小樣本條件下多應力加速壽命試驗預測方法

林 云，秦 偉，朱云超

（1.海軍航空大學，山東煙臺264001；2.91321部隊，浙江義烏322000；3.92853部隊，遼寧興城125100）

對于導彈中的電子設備，考察其實際服役環境下真實老化過程通常需要花費很長時間。同時，儲存地點轉換、戰備值班路徑的變更等情況經常導致環境因素的變化。為提前暴露設備的薄弱環節，現今通常采取加速試驗技術開展壽命預測評估。對于儲存壽命評估工作，最重要的就是在設計與實際服役環境相等效的加速試驗方法獲得試驗數據的基礎上，建立合適的綜合加速模型?？梢哉f，加速模型是正確反映壽命與多應力間物理化學關系的關鍵。

國外在19世紀80年代就已經對單應力加速模型展開了研究，范特霍夫（Van’t Hoff）于1884 年建立了反映溫度與化學反應速率之間關系的范特霍夫模型；阿倫紐斯（Svandte Arrhenius）于1887年得出了關于描述溫度應力的阿倫紐斯模型。進入20 世紀后，艾林（Eyring）首先將量子力學、統計力學理論應用于化學，于1935 年得到了描述化學反應速率的艾林模型。此外，還有常用于研究電應力的逆冪律模型（Inverse Power Model）、指數模型（Exponential Model）等[1]。而實際上，設備的工作環境是多種多樣且不斷變化的，所導致的環境應力也是多變的，諸多環境應力共同作用引起產品的老化，如電應力、溫度應力、濕度應力、振動應力等。因此，在加速試驗設計中引入綜合應力的概念，建立多應力加速模型，可以提高試驗效率、縮短試驗周期、節約試驗費用、更真實地符合客觀環境條件。很多學者也對多應力條件下加速模型進行了研究：Donald B.Barker 等[2]提出了一種描述溫度和振動應力的復合加速模型，并以印刷電路板為實例，對其壽命進行了分析；陳文華[3]在研究航天電連接器的加速壽命過程中，為兼顧溫度應力與振動應力，應用廣義艾林模型提出了一種加速模型；M.B.Srinivas等[4]基于斷裂力學疲勞定律提出了一種描述溫度應力、機械振動應力和電應力的加速模型；張國龍等[5]建立了溫度應力、濕度應力、電應力的混合加速模型，并對某型雷達電路壽命進行了估計。

鑒于導彈裝備價格昂貴、可用于試驗的樣本量少，在開展加速試驗以及壽命預測的實際工作中通常為小樣本的背景。本文重點探究以下3種多應力加速模型在小樣本條件下的適用問題：通用對數線性模型是常用的基于傳統理化加速模型的多應力加速模型，王華等[6]利用通用對數線性模型對航天電連接器在溫度、振動應力綜合作用下的壽命進行預測，并取得了較好效果；在文獻[7]的啟發下，利用BP神經網絡進行可靠性預測，對于該模型收斂速度慢、全局搜索性能差的問題，利用天牛須搜索（BAS）優化BP 神經網絡閾值與初始權值。通過以上措施，提高算法的收斂速度，增強全局搜索能力，建立BAS-BP神經網絡預測模型；對于貧信息、小樣本特點，嘗試將灰色理論與支持向量機結合，建立灰色–支持向量回歸預測模型。對以上3 種模型進行深入研究，并在小樣本條件下對分別得到的預測效果進行綜合對比。

1 多應力加速試驗數據說明

考慮到保密要求與成本限制，引用查國清等[8]文獻中的各智能電表在多種不同應力水平作用下的試驗數據進行分析，該實例與導彈電子設備特性相近，實驗數據類似。試驗中，5個應力水平見表1所示。

表1 智能電表多應力加速壽命試驗中應力施加情況Tab.1 Stress application in multi-stressaccelerated life test of smart meter

這里，偽失效數據可以作為完全壽命數據進行分析。按時間順序對各應力條件下的試驗失效時間數據進行排列，并計算其在各個應力條件下對應的可靠度。本文主要采用經驗分布函數方法進行計算。

式（1）中：R( t )為可靠度函數；n( t )為t 時刻故障的試驗樣本個數；N 為試驗樣本數量。

根據式（1）可計算得到不同應力水平下智能電表失效時間與可靠度對應關系。以加速試驗中S1應力水平下智能電表可靠度與失效時間對應情況為例，可靠度與失效時間對應情況見表2。

