多變量灰色模型的優(yōu)化及其應用

（臨海市水利投資開發(fā)有限公司，浙江 臺州 317000）

0 前言

沉降監(jiān)測目前在軟土地基、高邊坡、深基坑等施工中被廣泛采用，但因施工工藝、工期等復雜因素的影響，使得實際的沉降監(jiān)測只能反映當前工況下的短期規(guī)律。為合理縮短工期、節(jié)約工程建設成本，利用實測沉降數(shù)據(jù)，通過建立數(shù)學模型，分析預測沉降系統(tǒng)未來發(fā)展的總體趨勢及穩(wěn)定標準，為施工、設計提供控制參考，已成為一種常用方法。當前，沉降預測主要有有經驗公式法、灰色系統(tǒng)法、遺傳算法等，每一種方法都有其自身的特點和適用性。

灰色系統(tǒng)由鄧聚龍?zhí)岢觯柏毿畔ⅰ薄靶颖尽笔瞧渲匾奶攸c。目前利用灰色模型預測沉降主要集中在GM(1，1)模型、多變量 MGM(1，n)模型及其改進模型，未考慮相鄰測點間存在的變形協(xié)調、影響制約關系。本文通過分析灰色模型初始灰微分方程和白化微分方程的建模特點，以背景值和灰導數(shù)同步優(yōu)化為基礎，建立了與系統(tǒng)變形協(xié)調相適應的新NMGM(1，n)模型。結合工程實例，表明優(yōu)化的模型在具備良好的原始數(shù)據(jù)擬合精度的基礎上，同時具有良好的預測效果。

1 多變量模型的關聯(lián)度

需要注意的是，利用多變量灰色模型預測沉降前，需對原始數(shù)據(jù)序列進行相關性分析，以確定數(shù)據(jù)序列的關聯(lián)度，校驗測點間變形協(xié)調是否具有相關性，具體方法可參見文獻，一般認為當各測點間的關聯(lián)度大于0.5時，具有較高的關聯(lián)度，即可利用多變量灰色建模預測沉降。

2 NMGM（1，n)模型建模

在n個測點滿足關聯(lián)性的前提下，建立NMGM（1，n）模型一階白化微分方程組：

令參數(shù)矩陣

變量矩陣

則式（4）變換形式為：

式（4）離散化可得模型的灰微分方程為：

式（7）即為模型背景值，即緊鄰均值生成序列

辨識參數(shù)A、B可根據(jù)二乘法原理估算：

式中，

由此，得式（5）離散化的時間響應式為：

由式（12）累減還原得原始數(shù)據(jù)預測值：

3 NMGM（1，n）模型的優(yōu)化

3.1 灰導數(shù)和背景值的優(yōu)化

根據(jù)式（4）及t點的導數(shù)定義有：

則式（4）差分離散化后的灰微分方程為：

式（4）與式（15）存在替代系統(tǒng)誤差。為減少這一誤差，本文對模型進行如下優(yōu)化。

待定參數(shù)可求解如下：

可知，

即

根據(jù)初始條件（i=1），

為此，以殘差的平方和分別構造指標函數(shù)：

3.2 初始條件優(yōu)化

K的求取方法如下：

由序列累加生成可知

3.3 模型精度檢驗

每期預測值與實測值相對誤差：

平均相對誤差：

3.4 優(yōu)化NMGM（1，n）模型計算步驟

根據(jù)上述原理，具體計算步驟如下：

③計算優(yōu)化的灰微分方程模型式（18）；

④根據(jù)新模型按式（8）求取參數(shù)A、B；

⑤按式（23）優(yōu)化初始條件；

4 工程實例

精度檢驗參考 表1

監(jiān)測點擬合及預測結果 表2

4.1 原始監(jiān)測數(shù)據(jù)

某項目路基橫斷面左（A）、中（B）、右（C）共埋設三個沉降測點，堆載預壓7.23m，設計預壓期10個月，選取12期原始監(jiān)測數(shù)據(jù)序列。原始數(shù)據(jù)序列如表2中所示。

4.2 NMGM（1，3)模型優(yōu)化計算

根據(jù)灰色關聯(lián)分析方法，計算三個測點原始數(shù)據(jù)序列的灰色關聯(lián)度均大于0.5，可見各點間沉降存在關聯(lián)性，可以利用NMGM(1，3)模型建模預測。通過編制計算程序，由實測數(shù)據(jù)求得三個測點的擬合值及預測值如表3。

擬合值精度檢驗 表3

4.3 沉降擬合及預測分析

根據(jù)表2中前8期NMGM(1，3)模型擬合值精度結果可見，三個測點每期數(shù)據(jù)擬合的相對誤差均小于2%，對每個測點的擬合誤差相對平均，無異常點，說明優(yōu)化后的模型具備較高的實測數(shù)據(jù)擬合精度。表4中進一步表明，三個測點的平均相對誤差僅為1%左右，后驗差比指標亦達到了Ⅰ級的優(yōu)良等級；小誤差概率指標上，每個測點的的擬合精度保證了100%。擬合效果的檢驗說明優(yōu)化后模型具備良好擬合精度，對后續(xù)用于沉降預測是可行、有保證的。

分析表2中后4期的實測數(shù)據(jù)預測計算結果表明，優(yōu)化的NMGM(1，3)模型在對第9至11期預測的相對誤差均較小，最大誤差僅為B點第11期的7.62%，可以滿足工程預測精度要求。受預測周期的影響，對第12期的預測相對誤差增大，最大為15.38%，均未超過20%，基本可以接受。其中，三個測點對后4期預測的相對誤差平均值分別最大為6.54%（測點B），其余均未超5%。需要注意的是，實際上，本文1～8期的累計沉降觀測時間為51天，而后4期的沉降預測周期共計88天，這也充分體現(xiàn)出灰色系統(tǒng)“小樣本”“貧信息”的預測特點，在短期預測精度和效果上，完全能夠滿足工程實際應用需求，預測精度比較理想。

綜合上述計算及分析，通過基于灰導數(shù)優(yōu)化的同步背景值優(yōu)化方法建立的優(yōu)化的NMGM(1，n)模型，實際上是對原始序列及累加后的序列進行了一次平滑擬合，使得實測散點數(shù)據(jù)序列更加符合指數(shù)函數(shù)的特征，降低了異常數(shù)據(jù)變化值或人為誤差的影響。優(yōu)化后的NMGM(1，n)能夠較好地體現(xiàn)各沉降監(jiān)測點間系統(tǒng)關聯(lián)性，符合沉降監(jiān)測系統(tǒng)的變形協(xié)調實際工況，能夠比較真實地反映出沉降監(jiān)測系統(tǒng)變形發(fā)展的總體趨勢，具有良好的擬合預測效果。

5 結論

①本文通過灰導數(shù)和背景值同步優(yōu)化的方法，從初始形式灰微分方程出發(fā)，建立了優(yōu)化的NMGM(1，n)模型。

②通過工程實例說明，所建立的優(yōu)化的NMGM(1，n)模型能夠較好地體現(xiàn)各沉降監(jiān)測點間系統(tǒng)關聯(lián)性，具有良好的擬合預測效果，能夠滿足工程實際應用需求。