融入數(shù)學(xué)文化的教學(xué)實(shí)踐與思考
——以《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》第一課時(shí)為例

陳財(cái)釵

(福建省三明市大田縣第一中學(xué) 366100)

文化是什么？沒準(zhǔn)確的定義，但共同的理解是相對(duì)于經(jīng)濟(jì)、政治而言的人類全部活動(dòng)及其產(chǎn)品.

談到數(shù)學(xué)文化，往往會(huì)聯(lián)想到數(shù)學(xué)史.數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)起著重要的作用.以數(shù)學(xué)史為背景進(jìn)行課堂教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生探究能力，可以培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)、勇攀高峰的科學(xué)精神.筆者以《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》第一課時(shí)為例，談?wù)勅绾稳谌霐?shù)學(xué)文化進(jìn)行課堂教學(xué).

【教學(xué)目標(biāo)】讓學(xué)生了解微積分的建立過程，體會(huì)微積分這一里程碑式的偉大思想.

【教學(xué)重點(diǎn)】了解微積分的建立，體會(huì)微積分中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，引領(lǐng)本章的學(xué)習(xí)

【教學(xué)難點(diǎn)】了解為什么要建立微積分，以及其建立過程，了解這章的學(xué)習(xí)目標(biāo)和任務(wù)

【教學(xué)過程】：

一、情境設(shè)置

1.我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

2.我們學(xué)過了橢圓的有關(guān)知識(shí)，但它的面積怎么求？

設(shè)計(jì)意圖從生活入手，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)與我們生活息息相關(guān)，由兩個(gè)例子過渡到微積分知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引起學(xué)生探知欲望，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

二、講授新課

1.章前言的學(xué)習(xí)

請(qǐng)同學(xué)閱讀章前言，了解本章所學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容和研究方法.

2.微積分的建立歷史背景

(一)極限思想的萌芽

魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣.”古希臘的安提芬的窮竭法，他在研究“化圓為方”問題時(shí)，提出了使用圓內(nèi)接正多邊形面積“窮竭”圓面積的思想.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德進(jìn)一步完善了“窮竭法”，并將其廣泛應(yīng)用于求解曲面面積和旋轉(zhuǎn)體體積.這些都體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是定積分概念的雛形.

設(shè)計(jì)意圖了解早期的極限思想及為微積分思想的建立作出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家們，同時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)文化和愛國(guó)主義教育.

(二)建立微積分的源頭

微積分創(chuàng)立首先是為了處理下列四類問題：

(1)物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過來(lái)，已知物體運(yùn)動(dòng)的加速度與速度，求物體在任意時(shí)刻的速度與路程；

(2)求曲線的切線，這是一個(gè)純幾何的問題，但對(duì)于科學(xué)應(yīng)用具有重要意義.例如：運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方向是軌跡的切線方向；

(3)求函數(shù)的最大值和最小值問題.如：在彈道學(xué)中涉及到炮彈的射程問題；

(4)求積問題.求曲線的弧長(zhǎng)，曲線所圍區(qū)域的面積，曲面所圍的體積，物體的重心等.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生了解微積分的建立是與物理學(xué)的發(fā)展分不開的，這章的學(xué)習(xí)主要將從為解決這幾個(gè)問題入手，解決和這幾類有關(guān)的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也為本章學(xué)習(xí)作鋪墊.

(三)微積分的建立：

(1)微積分的創(chuàng)始人

圍繞著解決上述四個(gè)核心的科學(xué)問題，微積分問題至少被十七世紀(jì)十幾個(gè)著名的數(shù)學(xué)家和其他一些的數(shù)學(xué)家探索過.

牛頓和萊布尼茨達(dá)到了研究的頂峰.他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問題(微分學(xué)的中心問題)，一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題).

①艾薩克·牛頓(IsaacNewton，1643-1727)，英格蘭物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家和煉金術(shù)士.牛頓平生三大發(fā)明：流數(shù)術(shù)(微積分)、萬(wàn)有引力、光的分析.牛頓完整地提出微分和積分是一對(duì)逆運(yùn)算，牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮.

②萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716)，德意志哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人.萊布尼茨研究微積分側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的.精心設(shè)計(jì)了非常巧妙簡(jiǎn)潔的微積分符號(hào)，從而使他以偉大數(shù)學(xué)家的稱號(hào)聞名于世.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生了解這兩位偉人所做的工作，在前人的基礎(chǔ)上如何完善，培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)、敢于攀峰的科學(xué)精神.

(2)微積分的建立

①微積分的發(fā)展史順序是: 積分—微商—極限—函數(shù)—實(shí)數(shù).

②微積分的邏輯順序是：實(shí)數(shù)—函數(shù)—極限—微商—積分.

(3)微積分的課程

在大學(xué)，微積分是“高等數(shù)學(xué)”的主要內(nèi)容之一.在高中微積分是高中選修課程的一部分.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生了解微積分和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)、函數(shù)之間的關(guān)系，從而拉近距離，找到知識(shí)本源，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)能找到知識(shí)基礎(chǔ).

(四)微積分的應(yīng)用

(1)微積分學(xué)

物理中經(jīng)典力學(xué)、熱傳和電磁學(xué)都與微積分有密切聯(lián)系.已知物體質(zhì)量，動(dòng)摩擦力，保守力場(chǎng)的總能量都可用微積分來(lái)計(jì)算.生物學(xué)用微積分來(lái)計(jì)算種群動(dòng)態(tài)，輸入繁殖和死亡率來(lái)模擬種群改變.化學(xué)使用微積分來(lái)計(jì)算反應(yīng)速率，放射性衰退.經(jīng)濟(jì)學(xué)亦經(jīng)常會(huì)用到微積分學(xué).幾乎所有現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)都以微積分學(xué)作為基本數(shù)學(xué)工具.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生知道微積分學(xué)是個(gè)什么學(xué)科，它的應(yīng)用在哪里，研究問題和研究方法分別是什么？

(2)微積分蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

①直與曲的思想；②常量與變量的思想；③有限與無(wú)限的思想；④局部與整體的思想；⑤連續(xù)與離散的思想；⑥近似與精確的思想；⑦特殊與一般的思想.(5)微積分的思想方法：①極限思想；②函數(shù)思想；③化歸思想；④數(shù)形結(jié)合思想；⑤微分與積分的思想.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生了解微積分所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法有些是我們熟知的，有些是我們不了解的，激勵(lì)學(xué)生勇于攀峰，激起學(xué)生學(xué)習(xí)本章濃厚的興趣.

三、歸納總結(jié)

通過這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，你對(duì)微積分有什么認(rèn)識(shí)？有什么感悟？

以數(shù)學(xué)史為情景材料，可以引導(dǎo)中學(xué)生理解數(shù)學(xué)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣起到積極的推動(dòng)作用；可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的崇高品質(zhì)以及探究解決數(shù)學(xué)問題的過程；可以弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并使?jié)撘颇黾訉W(xué)生的愛國(guó)主義情感.根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，數(shù)學(xué)史是歷代數(shù)學(xué)家心血和汗水的結(jié)晶，將數(shù)學(xué)史知識(shí)恰當(dāng)?shù)厝谌敫咧姓n堂，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展思維是充滿辯證關(guān)系的.從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求是、執(zhí)著追求、開拓創(chuàng)新的精神，使學(xué)生逐步了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)和享受數(shù)學(xué).