頻率估計的ANF誤差函數(shù)分析及在科氏流量計中的應(yīng)用

李 明，涂亞慶，萬 平，肖 瑋，陳 鵬

（陸軍勤務(wù)學(xué)院，重慶 401311）

0 引 言

自適應(yīng)陷波器（ANF）頻率估計方法在衛(wèi)星導(dǎo)航定位、工業(yè)控制與儀表、醫(yī)學(xué)工程等物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)中應(yīng)用廣泛[1-4]。相比基于FFT離散頻譜校正的傳統(tǒng)頻率估計方法[5-6]，ANF頻率估計方法計算過程更簡便，具備良好的抗噪性能，更為重要的是無頻譜泄漏。ANF通過采用自適應(yīng)方式調(diào)整濾波器參數(shù)，基于時域遞推估計方法對輸入信號的頻率進(jìn)行實時估計，這不僅適用于估計時不變的信號頻率，且對時變信號，即頻率時刻發(fā)生變化的信號也適用。此外，它還具備較好的估計性能，有效克服了傳統(tǒng)基于FFT頻率估計方法的局限性。ANF具備較多優(yōu)點，但在具體應(yīng)用過程中也存在一些缺點，如針對頻率靠近頻譜兩端的正弦信號，即信號頻率接近于0或π時，其頻率估計精度會出現(xiàn)一定下降，且收斂速度受參數(shù)影響較大，頻率估計易出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況[7]。

究其原因，主要是ANF自身所采用的誤差函數(shù)過于平緩，ANF根據(jù)誤差函數(shù)梯度值搜尋全局極值點較緩慢，從而導(dǎo)致ANF收斂速度慢、自身不穩(wěn)定的情況出現(xiàn)。為解決現(xiàn)有ANF頻率估計方法存在的收斂速度慢、精度低、穩(wěn)定性差等不足，文中通過分析多種誤差函數(shù)的性能，提出一種新的誤差函數(shù)。該函數(shù)改善了ANF在整個頻率范圍內(nèi)的迭代收斂曲面，提高了ANF頻率估計精度，加快了ANF收斂速度，提升了ANF穩(wěn)定性。同基于原誤差函數(shù)的ANF頻率估計方法進(jìn)行比較，驗證了本文所提方法的有效性。

1 誤差函數(shù)分析

正弦信號如式（1）所示：

式中：A為信號幅值；ω0為信號頻率；θ為信號相位，服從[0, 2π）的均勻分布；v0(k)是服從N(0,σ2)的加性高斯白噪聲；N為采樣信號長度。

ANF傳遞函數(shù)如式（2）所示：

式中：0＜ρ＜1，用以控制ANF的陷波寬度；ANF參數(shù)a=-2cosω，ω為陷波器頻率，在ANF頻率估計過程中ω→ω0。ANF的FIR和IIR結(jié)構(gòu)分別為N(z,a)和H(z,a)，e1(k)和e2(k)分別為x(k)通過N(z,a)和H(z,a)的信號，如式（3）所示：

ANF通過自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)a獲得正弦信號頻率值，使式（4）～式（6）的誤差函數(shù)最小化[8-10]：

式中，E[·]表示求取期望。實際計算時按式（5）所示計算：

由于輸入信號為正弦信號，故式（2）中N(z,a)和H(z,a)在輸入信號頻率z=ejω0處的幅值為：

相角為：

結(jié)合式（3）、式（6）、式（7），可得：

將式（6）～式（8）代入式（4），可得式（9），式（9）分別對a求導(dǎo)，可得式（10）。

由式（10）可獲得誤差函數(shù)導(dǎo)數(shù)的理論計算值。在實際計算中，可采用式（11）進(jìn)行計算：

由式（5）可得：

式中[10]：A=1，θ=π/6，ρ=0.95，N=200。按式（12）計算不同誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，如圖1所示，導(dǎo)數(shù)為0點處為最優(yōu)頻率估計解。

圖1 A=1，θ=π/6，ρ=0.95，N=200時，不同誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值

由圖1可知，當(dāng)信號頻率ω0=π/3時，文獻(xiàn)[8]所提誤差函數(shù)受噪聲影響較大，低信噪比條件下頻率估計值發(fā)生偏轉(zhuǎn)，但具備良好的梯度值，收斂速度可得到保證。當(dāng)信號頻率靠近頻譜兩端時，其誤差函數(shù)性能出現(xiàn)較大幅度下降。

