探究數形結合思想在高中數學教學中的應用

李 敏

(安徽省廣德中學 242200)

數學是一切自然科學的核心.而自然界的運動、發展有其內在規律，數學也蘊藏著深刻的內在規律.人們對數學規律、數學本質的理性認識，可稱之為數學思想.數學思想是人們對紛繁、復雜數學現象的抽象認識，數學思想中濃縮著大量有價值的數學內容.

高中數學教師引導學生掌握數學思想，可以幫助學生降低數學學習的難度，提高學生的學習效率；繼而減輕教師的教學壓力.數形結合，即屬于一種具有重要應用價值的數學思想.

一、數形結合思想概述

空間形式與數量關系，是數學研究的兩大主題.為了詳細研究空間形式、數量關系，數學出現了兩大分支：代數學與幾何學.在高中數學教學中，數學教師往往采用封閉式教學模式：在上代數課時，在黑板上寫下密密麻麻的符號與算式；在上幾何課時，在黑板上畫出各種圖形.教師的封閉式教學，又使學生進一步感到數與形之間壁壘森嚴，存在著不可逾越的鴻溝.

但實際情況卻并非如此.空間形式與數量關系二者之間的確存在著相互區別，但二者之間又存在著相互聯系.早在17世紀，笛卡爾便建立了平面直角坐標系，成功地將代數與幾何聯系了起來，變幾何證明為代數計算.1964年，一代數學大師華羅庚教授明確提出了“數形結合”的思想.華羅庚教授認為：幾何與代數是永遠聯系的統一體，缺乏圖形的數字缺乏直觀性，缺乏數字的圖形無法對其展開細致的抽象思維.因此，必須將數與形結合起來.

對于如何精確的定義“數形結合”，不同的專家有著不同的解讀.為行文方便，在本文中，我們將“數形結合”描述為：數量關系具有精確性、抽象性的特點，幾何圖形具有形象性、直觀性的特點；因此，在數學學習過程中，學生可以綜合運用抽象思維與形象思維，采用直觀的圖形來反映抽象的數學關系，使數與形實現相互轉化，從而提升解決數學問題的效率.

二、在高中數學教學中應用數形結合思想

1.高中數學教學面臨的困境

當前，高中數學教學面臨著困境.據2019年一次對高中生、高中數學教師的隨機抽樣調查發現：77%的被調查學生表示高中數學難學、難懂；68%的被調查學生表示自己不喜歡上代數課；73%的被調查學生表示自己不喜歡上幾何課；65%的被調查教師表示高中數學課難上(幾乎所有被調查的數學教師都認為自己班上的學生在計算數學問題的過程中往往陷入繁瑣的運算步驟).

因此，我們應當針對高中數學教學中存在的困境，在教學中主動應用包括“數形結合”在內的各種數學思想，從而培養并增強學生的數學能力.

2.探究如何在高中數學教學中應用數形結合思想

下面，我們將結合《集合》教學，探究如何在數學教學中應用數形結合思想.眾所周知，集合的概念較為抽象，集合題往往設置一些復雜、麻煩的已知條件，缺乏審題能力的學生往往會陷入五里云霧.采用數形結合，便可化繁瑣為簡潔.

在上《集合》課時，教師可以向學生們提出這樣一道題：“浙江省嘉興市××高中一年級(3)班，有40個同學.他們分別報名參加漫畫、音樂、舞蹈三個俱樂部；有的同學報名參加了一個俱樂部，有的同學報名參加了兩個俱樂部，還有的同學報名參加了三個俱樂部.但每個俱樂部到底有多少個同學參加呢？我們對這些具體的數字可一點兒也不知道.我們知道的是：

①在40個同學中，每個同學都參加了至少一個俱樂部；

②有些同學沒有參加漫畫俱樂部；在這些沒有參加漫畫俱樂部的同學中間，有一部分同學參加了音樂俱樂部、舞蹈俱樂部.在這些或者參加音樂俱樂部、或者參加舞蹈俱樂部的同學中間，參加音樂俱樂部的同學人數是參加舞蹈俱樂部同學人數的2倍.

③有些同學只參加了漫畫俱樂部，沒有參加其它俱樂部.這些只參加漫畫俱樂部的同學人數比其余同學中參加漫畫俱樂部的人數多一個人.

④這40名同學中，有些同學只參加了一個俱樂部.在這批同學中間，有50%沒有參加漫畫俱樂部.

請大家告訴我，有多少個同學只參加了音樂俱樂部？又有多少個同學參加了漫畫俱樂部？”

這道集合題具有相當的難度.僅僅讓學生審題，便會急得學生滿頭大汗.班上的先進生肯定會要求教師再將本題的各種已知條件講一遍，一一寫在黑板上；然后用設X、Y的方法設計方程式，來逐項求解.但這道題已知條件中并沒有給出精細的數值，采用設X、Y的方法進行代數計算，反而會走進一條死胡同.

這時，教師便可以在黑板上畫出A、B、C三個圓，然后向學生講解：“同學們請看，我們可以設A為參加漫畫俱樂部的人數，設B為參加音樂俱樂部的人數，設C為參加舞蹈俱樂部的人數.請大家注意：這三個圓存在著互相交叉的部分.”

然后教師在這三個圓的交叉部分分別填上a、b、c、d、e、f、g，并向學生們解釋：“這道題目看似復雜，光聽已知條件就很拗口.可是，用圖形來表示的話，我們便可以看見：這個高一(3)班同時參加3個俱樂部的人數，可以設為g.同時參加漫畫俱樂部、舞蹈俱樂部的人數，可以設為e.同時參加音樂俱樂部、舞蹈俱樂部的人數，可以設為f.同時參加漫畫俱樂部、音樂俱樂部的人數，可以設為d.這樣，在A中，可得到余下的，僅僅參加漫畫俱樂部的人數.我們將這一人數設為a；在B中，可得到余下的，僅僅參加音樂俱樂部的人數，我們將這一人數設為b；在C中，可得到余下的，僅僅參加舞蹈俱樂部的人數，我們設為c.現在，讓我們重新看一次已知條件，我們可以直觀地發現：

沒有參加漫畫俱樂部的人數=c+f+b

僅僅參加一個俱樂部的人數=a+b+c

請大家看，這道復雜的集合題是不是變得越來越清晰了呢？我還可以寫出其它式子，但現在我不打算寫它們.我想請一位聰明的同學來到黑板上，根據我們已知的條件，將a、b、c、d、e、f、g之間的數字關系表示出來.之后，教師只需選擇一位先進生走上臺來，讓他根據已知條件，在黑板上寫出：

a+b+c+d+e+f+g=40

b+f=2·(c+f)

a-1=d+e+g

a=b+c

然后，這位先進生便會豁然開朗，意識到不必設X、Y也可以計算出這道題的答案.這時，臺下的學生們也會恍然大悟.教師只需要讓學生們自己動筆，他們便會計算出

a=11

b=10

c=1

d+e+g=10

a+d+e+f=21

這樣，學生們會對“數形結合”留下深刻的印象，會驚嘆教師只用3個圓，10個字母，就把如此復雜的題目描述得一清二楚，解決起來也很便捷.這時，教師便可以趁熱打鐵，鼓勵學生們在做集合題時主動變數量關系為圖形，再利用圖形來解決數學問題.

數形結合揭示了數量關系與幾何圖形之間的內在聯系，是重要的數學思想.在高中數學教學中應用數形結合，可以有效激活學生的形象思維，幫助學生理解各種抽象的數學問題，從而提高學生的數學能力，并增強學生的數學核心素養.