縱坐標

y(t)——輪胎上某一點t時刻在接地印記的橫坐標

由式(9)、(10)可知，?x/?t=rω，?y/?t=0。當輪胎滾動速度不變時，輪胎接地印記上同一坐標的鬃毛變形量不隨時間改變，即?z*(x,y,t)/?t=0。因此穩態時式(8)變為

(11)

假設輪胎沿任意方向的滑動摩擦因數不變，摩擦阻力的方向和相對運動方向相反，則

(12)

根據式(11)、(12)，式(5)變為

(13)

根據式(1)、(3)、(4)、(13)，輪胎的橫向和縱向鬃毛變形方程為

(14)

(15)

式中σ0x——輪胎縱向剛度系數

σ0y——輪胎橫向剛度系數

式(14)、(15)的解析解無法用初等函數表示，但可以求其數值解。初始接地點鬃毛變形量為零，因此變形量的邊界條件為zx(0,y,t)=0，zy(0,y,t)=0。

因為?z*(x,y,t)/?t=0，式(6)變為

dF*(x,y)=(σ0*z*(x,y,t)+σ2*vr*)dFn(x,y,t)

(16)

根據式(16)，當載荷Fn均勻分布時，輪胎縱向摩擦力Fx及橫向摩擦力Fy為

(17)

(18)

輪胎受到的力相對于轉向中心的力矩M為

(19)

式中σ2x——輪胎縱向相對黏滯阻尼系數

σ2y——輪胎橫向相對黏滯阻尼系數

框架繞轉向中心勻速轉向，輪胎受到的縱向摩擦力和橫向摩擦力繞轉向中心力矩的和應為零，即勻速轉向時M=0。式(17)～(19)中的Fx、Fy、M同樣沒有解析解，但可以求其數值解。求Fx、Fy的步驟為：先假設純滾動列與內側胎邊距離l=b/2，求M的值，當M<0時，l增加Δl，再次求M值，反復這個過程，直到M>0。當Δl足夠小時，M由負轉正的l值將非常接近實際值，將該l值代入式(17)、(18)，即可求得該情況下的縱向摩擦力與橫向摩擦力的數值解。

2 試驗裝置與數據處理

2.1 試驗裝置與試驗方法

測試裝置機械部分實物與軸套滑塊局部如圖5所示，因為滾輪滑塊可以繞水平軸轉動，滑塊軸套整體又可以繞偏置轉向軸轉動，因此直線導軌等組成的框架具有3個自由度，即繞水平軸與轉向軸轉動，以及沿滾輪滑塊移動。軸套和后框架之間連接了拉壓力傳感器后，會限制框架移動，從而測出橫向力。

主要儀器：玲瓏155R13C型輪胎，胎壓230 kPa；Campbell cr1000型數據采集器；輪轂電機母線電流傳感器為華控興業HKK-10I型直流電流變送器，量程為0～20 A，輸出0～5 V電壓信號，精度0.5%；車輪轉數傳感器為杰特仕增量型光電旋轉編碼器，360脈沖/轉，通過齒輪變速后，車輪轉動一圈輸出1 800個脈沖信號，可保證低速時的采集精度；中諾ZNLBS型高精度拉壓力傳感器，量程0～100 kg，輸出0～5 V電壓信號，精度0.05%。

試驗方法：試驗設兩個因素，輪胎垂直載荷與偏置距離。垂直載荷3個水平，分別為980、1 470、1 960 N。偏置距離4個水平，分別為0.35、0.45、0.60、0.80 m。共12個水平組合；每個水平組合重復做6組，其中3組輪胎繞轉向軸順時針轉向，3組繞逆時針轉向；每組轉向圈數都超過6圈。測試量包括：輪轂電機的母線電流、車輪轉速以及傳感器輸出橫向力。