表2 S1 應力水平下智能電表可靠度與失效時間對應情況Tab.2 Corresponding situation of reliability and failure time of smart meter under S1 stress level

根據表2，可得試驗中S1～S5應力水平下對應的智能電表可靠度R(t)與失效時間t 直線散點圖，見圖1。

圖1 S1～S5 應力水平對應下R(t)、t 的直線散點圖Fig.1 Scatter diagram of R(t) and t under S1～S5 stress level

選取S1、S2、S3、S4應力水平作用下的數據作為后續BAS-BP 神經網絡、灰色–支持向量回歸模型的訓練集，對S5應力水平下的壽命開展預測。而通用對數線性模型也將根據S1、S2、S3、S4應力水平作用下的數據開展外推預測S5應力水平下的壽命。將3 類模型的預測效果與S5應力水平下的實際壽命進行驗證比較。

2 模型的建立

2.1 基于通用對數線性模型的預測模型建立

1）確定試驗數據分布規律。利用K-S檢驗[9]確定多應力加速試驗數據的分布規律。

2）對分布規律的參數進行估計。綜合分析多應力加速試驗數據，采用極大似然估計法，獲得相應參數值[10]。

3）通用對數線性模型的建立和未知參數估計。建立通用對數線性模型，結合估計得到的分布規律參數，求解出模型未知參數值，從而得到壽命特征與多應力之間的對應關系。

4）壽命的外推預測。根據待推應力條件，由上一步驟中得到的壽命特征與多應力之間的對應關系確定分布規律參數，從而得到待推應力條件下，產品的壽命分布，實現預測的目的。

2.2 BAS-BP神經網絡預測模型的建立

1）確定BP 神經網絡結構。參考經驗公式，采用窮舉法，計算隱含層在各取值下的模型在指定訓練次數情況下的輸出誤差，取誤差最小時對應的取值為隱含層數量，從而確定BP神經網絡結構[11]。

2）利用BAS 算法[12]確定BP 神經網絡的初始權值、閾值。普通BP算法初始權值、閾值是采取隨機初始化方式取得。迭代過程中，采用梯度下降方式動態調整權值和閾值，存在著一定的缺陷。利用BAS算法對網絡初始權值、閾值進行優化，之后再進行學習。以上舉措將大幅提高算法性能，使得網絡進行全局搜索。

3）建立BP 神經網絡模型并進行學習。以溫度、濕度、電流及可靠度為輸入，失效時間為輸出，對神經網絡模型開展學習，從而通過學習得到預測模型。

4）BAS-BP神經網絡模型的預測。采用測試集中應力水平并以可靠度為輸入向量，利用訓練后的預測模型輸出失效時間，從而開展預測。

2.3 灰色–支持向量回歸預測模型的建立

1）失效時間及可靠度的級比檢驗及累加生成。對各應力水平下的產品失效時間序列t 和可靠度序列R 進行級比檢驗。若不滿足條件，則進行方根處理，直至滿足級比檢驗；而后，進行灰色累加生成[13]得到t′、R′。

2）將處理后的試驗數據隨機分為訓練集、測試集。

3）建立支持向量回歸模型并進行訓練[14]。對訓練集各組應力水平及t′、R′分別進行歸一化處理后，以各應力水平和R′為輸入向量，t′為輸出向量。在Matlab2016平臺下采用Labsvm軟件包中svmtrain函數進行學習，將徑向基核函數作為核函數類型，從而通過學習得到預測模型。

4）支持向量回歸模型的預測。采用測試集中應力水平及R′為輸入向量，利用訓練后的預測模型采用Labsvm軟件包中svmpredict函數進行預測，對預測所得失效時間進行逆歸一化和逆累加生成操，作從而得到還原后的失效時間t。

3 模型的預測與驗證

3.1 建立預測模型評價指標

為驗證模型的預測結果，以相對誤差Re、平均相對誤差Are、擬合優度Cod 等參數作為預測模型的評價指標[15]。平均相對誤差越小，說明模型的計算精度越高，擬合優度的值域為[0，1]，其計算值越接近1，說明模型計算結果越準確，其公式如下：

3.2 各應力樣本容量為56組時的預測及比較

選取S1、S2、S3、S4應力水平作用下的所有數據確定為模型的訓練集。將S5應力水平下數據設定為測試集，分別利用BAS-BP模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數線性模型進行訓練、預測，預測情況及相對誤差見圖2。

