基于LQR的飛機縱向控制律設計

牛文韜，高 永，黃清順

（海軍航空大學，山東煙臺264000）

飛機控制系統設計主要包括2 種方法：經典控制理論方法和現代控制理論方法。其中，經典控制理論研究方法以頻域法和根軌跡法為代表，本質上是借助于大量直觀經驗，按照閉環回路控制原理，依次選擇控制系統的結構參數；同時，對于飛機的非線性和參數變化問題，采用線性化處理和調參處理等方法加以解決；最后，通過不斷地仿真和模擬試驗優化，得到一個良好的控制系統。但是，對于具有更多回路或者多輸入、多輸出的飛行控制系統以及現代戰斗機的高度非線性等問題，經典控制理論已不能滿足實際需求。而現代控制理論可以得到系統的狀態變量模型，相比傳遞函數模型，它包含了更多的系統信息。因此，可以得到更為優異的控制性能；同時，該模型可以使多個控制回路同時閉合，并自動地協調各回路性能，在飛行控制系統的設計中占據越來越重要的地位[1-2]。

20世紀50年代以來，以線性二次型調節器為核心的最優控制設計方法，已經成為一種應用較廣、較成熟的飛行控制系統設計方法。20世紀70年代，美國成功運用顯模型跟蹤最優二次型法設計了F-8C 主動控制驗證機的控制律；80 年代，美國設計了隱模型跟蹤最優二次型與經典法相結合的控制律，并應用于X-29上；X-31飛機的大迎角機動控制律也采用了最優二次型法。這種方法的控制對象是線性系統的狀態空間函數，并以狀態和控制輸入的二次型函數為優化目標，目的是設計合適的狀態反饋增益矩陣K ，使目標函數取得最小值。K 值由加權陣Q 和R 決定，所以Q和R 的選擇是求解問題的關鍵。

利用LQR 理論設計的控制律是反饋狀態變量的線性函數，可以實現閉環最優控制。由于方法簡單且便于實現，還可以利用Matlab 等軟件進行仿真計算，在工程實踐中已得到大量運用[3-7]。應用最優二次型法設計控制律，一般按照如下的程序進行：

1）簡化非線性系統模型，設計飛機響應的開環構型；

2）根據簡化模型設計控制律；

3）加入被忽略的高頻動態環節和非線性特性等，修正系統特性；

4）對設計的飛行控制系統進行飛行品質的仿真實驗，進一步完善系統。

本文以某型固定翼飛機的縱向小擾動模型為基礎，以C*響應準則為目標，利用顯模型跟蹤最優二次型法對飛機的縱向控制律進行設計，并進行了仿真驗證。在此基礎上，利用低階等效系統方法對飛行品質進行了評價。

1 飛機縱向動力學模型建立

為得到飛機的操縱性及動態響應，須建立飛機飛行動力學模型，并進行小擾動線性化處理，得到機體坐標系下的縱向小擾動運動方程如下[8]：

飛機縱向運動包含長周期和短周期2個模態。其中，短周期模態速度的變化可以忽略，主要體現在迎角和俯仰角速度的快速變化，短時間對飛行員的操縱提出了很高的要求；而長周期模態變化周期長，飛行員常在無意識情況下就修正了飛機姿態，所以本文只考慮飛機的短周期模態。

假設在縱向的操縱運動中，油門桿的位置δp和飛機飛行高度H 始終保持不變，得到飛機的短周期方程為：

本文所設計的控制律為實現常規飛機響應，選用過載和俯仰角速率的組合反饋。法向過載與迎角的關系為：

由實際的飛行經驗可知：飛機在低速飛行過程中，法向過載的變化可忽略，飛行員更多地感受到俯仰角運動的變化，并通過俯仰角速率響應來操控飛機；當飛機高速飛行時，法向過載的變化過大，飛行員通過過載響應操控飛機。由此提出2種狀態的混合響應來進行飛行品質的評價，即C*響應[9]，定義為：

式（5）中：vco為交叉速度，此時飛行員對二者的感覺相同，其值一般為120～132 m/s。飛行員不在飛機質心，因而要考慮角加速度形成的過載，故：

式（6）中：l 即為飛行員到質心的距離。

由此可得到C*的狀態空間表達式：

對式（4）、（7）進行拉普拉斯變換，并假定初始條件為0，則有：

可得C*傳遞函數：

圖1為C*開環響應結構。

圖1 C*開環響應結構Fig.1 Structure of open-loop response of C*

依據圖1可得，C*對操縱桿的傳遞函數為：

當輸入為1 g 時，C*的開環階躍響應如圖2所示。

圖2 C*開環階躍響應Fig.2 Open-loop step response of C*

圖3為桿力輸入為1 g 時，C*響應準則。

圖3 C*響應準則Fig.3 Response criterion of C*

根據圖3 所示的響應準則，對圖2 的C*響應進行評價，結果如圖4所示。

圖4 開環C*響應評價Fig.4 Evaluation of open-loop C*response

由圖4可知，飛機的開環C*響應不在理想C*值的包線范圍內，飛行品質不符合要求，下面對飛機進行閉環控制律設計，以改善飛機的飛行品質。

2 LQR最優控制器理論

最優二次型設計包括輸出反饋的最優二次型、顯模型跟蹤最優二次型和隱模型跟蹤最優二次型等。本文采用顯模型跟蹤最優二次型法對飛機的縱向控制律進行設計。模型跟蹤最優控制是指對被控對象，選擇合適的控制作用，使閉環系統的輸出能夠跟蹤給定的理想模型，同時使代價函數最小，數學模型如下[10-12]：

