非線性成型振動臺混沌特性分析與仿真研究

周奇才，王聰聰，熊肖磊，董日騰

(1.同濟大學(xué) 機械與能源工程學(xué)院，上海 201804； 2.同濟大學(xué) 浙江學(xué)院，浙江 嘉興 314051)

預(yù)制混凝土構(gòu)件成型的主要方式是通過振動成型裝備的低幅、高頻振動使得混凝土骨料各顆粒之間發(fā)生相對運動，縮小顆粒間的縫隙，排出拌合物中的空氣，骨料和水泥凈漿相互填充最終密實成型。為了獲得更好的成型質(zhì)量就要在一定時間內(nèi)讓不同大小的骨料顆粒都能獲得盡可能多的能量，引起共振增加顆粒之間碰撞拌合的機會，從而提高構(gòu)件的密實度和均勻度。所以直接影響構(gòu)件成型質(zhì)量的主要技術(shù)參數(shù)是振動的加速度、頻率和振動時間，更大的振動加速度能夠?qū)⒏嗟哪芰總鬟f到混凝土內(nèi)部，一定范圍的頻率帶能夠適應(yīng)不同大小顆粒的固有頻率，合適的振動時間能夠節(jié)省能源縮短成型周期。

目前市場上采用最多的成型裝備是偏心輪式機械振動臺，盡管可以通過調(diào)節(jié)激振力的大小獲得不同的加速度，但是其振動頻率比較單一，成型效果不佳，經(jīng)常出現(xiàn)密實度不高、表面麻面、開裂等諸多問題，所以需要對其進行改進。混沌振動的寬頻特征給了學(xué)者和技術(shù)人員新的啟發(fā)。具有一定條件的非線性系統(tǒng)在受到規(guī)則激勵時會產(chǎn)生無規(guī)則且不重復(fù)的振動，這就是混沌振動。因為混沌振動的有害性，早期的研究多集中在混沌振動的控制領(lǐng)域[1-4]，但如果能將混沌理論推廣應(yīng)用到振動密實領(lǐng)域，有效利用混沌振動的寬頻響應(yīng)特性，就能使混凝土骨料中不同粒徑的顆粒產(chǎn)生共振，從而提高骨料散體的密實度和均勻性，進而顯著提高預(yù)制件的成型質(zhì)量。基于以上思想，已經(jīng)有很多學(xué)者在振動密實及其相關(guān)領(lǐng)域開展了研究。比如Long[5]通過0.75 t,10 t和14 t三種混沌振動壓路機的振動試驗、數(shù)值模擬和壓實試驗證明混沌振動壓路機的工作效率比傳統(tǒng)振動壓路機高12.2%；劉本學(xué)等[6]針對當(dāng)前單頻振動壓實機械壓實性能不足的問題,提出了一種基于雙頻合成技術(shù)的雙頻振動壓實機械，并通過試驗驗證壓實效果優(yōu)于單頻振動；贠志達[7]通過分析大型混凝土振動臺的振動系統(tǒng)設(shè)計了三偏心混沌振動臺；李彥泳[8]則從離散元分析的角度對此混沌振動臺的效果進行仿真驗證，得出混沌振動臺相比傳統(tǒng)振動臺有更好的密實效果；蘇春建等[9]提出了一種基于混沌振動的混凝土砌塊成型機，推動了混沌振動理論在建筑工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用。

碟型彈簧是由鋼板沖壓成型的碟狀墊圈式彈簧，具有剛度大，變剛度等特點，改變內(nèi)錐高度和厚度的比值，可以得到不同的特性曲線，具有范圍很廣的非線性特性；組合方式靈活，有對合、疊合、復(fù)合組合三種方式，采用不同的組合方式，能使碟簧特性在很大范圍內(nèi)變化。裝有碟型彈簧的動力吸振器以其寬頻帶減振的特點而獲得重視[10]。本文在前人研究的基礎(chǔ)上提出一種基于碟型彈簧隔振的非線性成型振動臺，建立振動臺的物理模型和動力學(xué)模型并利用Matlab進行數(shù)值分析，仿真結(jié)果表明改進的振動臺具有混沌特征，能夠產(chǎn)生寬頻振動。

1 傳統(tǒng)振動試驗臺結(jié)構(gòu)及試驗結(jié)果

傳統(tǒng)小型混凝土振動試驗臺結(jié)構(gòu)如圖1所示，振動平臺四周放置四個彈簧隔振器，采用一組偏心式振動電機作為激振源產(chǎn)生垂直方向的激振力，通過控制變頻器的輸出可以調(diào)節(jié)振動電機的激振頻率，符合單頻輸入單頻輸出的特性。

