數學實驗：從“知識立意”轉向“思想立意”

曹 建

(江蘇省南通市通州區二窎中學 226342)

數學實驗是學生動手、動腦、以外顯的“做”為特征、以內隱的“思”為核心的一種數學活動.數學實驗，我們必須從“知識立意”轉向“素養立意”，這是數學實驗必然的價值取向.數學實驗的核心、關鍵特征是“手腦協同”“啟思明理”.在數學實驗過程中，學生會主動地觀察、操作、思考、交流，從而對數學知識進行自主、能動、有意義的建構、創造.數學實驗，要促進學生的數學理解，培育學生創新精神和實踐能力.

一、數學理解的重要載體

理解數學知識，知曉其內涵與外延，洞察數學知識的來龍去脈，對于學生數學核心素養的形成來說至關重要.在初中數學教學中，教師要有意識地變“聽數學”為“做數學”、變“機械接受”為“主動探究”，從而讓數學實驗成為學生數學理解的重要載體.通過數學實驗，能有效地發展學生的主體意識，讓學生感受、體驗知識發現的樂趣，提升學生的數學思維能力.

比如教學《探索多邊形的內角和》，筆者賦予學生自主學習的充分時空，讓學生開展主體性的數學實驗.由于這一部分內容學生在小學階段已經有所涉獵，因而能夠展開積極主動地探索.比如學生用撕紙法進行探究，比如有學生用測量法進行探究，有學生用分成三角形的方法等進行推理.在數學實驗的過程中，學生能夠經歷自我否定，即撕紙法、測量法等不適合四邊形、五邊形等多邊形的內角和探索，而分割法則適用于任意多邊形的內角和探索.在轉化的過程中，學生形成了兩種基本的實驗路向：其一是通過探索四邊形、五邊形、六邊形等圖形的內角和，進而發現多邊形內角和與邊數之間的關系，即“多邊形的邊數每增加1，內角和就相應地增加180°”；其二是直接將n邊形分成若干個三角形，進而有效地推理、計算出多邊形的內角和.在實驗方法上，學生也形成了這樣的兩種路向：一是從多邊形的一個頂點，將多邊形進行分割；另一種是從多邊形的內部一個點，對多邊形進行分割，等等.通過實驗探究，學生建構了多邊形的內角和公式，形成了這樣的深刻認識，即“從n邊形的一個頂點出發，可以作(n-3)條對角線，將n邊形分成(n-2)個三角形，因而n邊形的內角和公式就是“(n-2)×180°”.在學生探索“多邊形的內角和”的基礎上，筆者再次引導學生探索“多邊形的外角和”，學生先通過量角器測量，感性認識多邊形的外角和不隨著邊數的變化而變化.通過拼圖實驗活動，發現多邊形的外角揭下來后都可以拼成一個周角.最后我們用鉛筆一次圍繞多邊形的外角旋轉，學生能直觀地發現，鉛筆正好旋轉了一個周角.由此學生通過轉筆實驗，證明了多邊形的外角和就是360°.

多元化的數學實驗，讓學生對數學知識獲得了多元化的理解.數學實驗，能夠刺激大腦并展開積極的思維.數學實驗，不僅能幫助學生理解所學的數學知識，更能通過親身實踐，讓學生感受到發現知識的快樂.數學實驗，改變了學生被動接受知識、結論的教學現狀，形成了學生主動探究、發現、創造數學知識的教學新樣態.

二、數學發現的重要載體

從“知識立意”走向“素養立意”，不僅需要促進學生對數學知識的理解，更需要促進學生數學發現.數學實驗同樣是數學發現的重要載體.數學核心素養不僅是指“共同素養”，而是指“關鍵素養”“必要素養”“重要素養”等.其中，數學猜想、發現能力是一個重要的維度.數學核心素養被認為是培養人最為重要的“DNA”分子.一個善于猜想的學生，一定是一個懂得如何用數學的眼光觀察問題、用數學的大腦分析問題，用數學的思想方法解決問題的學生.數學猜想、數學發現，是學生數學核心素養最為重要的確證與表征.