3.3 各應力樣本容量為20組時的預測及比較

小樣本是統計學中樣本的一種，通常是指樣本容量小于或等于30 的樣本。按照可靠度分布均勻選取S1、S2、S3、S4應力水平下試驗數據20 組，分別利用BAS-BP模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數線性模型進行訓練、預測，并根據預測模型對S5應力水平下失效時間開展預測，預測情況及相對誤差見圖3。

3.4 各應力樣本容量為10組時的預測及比較

按照可靠度分布均勻選取S1、S2、S3、S4應力水平下試驗數據10 組，分別利用BAS-BP 模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數線性模型進行訓練、預測，并根據預測模型對S5應力水平下失效時間開展預測，預測情況及相對誤差見圖4。

3.5 各應力樣本容量為5組時的預測及比較

按照可靠度分布，均勻選取S1、S2、S3、S4應力水平下試驗數據5組。此時，樣本總容量為20，已在小樣本情況下。分別利用BAS-BP 模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數線性模型進行訓練、預測，并根據預測模型對S5應力水平下失效時間開展預測，預測情況及相對誤差見圖5。

圖2 樣本容量為56組時3種模型在各應力水平下的預測情況及相對誤差Fig.2 Forecasts and relative errors of the three models with a sample size of 56 groups under different stress levels

圖3 樣本容量為20組時3種模型在各應力水平下的預測情況及相對誤差Fig.3 Forecasts and relative errors of the three models with a sample size of 20 groups under different stress levels

圖4 樣本容量為10組時3種模型在各應力水平下的預測情況及相對誤差Fig.4 Forecasts and relative errors of the three models with a sample size of 10 groups under different stress levels

圖5 樣本容量為5組時3種模型在各應力水平下的預測情況及相對誤差Fig.5 Forecasts and relative errors of the three models with a sample size of 5 groups under different stress levels

匯總3 種模型在各應力條件下樣本容量分別為56、20、10、5 組時預測效果，以平均相對誤差、擬合優度為評價指標，具體見表3所示。

表3 各應力水平下樣本容量為56、20、10、5組時3種模型的預測效果對比Tab.3 Comparison of prediction effect of three models with sample sizes of 56，20，10 and 5 groups under different stress levels

由圖2～5 及表3 可見，各應力水平下樣本量為56組時，BAS-BP 模型的預測精度最高。反映出在樣本量充足的情況下，神經網絡模型的回歸預測效果較高。隨著樣本量的逐漸減少，灰色–支持向量回歸模型適合處理小樣本、貧信息的優勢逐漸顯現。在各應力水平下，樣本量為10組、5組的情況下，平均相對誤差仍在10%以內，具備工程應用價值?；谕ㄓ脤€性模型的多應力加速模型的預測精度在樣本量不同時均不占優勢。其原因在于建立模型時忽略應力間耦合作用影響的自身缺陷，以及隨著樣本量的減少，根據極大似然估計對于Weibull 分布參數估計的精度也在降低，綜合導致了預測精度的逐步降低。針對BAS-BP 神經網絡模型和灰色–支持向量回歸模型2種基于機器學習的非參數模型的應用時機與場合，在試驗或觀測樣本數據充足情況下，應考慮適用BASBP 模型，而小樣本情況下，應考慮適用灰色–支持向量回歸模型。

4 結束語

通過分別建立BAS-BP 模型、灰色–支持向量回歸模型、通用對數線性模型，分析了3種模型在樣本容量逐漸減少情況下的預測效果。對比驗證了灰色–支持向量回歸模型在小樣本情況下開展預測的獨特優勢，分析了各模型的適用場合和時機。雖探索了小樣本情況下各模型的預測效果，但仍存在不足：①灰色–支持向量回歸模型在小樣本情況下可實現較高精度的預測，但無法像傳統理化模型一樣對于失效過程、失效機理等進行刻畫描述，且對于訓練完成后學習結果通常無顯示表達式，屬于一種類似“黑箱”的模型。②導彈類裝備加速試驗數據通常屬于小樣本的情況，但對于一些入役多年的裝備型號通常有大量的PHM監測數據，如何充分發揮日常監測數據的作用來輔助加速試驗開展壽命預測，這仍須要進一步研究。