高斯曲率絕妙定理的幾種公式的推導方法

邢家省， 高建全， 羅秀華

(1.北京航空航天大學a.數學與系統科學學院，b.數學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191；2.平頂山教育學院， 河南平頂山 467000)

?

高斯曲率絕妙定理的幾種公式的推導方法

邢家省1a，1b， 高建全2， 羅秀華2

(1.北京航空航天大學a.數學與系統科學學院，b.數學、信息與行為教育部重點實驗室， 北京100191；2.平頂山教育學院， 河南平頂山 467000)

考慮高斯曲率絕妙定理的公式表示問題，運用曲面上基本方程的矩陣表示法，推導出高斯曲率絕妙定理的直接顯式公式，指出了高斯曲率隱式公式的驗證過程，給出了高斯曲率計算公式Liouville形式的推導過程。

曲面論基本方程；高斯曲率；高斯絕妙定理

曲面上高斯曲率的定義和計算公式是經典曲面論的重要內容[1-6]。曲面上的高斯曲率是曲面的內蘊量[1-7]，這個著名定理是高斯于1827年發現的，稱為高斯絕妙定理[2,6]或曲面論的高斯方程，該定理的原始表述形式是用曲面上第一類基本量的隱式表達[1-7]。給出高斯曲率絕妙定理的最終顯式表達是研究者的追求，現有文獻中給出的推導過程相當繁雜，不利于理解和掌握。研究發現采用曲面論基本方程的矩陣表示法[8-10]，運用矩陣運算就可以很簡明的推導出高斯曲率絕妙定理的最終顯式表達公式[11-12]，對高斯曲率計算公式的Liouville記憶形式亦給出了推導過程[5]。

1 曲面論基本方程的矩陣方程表形式

給出C3類的正則曲面

按照文獻[1-6，9-10]中的符號體系，給出如下一系列記號，

g11g22-g12g21=g

命

是A=(gij)的逆矩陣，

將曲面基本方程改寫成矩陣方程形式為[1-6,8-10]：

(1)

(2)

其中，

2 曲面論基本方程中系數矩陣滿足的方程

由此，須

利用(1)式，存在可解曲面的充要條件是

(3)

經過代入運算，最后比較左右兩端的系數[9-10]，可得

(4)

(5)

3 高斯曲率絕妙定理隱式表示公式的矩陣推導方法

對(4)式右端進行代入運算[9-10]，可得

(6)

由(6)式兩邊矩陣中右上角的元素對應元素相等，可得[1-6,9-10]

于是高斯曲率有內蘊計算公式[1-6,9-10]

(7)

由(7)式兩邊矩陣中左下角的元素對應元素相等，可得

于是高斯曲率內蘊計算公式[1-6,9-10]

(8)

比較(6)式中兩邊矩陣中的對應元素相等，還可得到另外兩個形式的等式[1-4]。

4 高斯曲率絕妙定理的最終顯式表示公式的矩陣推導方法

在(6)式左端，利用曲面基本方程中系數矩陣的關系，經過代入運算[9-10]，可得(6)式等價于[9-10]

(9)

由(9)式兩邊矩陣的右上角對應元素相等，可得

[(Γ111g11+Γ211g21)Γ122+

(Γ111g12+Γ211g22)Γ222]+

[(Γ121g11+Γ221g21)Γ112+

(10)

再由

可得

[(Γ111g22-Γ211g12)Γ122+

(-Γ111g12+Γ211g11)Γ222]+

[(Γ121g22-Γ221g12)Γ112+

(-Γ121g12+Γ221g11)Γ212]

(11)

利用

(12)

從而得出

(13)

將(12)式、(13)式的對應項代入(11)式，經過計算化簡，可得

(14)

公式(14)就是曲面論中著名的高斯方程[11]，這里給出了最終的顯式公式，可以作為標準形式去驗證其他形式。

5 高斯曲率絕妙定理的Brioschi公式表示

關于高斯曲率的內蘊量有Brioschi公式[1-6,10]：

(15)

將(15)式展開，則得

(16)

顯然(14)式與(16)式是一致的。

6 高斯曲率絕妙定理隱式表示公式的驗證推導方法

在一般坐標曲線網下，直接驗證[1,2,7,9-10]，成立

(17)

事實上，由

得到

(18)

將(18)式代入(17)式的右端，得到

(19)

