階估計(jì)法在判斷瑕積分審斂法中的應(yīng)用

張祖敘，孫榮璞，尹凱倩

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

通過(guò)對(duì)微積分的學(xué)習(xí)，可以利用比較原則、柯西判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法等[1]來(lái)判斷瑕積分的斂散性。從判別法的不同角度對(duì)階估計(jì)法進(jìn)行研究，得到審斂性的定理。已有研究者對(duì)判別法進(jìn)行過(guò)細(xì)致而全面的研究，如齊紫微[2]等學(xué)者給出的基于階估計(jì)法的無(wú)窮廣義積分審斂性定理。我們通過(guò)階估計(jì)法推導(dǎo)了判斷瑕積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法，并通過(guò)比較判別法進(jìn)行證明并附以實(shí)例，驗(yàn)證了審斂法的有效性和實(shí)用性。

1 基于階估計(jì)法的瑕積分審斂性判別法

定理1.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(a,b]上的非負(fù)可積函數(shù)，且滿足：

易見(jiàn)瑕積分收斂，由比較判別法，瑕積分同樣收斂。

②當(dāng)p≥1時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：

小結(jié)：在微積分學(xué)中只討論了分式的奇點(diǎn)為0的判別法，而定理1給出了分式的起點(diǎn)不為0的一般情況。

定理2.設(shè)f(x),g(x)是定義在區(qū)間(a,b]上的非負(fù)函數(shù)，則：

證明：

小結(jié)：與定理1提出的思路相一致，根據(jù)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，對(duì)微積分學(xué)中的原有積分進(jìn)行了簡(jiǎn)單推廣。

定理3.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a,b)上的非負(fù)可積函數(shù)，則：

證明：

①0

②p≥1時(shí)：

結(jié)合①②兩點(diǎn)，得到了定理3的證明。

小結(jié)：定理3對(duì)應(yīng)于微積分學(xué)中廣義積分的階判別法，將廣義積分調(diào)整為積分區(qū)間為半閉半開(kāi)區(qū)間的瑕積分。

定理4.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(a,b)上的非負(fù)可積函數(shù)(a和b都是瑕點(diǎn))，且對(duì)于?p∈(0,1)及c∈(a,b)，滿足：

證明：

小結(jié)：與定理3相比較，發(fā)現(xiàn)積分區(qū)間兩端均為瑕點(diǎn)。在證明該定理的過(guò)程中，對(duì)給定的積分區(qū)間進(jìn)行分段，從而歸結(jié)為定理3的結(jié)果。

2 定理應(yīng)用

又因?yàn)閠anx～x(x→0),ex-1～x(x→0)，所以有：

解：

3 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)瑕積分階估計(jì)法，推廣了微積分學(xué)中分式奇點(diǎn)為0的一般情況，并提高了階估計(jì)法的適用范圍，通過(guò)實(shí)例的引入，驗(yàn)證了審斂法的有效性和實(shí)用性。