數形結合在高中數學教學中的應用

謝志平

(江蘇省天一中學 214171)

數和形作為數學中兩個最基本的研究對象，一定條件下能相互轉化.中學數學研究對象分為代數與幾何兩個部分，其中代數與“數”相對應，幾何則對應與“形”，數和形是存在聯系的，這種聯系就是數形結合.高中數學屬于數學教育的高階階段，教師需主動應用數形結合思想，把枯燥的數學知識變得有趣，激起學生的學習熱情，讓他們的學習效率更高.

一、立足數學教材內容，發掘數形結合因素

在高中數學教學過程中，教師需充分認識很多知識內容中都有所涉及數形結合，這為數形結合的應用提供良好的便利條件，不過有的地方不易發現，有待挖掘和提取.高中數學教師在平常教學中應認真研究教材內容，以此為立足點深入發掘蘊涵有數形結合思想的因素，帶領學生在數形結合思想下學習數學知識，提高他們的學習效果，使其記憶的更為牢固.

例如，以《三角函數概念》教學為例，教師講述：大家在學習過銳角三角函數是如何定義的？如果把銳角放入直角坐標系中，能用角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數嗎？假如以單位圓的圓心O為原點，能用角的終邊與單位圓的交點表示銳角三角函數嗎？當角的概念推廣后三角函數的概念該怎樣定義？鼓勵學生自由發言，引領他們進一步觀察與研究.接著，教師指出：在直角坐標系中，稱以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么如何表示正弦、余弦與正切？引領學生在畫圖中用x，y來表示，以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，統稱為三角函數.

在上述案例中，教師以教材內容為立足點，深入發掘有關數形結合的因素，同時著重講解該部分知識，引領學生借助單位圓理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.

二、注重數形之間轉換，訓練學生學習能力

在數形結合思想中，數與形在一定條件下是能相互轉化的，大致分為兩種情況：其一，以數解形，借助于數的精確性來闡明形的某些屬性；其二，以形助數，借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系.高中數學教師在課堂教學中應當把握好數形結合的契機，注重數和形之間的轉換，幫助學生慢慢掌握數形轉換能力，逐步訓練與提升他們的數學學習能力.

例如，在進行《角與弧度》教學時，當講到“弧度”時，教師講述：度量單位可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質量可以用千克、磅等不同的單位制，角的度量是否也可以用不同的單位制呢？能否像度量長度、質量那樣用十進制的實數來度量角的大小呢？要求學生根據個人認知自由表述，讓他們閱讀課本知識思考：弧度的含義是什么？角度值和弧度制怎么互化？扇形的弧長公式與面積公式分別是什么？使其開始學習新課.接著，教師帶領學生回顧角的角度制，對比學習角的弧度制，結合圖形教授弧度數的計算規則與方式，指導他們以0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°、270°、360°為例進行角度制與弧度制的轉算，使其體驗數與形之間的轉換.

對于上述案例，教師依托于圓心角這個情境帶領學生學習一種用長度度量角的方法——弧度制，將角與實數建立一一對應關系，培養他們的數形結合能力，改善數學學習能力.

三、借助現代教育技術，有效實現數形結合

在以往的高中數學教學中，無論教授什么知識內容都運用的是人工教學，顯得效果一般，隨著信息技術在近些年的迅速發展，再加上多媒體設備日益普及，這為教學方式的改變提供良好的軟硬件支持.要想更好的應用數形結合，高中數學教師在課堂上可以充分借助現代教育技術的優勢，讓學生更為直觀清晰的了解數形結合，輔助他們高效率的學習數學知識.

例如，在開展《圓與方程》教學時，教師先在多媒體課件中展示一些隧道口的縱截面、橋梁的橋洞輪廓圖片，搭配導語：圖片中的東西給大家以圓的感覺，圓是重要而優美的曲線，如何用代數的方法來研究圓？學生聆聽介紹，觀看與欣賞圖片，引起他們的學習興趣與求知渴望.接著，教師提問：在直角坐標系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么？在平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，圓呢？如果能，這個方程又有什么特征？學生分析與討論，同步利用信息技術手段展示平面直角坐標系中的圓，給出圓心、半徑、坐標等數據與信息，引領他們結合直觀化的學習資源總結求圓的一個方程的方法.

上述案例，教師借助現代化信息技術的優勢引入具體化的教學資源，指引學生根據圓心坐標與半徑求出圓的標準方程，培養他們用坐標法研究幾何問題的本領，強化數形結合思想.

四、加強了解基本圖形，增強融入數形結合

高中數學教學內容主要分為代數與幾何兩大部分，相對于代數的“數”，幾何的“形”雖然較為直觀，但對學生的思維能力要求較高，尤其是高中數學所研究是解析幾何與立體幾何，他們學習起來難度更大.高中數學教師需要以加強學生對各種基本圖形的了解與認識，使其記憶和掌握足夠的基本圖形，增強數形結合思想的融入力度，提高他們的數學知識水平.

例如，在教學《基本立體圖形》過程中，教師談話導入：在生活中，酒瓶的形狀是圓柱嗎？教學樓的形狀是柱體嗎？鋼筆、圓珠筆呢？這些物體都是簡單的幾何體，如何描述它們的結構特征？課件中同步呈現這些實物圖，指引學生思考后抽象出具體的幾何圖形，讓他們發現與自身認知存在沖突，順利引出新課.接著，教師在課件中出示一組常見的基本立體圖形，如：長方體、正方體、球、圓柱、圓錐、棱臺、棱錐等，帶領學生觀察、討論與總結：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其它因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就是空間幾何體，使其在小組內一起將這些空間幾何體初步分類，分成多面體與旋轉體兩大類，引導他們分析各類物體的特征給出相應定義.

如此，教師帶領學生加強對基本立體圖形的了解，認識常見幾何體的基本特征，通過描述與歸納定義融入數形結合思想，使其把實際物體抽象成空間幾何體，并培養他們立體感.

五、引入實際生活資源，滲透數形結合思想

數學本身就是一門同現實生活聯系十分密切的科目，在高中數學課程教學中，教師需把握好數學知識同生活之間的關系，將一些數形結合的學習資源引入到課堂上，實現數形結合思想的有效應用.對此，高中數學教師應該圍繞課本知識與教學目標巧妙引用一系列生活化資源，大力滲透數形結合思想，輔助學生更好的學習新課，讓他們透徹理解數學知識.

例如，在《任意角》教學中，教師先帶領學生回顧初中階段學習過的一些角，如：銳角、直角、鈍角、平角和周角等.然后列舉一些生活中的實例，如：跳水、體操、行駛中的自行車車輪等，使其說出這些角能否用之前的角來表示，他們發現這些角要比360°大，與原有認知發生沖突.接著，教師要求學生回憶初中時期是如何定義角的，引出任意角的概念.然后拿出一個鐘表，用手隨意旋轉鐘表指針，通過指針轉動形成不同的角，提醒他們注意指針的轉動方向，指出正角、負角是由旋轉方向所決定的.按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；如果一條射線沒有做任何旋轉，稱之為零角.說明由于用“旋轉”定義角以后，角的范圍進而擴大.

針對上述案例，教師巧妙引入帶領的生活化素材，這些素材本身就是數形結合方式，幫助學生用“旋轉”來定義角的概念，實現數與形之間的有機結合，讓他們真正掌握任意角.

在高中數學教學實踐中應用數形結合，教師需適當加強應用，并推廣至多個知識點的講授當中，為學生打造一個更為輕松、自由、愉悅與優質的數學學習環境，使其更好的吸收與內化數學知識，強化他們的數形結合思想.