從根本上來說，數學發現有兩件事情比較重要：其一是猜想方案，形成解決問題的思路；另一種是從實際的問題情境中獲得解決的路向、思路、策略等.比如數學實驗——“折紙與含有30°角的直角三角形”，可以讓學生體會折紙的神奇.這個實驗可以分為兩個“子實驗”，即“折出含有30°角的直角三角形”“探索含有30°的直角三角形的性質”.在做第一個實驗時，先讓學生觀看折紙視頻，然后一邊動手操作一邊思考，并完成證明過程.在折紙的過程中，教師要適度介入，啟發、引導學生.比如“過一條邊的中點對折”，比如“過一個角的平分線對折”，等等.通過折角，學生能直觀感知30°的角所對應的直角邊與斜邊之間的數量關系.折紙只要過程正確，折出的角度是非常標準的，在折紙的過程中，學生能夠體會到幾何學的力量.最后可以通過證明，形成“30°角所對應的直角邊是斜邊的一半”.數學實驗，能讓學生深刻感受、體驗數學知識，幫助學生建構幾何知識的數學模型.在這里，數學實驗具有一種引導猜想的作用、功能，同時又兼具一種證明、驗證的效用.通過發現性的數學實驗活動，能有效地驅動學生數學探究，發展學生的數學核心素養.

著名科學家愛因斯坦說，“提出一個問題比解決一個問題更重要.因為解決一個問題只是一種技能而已，而提出一個問題卻需要新的視角.”數學是現實世界的抽象反映, 它反映各種事物、各種現象的本質.在數學教學中，教師要有意識地引導學生將現實生活中蘊含的與數量和圖形有關的問題抽象成數學問題，從而催生學生數學發現.教師的作用，就是要引導學生去經歷探究、發現、猜想、驗證的過程，從而有效地培育學生的探究力、創造力.

三、數學創新的重要載體

數學創新是一種高級的數學素養，是學生數學素養最具活力的表征.從某種意義上說，培育學生的數學核心素養，就是要培育學生的關鍵能力和必備品格.創新能力是一種關鍵能力，也是一種必備品格.數學實驗，不僅是學生創新的載體，更構建了發展學生創新意識的課程環境.在數學實驗過程中，學生敢于奇思妙想，能夠積極質疑、超越常規、主動創新.數學實驗，讓學生能夠帶著質疑的種子、創新的種子走進課堂.

比如教學《探索三角形全等的條件》，許多教師都是采用演繹證明的方法，提供給學生的都是“數學成品”，很少賦予教學時空讓學生進行探究.因而學生沒有嘗試、實驗、探究的機會.三角形的全等的條件，主要有“角邊角”“邊角邊”“角角邊”“邊邊邊”.為了深化學生對判定方法的理解、掌握，筆者在教學中，設計實驗引導學生主動探究.首先給學生提供一個剪好的三角形紙板，然后撕下其中的一個角，引導學生嘗試用其中的一塊，還原成和原來完全重合的三角形，即全等三角形；其次給學生提供一個只有一條邊被破壞的殘缺三角形，引導學生還原和原來完全重合的三角形，即全等三角形；再次是給學生提供一個三角形紙板，然后給學生提供與三角形紙板三條邊對應相等的小棒，引導學生嘗試用小棒圍成一個三角形，這個三角形與原來的三角板全等嗎？通過這一個個的小實驗，催生學生的數學思維，活化學生的數學想象.由于學生不再是一味地聽教師講、看教師做，而是在充分、充足的時空范圍內進行實驗，因而能進行實驗的方案設計、操作，形成了學生深度思考、深度探究的能力.

數學實驗，給學生提供了充分的探索發現、嘗試錯誤、猜想驗證的機會.在數學教學中，只要教師善于發掘學生數學學習的閃光點，及時捕捉學生的思維的“偏差”，就能通過適當的引導，催生學生的發現、引導學生的創新.數學實驗不僅僅是學生數學學習、數學思維發展的載體、媒介，更是學生數學創新的催化劑、動力引擎.實踐證明，數學實驗拓展了學生的思維活動空間，讓學生的數學思維更有深刻性、批判性，促進了學生數學創新意識的發展.

從“知識立意”轉向“素養立意”，吁求教師的深度教學，吁求學生的深度學習.作為教師，要充分運用數學實驗這樣的一個載體，超越單一的線性安排，給學生提供一個多元化的實踐平臺.在數學實驗中，學生不僅能獲得數學知識，更能感悟數學的思想方法.數學實驗教學，不僅關心學生“知道了多少”，更關心學生“怎樣知道的”.數學實驗，追求的不僅僅是對問題的解決，對知識的理解，更追求對數學知識的發現、創造！