構造法在高中數(shù)學解題中的應用研究

李繼賢

(甘肅省靜寧縣仁大中學 743411)

高中數(shù)學的解題中，大多數(shù)學生的解題思路都是由題目當中的條件至結論實施定向思考，但部分數(shù)學問題通過該思路進行解題是較為困難的.而構造法的運用，學生就能夠通過構造方程、構造數(shù)列等各種方式解決數(shù)學問題，則能實現(xiàn)高效解題.因此，數(shù)學教師在解題教學時，需將構造法的有關知識講解給學生，以促使學生能夠更好的理解與應用構造法解決數(shù)學問題.與此同時，數(shù)學教師需注重典型例題、訓練題的精講，以促使學生通過聽課以及習題訓練，充分了解到構造法的應用技巧，并能夠在數(shù)學解題中靈活應用構造法，從而實現(xiàn)高效解題.

一、構造法在高中數(shù)學解題中的作用

首先，有助于學生的解題能力提高.構造法作為一種數(shù)學解題的方法，對于學生而言，其充分掌握構造法，自然能促進學生自身解題能力的提高，特別是高中數(shù)學的解題，學生面臨著指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等數(shù)學難題，怎樣在較短的時間中獲得解題思路則成了解題的重中之重，而通過構造法的運用，不僅能夠使學生把未知轉(zhuǎn)變成已知，而且還能將數(shù)學題干當中的隱藏條件轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢暬猿浞终{(diào)動學生自身的解題積極性，并消除學生對于數(shù)學題解答的畏難情緒.對于大多數(shù)高中生而言，其理論知識都較為夯實，只是對于數(shù)學題的解答思路與解答思維相對薄弱，此時，數(shù)學教師就需在此基礎上，強化學生解題思路以及解題能力的鍛煉，增強訓練維度，從而使學生充分掌握相關解題方法.

其次，有助于學生的思維能力提高.數(shù)學學科作為對學生的思維能力有著較高要求的一門課程，學生在數(shù)學知識的學習中，不僅要用到口與手，還需有思維意識.而學生經(jīng)過對構造法進行學習，就能形成相應的構造思維，并在歸納、類比、轉(zhuǎn)化等各種數(shù)學思想的影響下，構建數(shù)學模型，從而使學生實現(xiàn)更好的解題.

再次，有助于學生的聯(lián)想能力提高.高中數(shù)學的解題中應用構造法的基礎就是要求學生具有相應的聯(lián)想能力，經(jīng)過聯(lián)想才能使未知與已知的知識進行構造轉(zhuǎn)化，并經(jīng)過構造法解決數(shù)學題，促進學生自身的聯(lián)想能力提高.基于此，高中數(shù)學的解題教學當中，數(shù)學教師可引導學生經(jīng)過聯(lián)想，對已知的解題思路以及方案實施驗證，并對學生自身的創(chuàng)新能力實施培養(yǎng)，從而使學生的聯(lián)想力得到有效提高.

最后，有助于學生的知識轉(zhuǎn)化能力提高.高中數(shù)學的知識點通常有許多，大部分學生在具體學習時，會將各個知識點實施分割學習，卻忽略了許多知識點之間的關聯(lián)，這就會使學生在學習數(shù)學知識時，缺乏完整性.而通過構造法的應用，不僅能夠使學生學會對各知識點實施有效轉(zhuǎn)化，而且還能在具體解題中，促使學生通過構造法實現(xiàn)代數(shù)問題、幾何問題、函數(shù)問題的有效解決，并促使學生學會對數(shù)學知識進行轉(zhuǎn)化.

二、構造法在高中數(shù)學解題中的應用

1.基于構造法的方程解題

高中數(shù)學的解題中，通常需應用構造法進行一元二次方程的構造，經(jīng)過方程根和系數(shù)之間的關系與Δ進行求解.想要使學生可以更好的實現(xiàn)方程構造，在具體教學時，首先，數(shù)學教師需對構造方程式的注意事項進行講解，也就是認真讀題，依據(jù)題干構建出方程和已知條件之間的橋梁，而不是盲目構造.其次，注重例題的優(yōu)化選擇，通過板書寫出構造方程進行解題的整個步驟，引導學生進行認真體會，以便于學生更好的理解與吸收解題步驟與方法.