2.2 受力分析與摩擦力計算方法

為了根據測得的試驗結果計算輪胎實際受到的橫向摩擦力和縱向摩擦力，需要對運行過程中的框架和車輪進行受力分析，如圖6所示。

2.2.1加載及實際載荷分析

通過在配重架上加減配重調節載荷，其靜止時的值可以通過將框架升高，輪胎放置到電子秤上，調平后測量。

轉動過程中的載荷通過框架受力主視圖(圖6a)分析。轉向時框架不繞水平軸旋轉，各力相對水平軸的合力矩為零，即

Fn=(mgS-Fyr)/p

(20)

式中m——框架加配重等轉向物體的總質量

S——總質量重心到轉向軸的距離

靜止狀態時Fy等于0，Fn=mgS/p。當輪胎轉動時，因為Fy增加，Fn會減少，即轉向過程中的實際載荷小于靜止載荷。偏置距離越小，載荷變化越大。考慮到測得的橫向力最大為643 N，車輪轉動過程中載荷的變化不可忽略，因此仿真過程中的載荷要按式(20)算出的實際載荷計算，接地印記也要通過對初始載荷印記擬合得出。

2.2.2橫向摩擦力分析

框架受力俯視圖(圖6c)反映了框架的各徑向力。框架徑向受到的力包括輪胎橫向摩擦力Fy，框架及配重等的離心力FL，以及力傳感器受到的拉/壓力Fc，轉向過程中沒有徑向運動，所以三者的矢量和為零，即

Fy=Fc-FL

(21)

每個時刻傳感器測的壓力減去相應時刻計算得到的離心力即可求得對應時刻的輪胎橫向摩擦力。框架和配重等物體繞轉向軸旋轉，受到的離心力等于各部分離心力的和，計算方程為

(22)

式中s——各微質量到轉向中心的距離

式(22)說明總離心力等于位于重心的等重質點的離心力，因此總離心力可通過測量計算。實際上因為重心距離短，轉向角速度低，離心力只有幾十牛頓，對整體橫向摩擦力影響不大。

2.2.3縱向摩擦力分析

車輪轉動時，輪胎受到的合力分析如圖6b所示。各合力繞轉動中心的力矩包括電機的驅動力矩Mq，由于支撐力Fn前移造成的輪胎滾動阻力矩Mz，以及大小等于Fxr的輪胎縱向摩擦力力矩。車輪勻速滾動時，合力矩為零，即

Fx=(Mq-Mz)/r

(23)

因此輪胎縱向摩擦力可以通過驅動力矩計算得出，驅動力矩可以通過在電機測試臺架上對以同樣轉速、同樣母線電流運轉的同一電機測量得到。

輪胎滾動阻力系數取0.01[26]，忽略轉向時的載荷改變，在3種載荷下，滾動阻力矩分別為2.57、3.90、5.14 N·m。

在初始靜止狀態下，測量載荷980、1 470、1 960 N時對應的輪胎滾動半徑r分別為0.267 8、0.265 3、0.262 3 m。

3 試驗結果與分析

3.1 電流、轉速與橫向力測試數據

偏置距離0.45 m、載荷1 960 N時，其中一次的測試數據如圖7所示，圖中第1段試驗輪胎順時針轉向，可以看到輪胎自轉超過10圈，第2段逆時針轉向，第3段順時針轉向。整個運行期間輪胎轉速、電流和橫向力雖有波動，但大致平穩。選取速度比較平穩之后，相同圈數的正轉和反轉的時間段進行平均，得到車輪近似勻速運動時的電機母線電流、轉速和橫向力。從圖中可以看到，第1段和第3段雖然轉速相差很多，但是平均橫向力非常接近，實際上去除離心力后，兩者的平均值幾乎相等。所以橫向力和車輪轉速無關，但會受到轉向方向影響，初步判斷是因為制造誤差，車輪軸的延長線不通過偏置轉向軸，而是有1.5 mm左右的誤差，導致順時針和逆時針轉向時橫向力有一些差別。

3.2 LuGre模型參數辨識方法與結果

式(14)、(15)、(17)～(19)為輪胎LuGre動力學方程，需要對方程中的參數進行確定和識別。初始靜止狀態下接地印記尺寸a和b通過實測得到，其值如表1所示，轉向狀態下接地印記尺寸根據實際載荷擬合得到。轉向角速度φ對最終結果影響很小，試驗過程中其值在0.5～0.8 rad/s之間，取其平均值0.6 rad/s。因為輪胎轉速很慢，σ2x、σ2y影響極小，都取0.001 8 s/m[18]。根據初步辨識，發現vs對結果影響較小，根據初步辨識結果取3.6 m/s。