圖1 傳統(tǒng)振動試驗臺模型及實物圖Fig.1 Model and physical drawing of traditional vibration test-bed

進行振動密實試驗的裝置如圖2所示，混凝土砌塊模具固定安裝在振動臺面上方，在不同控制參數(shù)下進行混凝土的振動密實試驗。

圖2 振動密實試驗裝置Fig.2 Vibration compaction test device

圖3為30 Hz激振頻率下得到的振動試樣及切片取樣結(jié)果，從圖3可知，盡管振動后的試樣外形比較規(guī)整，但在切片過程中由于砌塊內(nèi)部的密實度不高依然會發(fā)生開裂甚至崩壞的情況，傳統(tǒng)振動密實存在成型效果不佳、密實度低的問題。

圖3 振動后試樣及切片取樣結(jié)果Fig.3 Sample and slice sampling results after vibration

3 改進振動臺物理模型和數(shù)學(xué)模型

根據(jù)實際需求構(gòu)建改進振動臺的物理模型如圖4所示。三維模型如圖5所示。

1-驅(qū)動缸組成的多自由度機構(gòu);2-中間支架;3-模框及混凝土；4-模臺；5-臺架；6-振動器;7-碟型彈簧隔振器圖4 振動臺結(jié)構(gòu)物理模型Fig.4 Physical model of shaking table structure

圖5 振動臺結(jié)構(gòu)三維模型Fig.5 Three-dimensional model of shaking table structure

按照主要功能將振動臺分為低頻和高頻兩大部分，低頻部分由下部的多自由度機構(gòu)和中間支架組成，用來支撐臺體以及混凝土在模框內(nèi)的均勻鋪開，本文不對此做進一步研究；高頻部分由4，5，6，7組成，負責(zé)混凝土的振動密實，也是本文研究的對象。

振動臺的技術(shù)參數(shù)如表1所示。已知要求未放上型模時振動臺的加速度為5～10g，放上型模進行振實時為2～4g[11]，所以選擇振動器的功率和激振力等參數(shù)如表2所示。

表1 振動臺技術(shù)參數(shù)Tab.1 Technical parameters of shaking table t

表2 振動器技術(shù)參數(shù)Tab.2 Technical parameters of vibrator

振動臺高頻部分空載時的參振質(zhì)量

M0=M2+N·M5

(1)

振動加速度

(2)

放上型模后的總參振質(zhì)量

M∑=M0+M1+α·M4

(3)

式中：α為砌塊制品混凝土的結(jié)合系數(shù)，取值為0.2～0.4[12]；N為振動器的數(shù)量。

振動加速度

(4)

所以振動器滿足加速度要求。振動臺共有16個隔振器，根據(jù)GB 50463—2008《隔振設(shè)計規(guī)范》，單個隔振器的承載力滿足

(5)

表3 碟型彈簧技術(shù)參數(shù)Tab.3 Technical parameters of disc spring

每個隔振器由兩片碟簧疊合，6組碟簧對合而成，承載力

Pi=2Fi·μ=44.88 kN

(6)

式中,μ為碟簧之間的摩擦因數(shù)，當(dāng)兩片疊合時取0.85。

碟簧隔振器的物理結(jié)構(gòu)模型如圖6所示。

圖6 隔振器結(jié)構(gòu)模型Fig.6 Physical model of vibration isolator

對于上述振動臺模型作如下假設(shè)：①下部多自由度機構(gòu)靜止時可以視為剛度無限大的剛體；②隔振器的質(zhì)量很小，可以忽略不計，其庫倫阻尼等效為線性阻尼，只考慮黏性阻尼和彈性非線性；③振動臺完全沿垂直方向單向振動，激振力為垂直方向的簡諧激勵，作用在臺架質(zhì)心，且F(t)=F0cosωt。可將振動臺簡化為一個單自由度振動力學(xué)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型為

(7)

式中：m為振動臺高頻部分的總參振質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；f(x)為碟簧隔振器的非線性恢復(fù)力；F0為激振力幅值;ω為激勵圓頻率。

已知單片碟簧承受的載荷與位移之間的關(guān)系[14]為

P=K1X-K2X2+K3X3

(8)

當(dāng)?shù)筛粽衿饔啥嗥蓮?fù)合組合而成時，疊合方式相當(dāng)于彈簧并聯(lián)，對合方式相當(dāng)于彈簧串聯(lián)。所以隔振器的非線性恢復(fù)力可以表示為

f(x)=k1x-k2x2+k3x3

(9)

式中:k1為隔振器的線性剛度系數(shù);k2,k3分別為二次、三次非線性剛度系數(shù)。

研究平衡位置x0附近的振動，因為在平衡位置滿足[15]