對(19)式經過求偏導數計算，可以得出(19)式與(16)式相同，于是(17)式成立。

將(17)式寫為顯式公式，則為

(20)

類似地，在一般坐標曲線網下，直接驗證[1,2,7,9-10]，成立

(21)

事實上，注意到

(22)

將(22)式代入(21)式的右端，得到

(23)

對(23)式經過求偏導數計算，可以得到與(16)式同樣的式子，從而(21)式成立。于是，有顯式公式：

(24)

7 高斯曲率計算公式的Liouville記憶形式的發現推導過程

(25)

欲證(25)式成立，可以直接驗證(25)式的右端與(16)式的形式一樣，然而這沒有指出(25)式本身是如何發現的。

將(20)式和(24)式的兩端相加，得到

(26)

經過逐項求偏導數運算及化簡，可得到

(27)

(28)

將(27)式和(28)式相加，得到

(29)

將(29)式代入(26)式，得(25)式成立。

8 常用參數坐標網下的高斯曲率絕妙定理的最終表示公式

在此參數坐標網的符號體系下，(14)式、(15)式和(25)式的形式分別為：

高斯絕妙定理的最終顯式公式：

F(EuGv-EvGu-2EvFv+4FuFv-2FuGu)+

2(EG-F2)(Evv-2Fuv+Guu)]

(30)

高斯絕妙定理的Brioschi顯式公式：

(31)

將(31)式展開，可得到(30)式。

高斯曲率計算的Liouville記憶形式：

(32)

其中，g=EG-F2。

高斯曲率的內蘊計算公式(30)式，可以作為標準形式檢驗其他形式，這里給出的證明過程并不復雜，便于查找引用。在文獻[12]中，沒能正確的寫出(30)式，而是寫出了一個錯誤公式，可以用正確的(30)式，給予更正。

[1] 梅向明,黃敬之.微分幾何[M].4版.北京:高等教育出版社,2008.

[2] 陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學出版社,2006.

[3] 彭家貴,陳卿.微分幾何[M].北京:高等教育出版社,2002.

[4] 蘇步青,華宣積,忻元龍.實用微分幾何引論[M].北京:科學出版社,1986.

[5] 王幼寧,劉繼志.微分幾何講義[M].北京:北京師范大學出版社,2003.

[6] 陳維桓.微分幾何例題詳解和習題匯編[M].北京:高等教育出版社,2010.

[7] 曾憲祖.高斯曲率的一個計算公式的證明[J].云南師范大學學報,1991,11(4):52-53.

[8] 謝琳,安揚.一個利用矩陣整體推導曲面結構方程的方法[J].遼寧師范大學學報:自然科學版,2007,30(3):262-264.

[9] 邢家省,高建全,羅秀華.曲面論基本方程的矩陣推導方法[J].吉首大學學報:自然科學版,2014,35(3):4-10.

[10] 邢家省,高建全,羅秀華.高斯曲率內蘊公式的幾種形式的推導方法[J].四川理工學院學報:自然科學版,2014,27(4):82-89.

[11] 陳惠勇.高斯的內蘊微分幾何與非歐幾何[J].西北大學學報:自然科學版,2006,36(6):1028-1032.

[12] 華羅庚,王元.高等數學引論(第二冊)[M].北京:科學出版社,2009.

Derivation Methods of Several Formulas of Gaussian Curvature Theorem Egregium

XINGJiasheng1a,1b,GAOJianquan2,LUOXiuhua2

(1a.School of Mathematics and Systems Science; 1b.LMIB of the Ministry of Education, Beihang University, Beijing 100191, China;2.Pingdingshan Institute of Education, Pingdingshan 467000, China)

In view of the formula expression problem of Gaussian curvature Theorem Egregium, the direct explicit formula expression of Theorem Egregium of Gaussian curvature is derived by means of the matrix expression of the fundamental equation on curved surface. The proof procedure of Gaussian curvature implicit formula and the derivation of the calculation formula of Gaussian curvature in Liouville form are demonstrated.

fundamental equation of surface theory; Gaussian curvature; Gauss Theorem Egregium

2014-10-01

國家自然科學基金項目(11201020)；北京航空航天大學校級重大教改項目(201401)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn

1673-1549(2015)03-0080-06

10.11863/j.suse.2015.03.17

O186.1

A