表1 不同靜態載荷的實測接地印記尺寸Tab.1 Measured values of contact patch under different static loads m

方程中需要辨識的動態參數包括：σ0x、σ0y、us、uc。張鵬等[23]研究表明，上述4個參數隨著載荷而改變。因此參數識別要按照載荷進行，但為了體現整體特點，忽略了轉向時載荷的改變，同一初始載荷認為參數相同。

因為方程沒有解析解，無法直接用最小二乘法辨識。為此將動力學方程作為一個黑盒，輸入一組參數，根據1.3.2節的方法，可以求出其數值解與總加權二乘值，其中縱向摩擦力二乘值權重取25，橫向摩擦力權重為1。參數辨識時，先根據現有文獻，確定各參數的預設值；接著按照參數對結果的影響程度，輪流固定其余參數，辨識一個參數，幾輪之后參數不再改變，即可認為是最終的辨識結果。預仿真表明，參數影響程度從大到小依次為us、σ0y、σ0x、uc。

對單個參數進行初步辨識的原理是以一定的步長增加該參數，當總二乘值減小時，說明調整參數方向正確，繼續以原步長改變參數；當總二乘值增加時，說明步長方向錯誤，也說明已經靠近最佳參數，則步長變成原來的-1/2，。反復進行上述步驟，即可以倍增的精度找到最佳參數。

識別過程中發現，靜摩擦因數影響較小；庫倫摩擦因數對橫向摩擦力影響巨大，對縱向摩擦力影響較小；橫向剛度系數和縱向剛度系數對橫向摩擦力影響很小，對縱向摩擦力影響較大。參數識別結果如圖8所示。從圖中可以看出，隨著載荷增加，庫倫摩擦因數和靜摩擦因數變化很小，縱向剛度系數近似線性減少，而橫向剛度系數隨載荷變化呈非線性。

3.3 仿真與實測結果對比

縱向摩擦力的實測值和仿真值對比如圖9a所示，圖中顯示的是力的絕對值，實際值為負值，表示其方向指向輪胎前方，阻礙輪胎滾動。從圖中可以看到，實測結果和仿真結果基本一致；但也發現偏置距離較小時仿真結果大于實測結果，偏置距離較大時仿真結果小于實測結果，即仿真縱向摩擦力比實測值變化更快。這可能是因為偏置距離小時，實際載荷降低多，滾動阻力也應該同樣降低，按滾動阻力不變計算的實測值較真實值小。

橫向摩擦力的實測值和仿真值對比如圖9b所示，圖中橫向摩擦力為正值，代表方向指向輪胎外側。圖中可見實測結果和仿真結果基本一致，相對誤差較小。

3.4 柔性底盤原地姿態切換輪胎摩擦力仿真

3.5 輪胎磨損

在試驗過程中發現，原地滾動轉向對輪胎有一定的磨損。圖11為輪胎轉向十多圈后在地面上留下的類似原地轉向的磨損痕跡，從痕跡看，隨著偏置距離的減小，磨損程度增加。偏置距離0.35 m時，即使只轉過一圈，也會在地面上留下輕微的痕跡。

4 結論

(1)偏置轉向軸原地轉向過程中輪胎的力學模型可以用基于LuGre摩擦的輪胎模型表述。

(2)柔性底盤原地姿態切換時，受到阻礙輪胎滾動的縱向摩擦力。隨著偏置距離的減小，縱向摩擦力迅速增加，其值與載荷的1.82次方成正比，與偏置距離的1.61次方成反比。

(3)柔性底盤原地姿態切換時，受到指向輪胎外側較大的橫向摩擦力。隨著偏置距離的增加，橫向摩擦力先增加、后減少，但變化較為平緩；隨著載荷增加，橫向摩擦力增加，其最大值對應的偏置距離增加。