(10)

所以令x1=x+x0，并將式(9)、式(10)代入式(7)，化簡后得

(11)

(12)

3 數(shù)值仿真與混沌分析

利用Matlab/Simulink軟件搭建振動臺的混沌響應(yīng)數(shù)值仿真平臺如圖7所示。從圖7可知，主要由輸入?yún)?shù)、響應(yīng)曲線圖和原理框圖三部分組成。設(shè)定質(zhì)量、阻尼比、激振力和頻率4個輸入?yún)?shù)，便于實時觀察振動臺的激勵響應(yīng)。

圖7 振動臺混沌響應(yīng)數(shù)值仿真平臺Fig.7 Numerical simulation platform for chaotic response of shaking table

為確定激勵參數(shù)，根據(jù)混凝土振動密實過程中較為合理的加速度-頻率比r/f=1～2[17]，先設(shè)初始激振頻率ω=30 Hz、激振力幅值F0=100～400 kN，隔振器阻尼比γ=0.1[18],步長ΔF=100，用4階Runge-Kutta法對式(11)進行數(shù)值積分得到系統(tǒng)的響應(yīng)隨激振力變化的分岔圖，如圖8所示。由于正交法求出的 Lyapunov 指數(shù)譜的精度高、耗時少、抗干擾能力較強[19]，所以采用正交法利用Matlab編程計算得到Lyapunov指數(shù)譜如圖9所示，其中λ1為最大Lyapunov指數(shù)。

圖8 系統(tǒng)隨激振力幅值變化的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram of the system with the amplitude of exciting force

圖9 以激振力幅值為參數(shù)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.9 Lyapunov exponent spectrum with excitation force amplitude as parameter

從圖8可知，當(dāng)激振力幅值F0∈(100 kN,234 kN)時，系統(tǒng)作周期1運動，其中在F0=144.5 kN和F0=168.5 kN出現(xiàn)兩次跳躍現(xiàn)象，取F0=200 kN，如圖10所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖只有一個孤立的點，時間歷程曲線規(guī)則有序，頻譜圖為離散譜，λ1=-6.175 7<0；當(dāng)F0=234.5 kN時系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，開始作周期2運動，取F0=235 kN，如圖11所示。Poincaré映射圖出現(xiàn)兩個孤立的點，其他特征仍和周期1保持一致，λ1=-6.211 9；當(dāng)F0=242.5 kN時，系統(tǒng)演變?yōu)橹芷?運動，當(dāng)F0=265 kN時系統(tǒng)由周期3運動轉(zhuǎn)化為周期4運動，取F0=270 kN，如圖12所示。λ1=-0.275 5；隨著激振力幅值的繼續(xù)增大，當(dāng)F0=273 kN時系統(tǒng)再次經(jīng)歷倍周期分岔演變?yōu)橹芷?運動，如圖13所示。此時λ1=-0.228 2；F0=282 kN時系統(tǒng)進入混沌區(qū)域，演變?yōu)榛煦邕\動，取F0=320 kN，如圖14所示。相軌跡曲線互相纏繞，不重復(fù)而且不封閉，Poincaré映射圖是呈現(xiàn)一定分形特征的點集，頻譜圖在一定范圍內(nèi)是連續(xù)的，具有明顯的寬頻特性[20]，λ1=4.294 6>0；在F0∈(330 kN,337 kN)時系統(tǒng)出現(xiàn)短暫的周期運動窗口，表現(xiàn)為周期5運動，λ1<0，之后又重新進入混沌狀態(tài)；F0=401 kN之后系統(tǒng)離開混沌區(qū)域進入大周期運動狀態(tài)，并最終演化為單周期運動。