例如，已知16cosC+4sinB+tanA=0，sin2B=4cosCtanA，當中cosC≠0，求取cosC/tanA的值.

解析本題主要給出了兩個等式，學生直接進行求解的難度通常比較大，大部分學生都布置該怎樣入手.教師則可指導學生對兩個等式進行認真觀察，找出兩等式之間的關系，并通過構造方程進行解題.

解答根據(jù)16cosC+4sinB+tanA=0，假設4=t，則能夠構造出一元二次的方程，即(cosC)t2+(sinB)t+tanA=0，而Δ=sin2B-4cosCtanA，又可知sin2B=4cosCtanA，因此，Δ=0.那么，關于t的一元二次的方程具有兩個實數(shù)根且相等，也就是t1=t2=4，根據(jù)根和系數(shù)之間的關系可知：tanA/cosC=t1·t2=16，那么tanA≠0，cosC/tanA=1/16.

2.基于構造法的函數(shù)解題

高考中構造函數(shù)通常是極為常見的，通常運用于大題或者難度較高問題的解答中.在高中數(shù)學的解題教學當中，首先，教師需將構造函數(shù)的方式與技巧講解給學生，如兩個函數(shù)，可經(jīng)過作差的形式進行新函數(shù)構造，并通過導數(shù)知識實施討論.其次，數(shù)學教師可選擇具備代表性的數(shù)學題，對學生實施訓練，以促使學生通過訓練充分掌握函數(shù)構造的解題步驟以及方法，并實現(xiàn)解題最優(yōu)化.

例如，已知函數(shù)f(x)=x2+4x+2，g(x)=ex(2x+2)，如果x≥-2，那么f(x)≤kg(x)，求取k值的具體取值范圍.

解析本題的題目中涉及到兩個函數(shù)，而給出了f(x)≤kg(x)的條件，此時，就能通過構造函數(shù)的方法進行解題.

解答根據(jù)已知的條件進行構造函數(shù)，即F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2.那么，F(xiàn)′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).根據(jù)題設可得：F(0)≥0，F(xiàn)(-2)≥0，由此可得：1≤k≤e2.若F′(x)=0，可得：x1=-lnk，x2=-2.

若1≤k0.因此，位于(-2,x1)的時候，F(xiàn)(x)呈單調(diào)遞減，位于(x1,+∞)的時候，F(xiàn)(x)呈單調(diào)遞增.由此可知，[-2,+∞)上的最小值是F(x1)=-x1(x1+2)≥0，因此，若x≥-2的時候，F(xiàn)(x)≥0，那么f(x)≤kg(x)成立.

若k=e2的時候，F(xiàn)′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，在x>-2的時候，F(xiàn)′(x)>0，也就是F(x)位于(-2,+∞)呈單調(diào)遞增，而F(-2)=0,即若x≥-2的時候，F(xiàn)(x)≥0，那么f(x)≤kg(x)成立.

根據(jù)上述可得，k值取值范圍是[1，e2].

3.基于構造法的解析式解題

解析式的構造法運用可通過完成相應的關系進行合理化構建，以實現(xiàn)數(shù)學題的高效解答.在數(shù)學題的解答中，可通過相應的關系式，促進學生自身的解題思維簡化，并以解析式構造，通過相關模型進行完成，其主要是經(jīng)過實際性數(shù)學問題具備的特征，對適當關系進行合理構建，并構建出對應關系式，促使原先的數(shù)學題干的信息實施簡化，從而使數(shù)學題的解答速率以及正確率得到有效提高.

綜上所述，高中階段的數(shù)學教學中，想要使學生更好的學習數(shù)學知識，教師則可通過構造法引導學生解決數(shù)學問題，依據(jù)數(shù)學題的內(nèi)容，把復雜的問題轉(zhuǎn)化成形象、直觀的數(shù)學問題進行求解，以促使學生解題積極性得以提高的同時，實現(xiàn)解題速率的提高，從而使學生的數(shù)學解題能力、思維能力、創(chuàng)新能力得到有效提高，最終實現(xiàn)高效解題.