數學競賽中組合幾何問題的常見解法

馮加輝

摘要：數學競賽旨在激發學生對于數學的學習興趣，使學生在參與競賽的過程中體會數學的魅力，從而愛上數學的學習。同時，數學競賽對于提升學生的綜合能力，培養學生思維的靈活性，提升學生獨立解決問題的能力和激發學生的創新精神也具有重要作用。而組合幾何作為數學競賽中的常見題型，掌握它的解題方法才能在數學競賽中取得一定的優勢。本文重點舉例說明了構建模型法、數學歸納法、化整為零以及通過找共同點建立關系的解題方法。

關鍵詞：數學競賽;幾何組合;常見解法

1.構建模型法

構造模型法是指通過將問題轉化為某種題型模式，從而得到解決問題的辦法，關鍵在于構建模型和應用模型。教師在教學的過程中要注意培養學生自己構建模型的能力，使學生不僅能夠模仿老師構建的模型，還能夠模仿老師分析出模型而自行構建模型，從而提升學生的創造力。

例1 某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值是多少？

分析：想象投影方式，將問題歸結為具體的空間幾何體中解決。

解析：結合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算，如圖，設長方體的長寬高分別為m，n，k，由題意得，

因此a+b≤4，且僅當a=b=2時取等號。

本題考查的是三視圖的難點，通過用移動三個試圖把問題歸結為長方體的一條體對角線在三個面上的射影，使問題得到了圓滿的解決。

2.化整為零，各個擊破綜合問題

數學競賽中有些題型對學生的思維能力要求較高，面對一些綜合性較強的問題，需要學生能夠明確自己的解題目標，不被表面的復雜現象所迷惑，冷靜思考，仔細分析關鍵點，分步處理，化繁為簡。

例2?設凸四邊形ABCD的面積為1，求證：在它的邊上（包括頂點）或內部可以找出四個點，使得以其中任意三點為頂點所構成的四個三角形的面積大于。

解析：此問題可以分解為三種情況分別進行求證：

這道題以幾何熟知內容為載體，構思巧妙，綜合考查幾何、不等式等基礎知識，深入考察同學們的數學思維能力。

3.結語：

本文只重點講解了這幾種解題方法，還有很多方法需要教師和學生在親自實踐的過程中不斷地進行總結和探索。組合幾何雖然變化莫測，但是我們要以不變應萬變，只要我們明確解題目標，冷靜思考，充分發揮我們的想象力，靈活運用數學知識，一定能夠找到解決的辦法。

參考文獻

[1]袁天舒. 立體幾何問題解法研究[D].哈爾濱師范大學，2020.

[2]程振峰，李寶毅.數學競賽中組合幾何問題的常見解法[J].中等數學，2020（05）：2-8.