設系統的狀態方程為：

響應向量方程為：

式（12）、（13）中：x ∈?n為狀態向量；u ∈?m為輸入向量；η ∈?q為隨機白噪聲過程向量；r ∈?R為輸出向量；A、B、C、D 為系統矩陣；F 為隨機擾動矩陣。

最優二次型指標函數為：

式（14）中：Q1=CTQC ；Q2=CTQD ；Q3=DTQD ，且加權陣Q 為正定或半正定矩陣。

最優控制可表述為，選取

使得最優二次型指標函數J 最小。其中最優控制增益K ：

式（16）中，P 為下述代數黎卡堤方程的解：

3 控制律設計

在控制律設計過程中，考慮了飛機高頻環節對響應的影響，包括舵回路的高頻動態特性和舵偏角限制的非線性特性，角速率陀螺、桿力傳感器自身的動態特性，在系統特定位置的結構陷波器動態特性。此外，數字式電傳操作系統的延時特性也應該考慮[13-15]。

設計飛機的縱向控制結構如圖5所示。為實現C*響應的顯模型跟蹤，按飛行品質要求，設計了理想C*響應模型。通常C*響應模型可由一個2階環節表示：

本文取ωnm=7.9 rad/s，ζm=0.9。其值滿足MILF-8785C的一級飛行品質要求。

圖5 飛機閉環控制Fig.5 Closed-loop control of aircraft

最優控制律采用全狀態反饋，含8 個狀態，從圖5可以得到系統的各個狀態變量之間的關系：

把上述各變量代入系統的狀態方程，可得：

系統響應分別取C*響應與理想模型的跟蹤誤差、誤差積分、升降舵面偏轉及控制輸入4個變量：

r2誤差積分：x6；

r3舵面偏轉：x7；

r4控制作用：u(t)。

由式（12）可得：

加權陣Q 的選擇并沒有規律可以遵循，而且不唯一，由于Q 矩陣對飛行品質的影響目前仍不明確，故通常的做法仍是不斷地對矩陣中的元素進行分析、試湊來確定。一般取Q 矩陣為對角陣，某個元素增大即增大對該響應分量的加權。在經過仿真計算得出反饋增益K 后，還要進行飛行品質的評價，以確定所選Q 陣是否滿足要求[16-19]。此處選?。?/p>

給系統施加階躍激勵，利用Simulink 進行最優控制仿真的仿真框圖如圖6所示。

圖6 仿真框圖Fig.6 Diagram of simulation

并根據圖3對C*響應的飛行品質進行評價，仿真和評價結果如圖7所示：

圖7 閉環C*響應評價Fig.7 Evaluation of closed-loop C* response

同時選取系統8 個狀態量中的4 個狀態量，仿真結果如圖8～11所示。

由圖8～11 可知：實際C*響應與理想C*響應基本重合，C*誤差最大值為0.08，并且在3 s 左右達到穩定。最大舵偏角為0.01 rad 左右，遠小于非線性限制，符合最優控制律的設計要求。

圖8 實際C*與理想C*響應Fig.8 Actual C* response and ideal C*response

圖9 C*誤差響應Fig.9 C* error response

圖10 俯仰角速度響應 Fig.10 Pitch rate response

圖11 升降舵偏角Fig.11 Elevator deflection angle

4 飛行品質驗證

在C*響應評價的基礎上，進一步對飛機的飛行品質進行驗證。針對第3節加入高頻環節的飛機控制系統，本節利用低階等效系統方法對飛機的飛行品質進行評價。高階飛機的低階等效系統是指2個系統在相同的初始條件和外界輸入下，在一定時域或頻域內，二者的輸出差值在給定的指標函數下最小。該等效系統可用頻域或時域擬合的方法求得，具體的頻域等效原理如式（20）所示：

尋求GLOES( )jω 中的參數，使下述指標函數最?。?/p>

本文對法向過載和俯仰角速率進行雙擬配。為得到飛機的頻率響應，在式（20）的基礎上，給出飛機俯仰軸上的法向過載與俯仰角速率的等效傳遞函數：

式（21）、（22）中：Fe為桿力輸入；kq、knz為增益，τq、τn分別為q、nz的等效延遲時間；Tq為時間常數。

根據式（20）～（22）即可求得低階等效系統中的各參數。具體的擬配條件為：

擬配時飛機的飛行狀態為：高度5 km ，速度1.0 Ma；

飛機的飛行階段則選?。篊 階段，即場域飛行階段；

擬配結果見表1所示。

表1 等效擬配結果Tab.1 Equivalent fitting result

根據GJB 185-86有人駕駛飛機飛行品質要求，給出了短周期運動的阻尼系數等級評判標準和巡航階段CAP標準，見表2以及圖12。由表2可知，該飛機短周期運動的阻尼系數基本達到一級飛行品質的要求；同時對于俯仰角速度和過載的等效延遲時間也基本滿足一級飛行品質要求。由圖12 巡航階段CAP 標準[20]可知，該飛機在巡航階段的操縱期望參數滿足一級飛行品質要求，即能夠順利地完成各項任務。

表2 短周期阻尼系數等級標準Tab.2 Short period damping coefficient grade standard

圖12 CAP評價準則Fig.12 Evaluation criteria of CAP

5 結論

針對飛機的縱向短周期響應不滿足飛行品質要求的問題，利用最優二次型法設計飛機的控制律，對飛機的縱向響應進行反饋調節，設計了飛機的閉環控制響應仿真模型。仿真結果表明：所設計的控制律能夠有效改善飛機的飛行品質，且結構簡單，具有良好的適用性。由于飛機控制系統是一個高階增穩系統，所以，利用低階等效系統法對該系統進行擬配，擬配結果表明：飛機的阻尼比、操縱期望參數能達到一級品質要求，即能夠順利地完成各項任務。