函數極限求值的教學方法探究

慕 嘉 董積發

西北民族大學數學與計算機科學學院 甘肅 蘭州 730000

引言

極限思想已有非常悠久的歷史,例如,我國著名數學家劉徽的割圓術就利用了極限思想。由于極限的重要性,一直以來都備受學者的關注[1－6]。本文在這些基礎上,繼續系統總結計算函數極限的十種主要方法。這些方法的多樣性及靈活性容易導致學生不會求極限或張冠李戴地使用錯誤。因此本文分析及總結各種方法的使用范圍和注意事項,并且在分析歸納中給出說明和易錯點總結。

1 函數極限求值的十二種教學方法

2．1 利用函數極限的定義求極限的教學方法 函數極限的ε－δ定義[1]是比較經典的函數極限定義方式,相比其他的定義形式,這種方法量化的尺度更為精確,直接刻畫了函數與其極限之間的逼近程度。

在這種方法的使用方面,要給學生強調主要用于證明函數的極限。并且在證明過程中,首先要讓函數和極限值之間的距離小于任給的正數ε,然后根據自變量的變化趨勢求出相應的δ或M等關鍵參數值。

2．2 利用夾逼原理求極限的教學方法 需要給學生說明這種方法適合于最初只能估計范圍,而不能直接用函數極限運算法則來計算的題目。而且在使用這種方法時,需要一定的經驗,保證放大或縮小得適當,而不能出現放大和縮小的式子極限不存在、不容易計算或不相等而無法使用本方法的情況。

2．3 利用兩個重要極限求極限的教學方法 關于這個方法,需要給學生強調適合于能轉化為兩個重要極限的題型。關于第一個重要極限,需要注意x的位置可替換為其他形式的變量,但變化趨勢一定是趨于0;關于第二個重要極限的位置也可替換為其他形式的變量,但變化趨勢一定是趨于無窮。這些方法看似簡單,學生卻非常容易只看函數形式不管自變量變化趨勢而使用錯誤,所以需要強化訓練以熟練正確地運用。

2．4 利用變量替換求極限的教學方法 為了將極限式中未知的函數極限變量刪繁化簡,或者將所求極限轉化為已知的函數極限,有時可以使用變量替換方法。但給學生要強調的是利用變量替換后必須由難化易,否則沒有意義。

2．5 利用等價無窮小代換求極限的教學方法 等價無窮小代換求極限是極限計算題中常用又比較特殊的方式。在計算極限時,首先第一步都應該判斷下可否用這個方法將原題簡化。因為它不是一類可以完全解決問題的方法,它的作用是“化簡”。因此利用等價無限小代換常常與其它求極限的方式搭配使用。但熟悉地掌握運用等價無窮小進行化簡求極限是必備的技能,為此首先要求學生熟記常用的等價無窮小,另外要正確使用:無窮小作為乘除形式出現時才可替換,以加減形式出現時不能替換,以免使用不當引起錯誤。

2．6 利用連續定義求極限的教學方法 這里需要給學生強調,這種方法適用于函數在自變量的極限點處連續的情形,如果是無窮,則指的是自變量在變化過程中連續。有些很復雜的函數利用別的極限求值方法會非常麻煩,但如果滿足本方法的要求,則處理起來會簡單很多。

2．7 利用導數定義求極限的教學方法 這種方法適合于可轉化為一點處函數值增量與自變量增量之比的極限值的有限次四則運算或復合運算的題型,增量的形式并不拘泥于課本中導數定義中的形式,只要大小相當就可以。所以深刻理解導數定義,并能靈活地應用是該方法的關鍵。

2．8 利用洛必達法則求極限的教學方法 這種方法可適用于及∞－∞、0．∞、00、1∞、∞0型等可以轉化為前兩種情形的題型。在考慮利用洛必達法之前先要檢測下題目是否可用等價無窮小代換或其他方法的方法來簡化,并且如果分子導數與分母導數之比的極限不存在,這時不能得出原式極限不存在的結論,而應該使用其他方法解決。

2．9 利用麥克勞林公式求極限的教學方法 在求函數極限的問題中,洛必達法則是比較有效的一種方法,但當式子很繁雜的時候,使用洛必達法則可能會直接導致計算量增大,這時可以直接利用第一麥克勞林展開式加以解決。另外需要在計算無窮小過程中特別注意對高階無窮小的函數進行運算和處理[7]。

2．10 利用含參變量積分求極限的教學方法 這里的方法主要有:可以運用含參變量積分的連續性計算積分的極限,或者利用夾逼原理計算積分的極限,或者利用含參變量積分的中值定理求積分的極限,或者利用洛必達積分法則求積分的極限,或者利用歐拉積分定律求極限,或者利用極限的定義求極限等。

在此以利用含參變量積分的連續性定理求極限來說明其應用技巧。如果被積函數連續,那么可以通過使用含參變量積分的函數連續性定律求得函數的極限。如果被積的函數不連續,但是極限仍然存在,則我們可以通過補充或者連續改變被積函數的極限值使得被積的函數連續后,最后再使用含參變量積分的連續性定理計算函數極限的值。在求含參變量的積分過程當中,已學的各種含參變量方法原則上都可以適用,但不同的地方就是這里我們需要充分運用含參變量積分的各種基本性質及變量積分定理來靈活處理題目。