圖10 F0=200 kN時各參數(shù)曲線和圖譜Fig.10 Parameter curves and spectra at F0=200 kN

圖11 F0=235 kN時各參數(shù)曲線和圖譜Fig.11 Parameter curves and spectra at F0=235 kN

圖12 F0=270 kN時各參數(shù)曲線和圖譜Fig.12 Parameter curves and spectra at F0=270 kN

圖13 F0=273 kN時各參數(shù)曲線和圖譜Fig.13 Parameter curves and spectra at F0=273 kN

圖14 F0=320 kN時各參數(shù)曲線和圖譜Fig.14 Parameter curves and spectra at F0=320 kN

令激振力幅值F0=400 kN，頻率ω=10～45 Hz，步長Δω=0.01，繪制系統(tǒng)響應(yīng)隨激振頻率變化的分岔圖如圖15所示。Lyapunov指數(shù)譜如圖16所示。從圖16可知，當(dāng)激振頻率較小時系統(tǒng)作周期運動，λ1<0，ω=13.58 Hz之前系統(tǒng)作周期2運動并在ω=12.81 Hz處經(jīng)歷一次跳躍，在ω∈(13.58 Hz,30 Hz)系統(tǒng)作單周期運動，取ω=20 Hz如圖17所示。之后進入混沌運動狀態(tài)，取ω=31 Hz如圖18所示。λ1=6.379 7，ω=33.36 Hz時系統(tǒng)結(jié)束混沌狀態(tài)演變?yōu)橹芷?運動，取ω=33.5 Hz如圖19所示。λ1=-6.213 5；之后又經(jīng)歷一系列倍周期分岔重新進入混沌狀態(tài)，隨著激振頻率的繼續(xù)增大，ω=36.63 Hz時系統(tǒng)開始倍周期倒分岔，依次經(jīng)歷周期4和周期2最終演化為單周期運動。

圖15 系統(tǒng)隨激振頻率變化的分岔圖Fig.15 Bifurcation diagram of the system with variation of excitation frequency

圖16 以激振頻率為參數(shù)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.16 Lyapunov exponent spectrum with excitation frequency as parameter

圖17 ω=20 Hz時各參數(shù)曲線和圖譜Fig.17 Parameter curves and spectra at ω=20 Hz

其他參數(shù)不變，取激振力幅值F0=400 kN，激振頻率ω=30.7 Hz，以阻尼比γ為分岔參數(shù)得到系統(tǒng)的分岔圖如圖20所示。Lyapunov指數(shù)譜如圖21所示。當(dāng)γ∈(0,0.087 5)阻尼比較小時系統(tǒng)作周期1運動，λ1<0，之后經(jīng)過跳躍進入混沌區(qū)域，取γ=0.104，如圖22所示。λ1=6.785 3>0；γ=0.116時系統(tǒng)遷轉(zhuǎn)為周期5運動并進入短暫的周期窗口，λ1<0，如圖23所示。γ=0.118時又重新進入混沌區(qū)域，γ=0.151時系統(tǒng)經(jīng)歷倍周期倒分岔演變?yōu)橹芷?運動，γ=0.157時演變?yōu)橹芷?運動，在經(jīng)歷一系列倍周期倒分岔現(xiàn)象之后最終演變?yōu)閱沃芷谶\動。可見阻尼比在一定范圍內(nèi)系統(tǒng)可以產(chǎn)生混沌振動。

圖18 ω=31 Hz時各參數(shù)曲線和圖譜Fig.18 Parameter curves and spectra at ω=31 Hz

圖19 ω=33.5 Hz時各參數(shù)曲線和圖譜Fig.19 Parameter curves and spectra at ω=33.5 Hz

圖20 系統(tǒng)隨阻尼比變化的分岔圖Fig.20 Bifurcation diagram of system with damping ratio

圖21 以阻尼比為參數(shù)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.21 Lyapunov exponent spectrum with damping ratio as parameter

圖22 γ=0.104各參數(shù)曲線和圖譜Fig.22 Parameter curves and spectra at γ=0.104

圖23 γ=0.116各參數(shù)曲線和圖譜Fig.23 Parameter curves and spectra at γ=0.116

4 結(jié) 論

文中對基于碟簧隔振器的非線性成型振動臺的混沌特性進行了研究，利用Simulink搭建混沌響應(yīng)仿真平臺對推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型進行數(shù)值計算，通過求解系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵參數(shù)的分岔圖確定激勵參數(shù)，采用Runge-Kutta法求解并繪制系統(tǒng)的相軌跡圖、Poincaré映射圖、時間歷程曲線、頻譜圖和最大Lyapunov指數(shù)，仿真結(jié)果表明通過適當(dāng)?shù)募钅軌蚴蛊洚a(chǎn)生混沌振動，具有寬頻響應(yīng)的特性。鑒于研究的假設(shè)，理論模型無法與實際工況完全一致，所以在進一步的應(yīng)用研究中，需要結(jié)合理論分析得出的參數(shù)進行大量的試驗才能確定系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)的準(zhǔn)確參數(shù)。

文中提出了一種成型振動臺的寬頻響應(yīng)方案，建立了碟簧隔振器混沌特性研究的理論基礎(chǔ)，既有利于碟型彈簧材料的推廣應(yīng)用，又能利用其變剛度的非線性特性進行工程設(shè)計，指導(dǎo)生產(chǎn)作業(yè)中的參數(shù)設(shè)計和調(diào)整，具有重要的理論參考價值和工程指導(dǎo)意義。