函數與方程思想在高中數學解題中的應用

吳 強

(江蘇省寶應縣氾水高級中學 225819)

函數與方程的數學思想通常包含了兩方面，即函數思想和方程思想，所謂函數思想，其主要指通過函數的性質與概念進行數學問題的分析、轉換與解決，而對于方程思想而言，則是依據數學問題當中存有的數量關系，應用學習與掌握的相關數學語言，將數學問題中已知的條件轉變為可有效解決問題的數學模型.在教師教與學生學的過程當中，通常會遇到很多函數問題，教師需引導學生通過函數與方程的思想解決與理解相關數學問題，這不僅能促使學生實現靈活的運用相關解題思想，而且還能實現高效解題，從而使學生的解題正確率與效率得到有效提高.

一、高中數學的函數與方程思想概述

函數作為高中數學中的主線，其主要是通過運動、聯系、變化的觀點，對客觀世界當中的關聯量存在的關系實施研究與描述，并構成變量數學的重要分支與基礎.函數思想主要是將相關函數知識作為基石，通過運動變化的數學觀點，對數學對象之間存有的數量關系進行研究，以促使函數知識的具體應用得到廣泛擴展，并實現解題活動豐富與優化的同時，為學生解決數學題提供強有力的創新能力，這就使函數與方程的解題思想逐漸成了高考中的考查熱點.而方程思想則指通過數學問題當中的變量存在的直接關系分析，構建起相應的方程或者方程組，或通過構造方程，解方程或方程組，應用方程性質實現數學問題的分析、轉化與解決.方程思想通常要求對于相關方程概念具有深刻認知，在解決數學題的時候，可通過方程或者方程組對相關數學問題實施分析與處理.

對于函數與方程而言，其雖然是不同的兩個數學概念，但二者卻存有密切的聯系，就高中數學的角度而言，函數與方程的思想通常在這兩方面對于解題有著重要作用.首先，與初等函數有關的性質相聯系，解決與求值、求解方程、解不等式與參數的取值范圍等相關的問題；其次，可通過函數關系式與輔助函數的構造，將需求解出的數學問題轉變為探討函數有關性質的數學問題，最終實現數學題解答難度的降低.

二、函數與方程思想在高中數學解題中的應用策略

1.函數與方程思想在方程問題解答中的應用

高中數學需要學習的函數通常有許多類型，如對數函數、二次函數、三角函數等.面對常規的方程問題，可經過分離變量轉變成對應函數，以函數圖像開展分析，面對較為復雜的方程問題，可通過換元法進行新函數的構建，通過新函數的研究找出數學問題的答案.在方程問題的教學中，不僅需注重理論知識的講解，還需它能夠結合具體例題，為學生更好的解題做好示范，以促使學生充分掌握與運用函數與方程彼此的轉換思路.另外，數學教師還需引導學生在理論知識學習當中強化習題訓練，并對經典習題進行認真剖析，從而實現舉一反三的教學目的.

例如，已知函數f(x)=2cos2x+cosx-1，g(x)=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，設兩個函數圖像在(0,π)內至少存有一個公共點，求a的最小值.

讀懂題目且實施巧妙轉化通常是運用函數與方程思想進行解題的關鍵，兩函數圖像在給出的區間中至少存有一個公共點，也就是若兩函數相等的時候，就能將其轉變成方程問題.

已知f(x)=g(x)在(0,π)內存有解，也就是2cos2x+cosx-1=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，將其化簡為：a(1+cosx)=(cosx+1)2+1.因為x∈(0,π)，也就是0<1+cosx<2，那么，a=1+cosx+1/(1+cosx)≥2，當且僅當1+cosx=1/(1+cosx)時，即cosx=0時，a取最小值2.

2.函數與方程思想在求解參數范圍中的應用

求解參數的范圍屬于高中數學具體教學當中的典型題型，在對該類習題進行解答時，通常有兩種思路：第一，認真審題，對已知條件當中存有的不等式關系進行深入挖掘，應用不等式的相關知識對參數范圍進行求解；第二，通過題干當中存有的等量關系進行對應函數的構建，并在定義域中求解出函數的具體取值范圍.數學教師在對參數范圍求解的教學中，不僅需注重有關的例題選擇與講解，而且還需促使學生深刻理解與掌握函數與方程思想的運用步驟，并明確相關注意事項，引導與鼓勵學生積極歸納總結出函數與方程思想在具體解題中的運用技巧，從而實現高效解題.

已知a、b是正數，滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

本題的題干較為簡單，已知的條件十分明了，其解題的方法也比較多，但關鍵是找出最為簡便的解法.根據題干的已知條件可知，其涉及兩個參數的和與兩個參數的積，據此可以聯想出一元二次方程的兩根之間的關系，通過函數知識加以解答.假設ab=t，依據ab=a+b+3可知a+b=t-3，因此，可進行方程構造：x2-(t-3)x+t=0，明顯可知a，b是其兩個正根，由此可得出下述關系：Δ=(t-3)2-4t≥0，t-3>0，t>0，解得：t≥9.即ab的取值范圍是[9,+∞).

3.函數與方程思想在不等式問題解答中的應用

高中數學的不等式問題通常與恒成立問題有著密切聯系，不等式求解的時候，不僅需注重不等式的基本知識，還需注重通過函數與方程思想的運用實施解答.經過移項構造新函數、分離參數等各種方式，通過函數知識求取函數的最值屬于較為常見的一種解題思路.不等式所反映出的不等量關系，通常需以等量關系進行解決，即方程.函數和不等式之間的互相轉換，就函數y=f(x)而言，在y>0的時候，就能轉變成不等式f(x)>0，通過函數的性質與圖像相輔助，就能實現不等式相關問題的解決，且函數性質的研究也和不等式有著直接關系.

例如，設不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有實數m都成立，求x的取值范圍.

學生在對本題解決時，依據其思維定勢，通常會將此題當做是與x有關的不等式探討，但是，如果換個角度，將m當做變量，就是與m有關的一次不等式，即(x2-1)m-(2x-1)<0在m∈[-2,2]上恒成立，由此可轉變成，設f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，那么問題就能轉變成函數f(m)的值在m∈[-2,2]上為負值，則參數x需滿足條件f(-2)<0,f(2)<0.

綜上所述，函數與方程思想作為高中數學解題中的一種重要思想，其在數學解題中有著較高的應用率.因此，在數學解題的教學中，教師需注重引導學生深刻掌握該思想，將其靈活運用于具體解題中，并在函數與方程思想的運用中，注重各種類型數學題的匯總，通過經典例題的分析，準確理解與掌握函數與方程思想位于不同題型當中的運用技巧與方法，從而使學生的解題效率與準確率得到有效提高.