文獻(xiàn)[9]所提誤差函數(shù)受噪聲影響較小，且靠近頻譜兩端信號，其函數(shù)性能未出現(xiàn)明顯變化，但其整體梯度值較小，導(dǎo)致算法收斂速度過慢。

文獻(xiàn)[10]所提誤差函數(shù)，當(dāng)頻率ω0=π/3時，其極值點不唯一，將限制其初始頻率的選擇。針對頻譜兩端信號，其導(dǎo)數(shù)為0點不存在，導(dǎo)致頻率估計精度下降，無法獲得滿意結(jié)果。

根據(jù)上述三種誤差函數(shù)的優(yōu)缺點，本文提出一種新誤差函數(shù)，使其在頻率范圍內(nèi)具備較好的梯度值，且受噪聲影響較小。針對頻譜兩端信號，其誤差函數(shù)能保持優(yōu)良性能。本文將ANF的FIR結(jié)構(gòu)和IIR結(jié)構(gòu)輸出信號的和的平方作為新誤差函數(shù)，如式（13）所示：

在實際計算中可按式（14）進(jìn)行計算：

其導(dǎo)函數(shù)為：

結(jié)合式（9）可知新誤差函數(shù)的理論計算值為：

保持參數(shù)不變，本文所提新誤差函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)如圖2所示。不論待估頻率為ω0=π/3還是ω0=π/20，誤差函數(shù)在導(dǎo)數(shù)值為0處獲得極值點，且極值點唯一。當(dāng)初始頻率值與最優(yōu)頻率解相距較遠(yuǎn)時，其誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值較大，當(dāng)誤差函數(shù)保持較大梯度值時，可加快其收斂速度。

圖2 參數(shù)保持不變，SNR=5 dB時誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值

2 應(yīng)用分析

2.1 計算分析

根據(jù)式（12）和式（15），不同誤差函數(shù)所得頻率估計方法如下所示：

為了獲得頻率估計收斂速度與精度的比較結(jié)果，信號及ANF參數(shù)設(shè)定為：A=1，θ=π/6，ρ=0.95，信噪比為5 dB。考慮到對稱性，故只針對頻率接近0時的信號，信號頻率ω0從π/20變?yōu)?0.7π，從 0.01π變?yōu)?0.2π，即a=-2cosω0從 -1.975 4變?yōu)?1.175 6，從 -1.999 0 變?yōu)?-1.618 0。步長μ=2×10-4，ANF參數(shù)a初值設(shè)為0。頻率變化條件下不同方法的頻率估計結(jié)果如圖3所示。

圖3 頻率變化條件下不同方法的頻率估計結(jié)果

由圖3可知，文獻(xiàn)[8]誤差函數(shù)由于受噪聲影響較大，其方法在低信噪比條件下喪失了頻率估計能力；文獻(xiàn)[9]誤差函數(shù)由于梯度值過于平緩，導(dǎo)致收斂速度過慢，無法及時得出令人滿意的頻率估計結(jié)果；文獻(xiàn)[10]誤差函數(shù)雖具備較為適中的收斂速度和精度，但當(dāng)信號頻率發(fā)生變化時，其頻率估計精度存在一定的不穩(wěn)定性。本文所提新誤差函數(shù)具備良好的梯度，且自身性能滿足不同條件下的頻率估計要求，可得出較好的收斂速度和頻率估計精度。

2.2 實驗分析

為驗證所提新誤差函數(shù)的性能，本文針對項目組自行研制的科里奧利質(zhì)量流量計（Coriolis Mass Flowmeter，CMF）實驗平臺頻率估計問題進(jìn)行實驗分析。該CMF型號為進(jìn)口羅斯蒙特CMF-FS200型。科氏流量計實驗平臺如圖4所示。實驗分析中流量計示值為0～105.2 kg/min，CMF頻率值約為 198 Hz，采樣頻率為 20 000 Hz，即ω0=0.062 2，a0=-1.996 1，參數(shù)設(shè)置μ=2×10-4，ρ=0.95，a(0)=0。流量處于0～105.2 kg/min范圍時，不同方法的頻率估計結(jié)果如圖5所示。

圖4 科氏流量計實驗平臺

圖5 流量處于0～105.2 kg/min范圍時，不同方法的頻率估計結(jié)果

由圖5可知，本文所提新誤差函數(shù)頻率估計方法的性能同實驗分析結(jié)果基本一致，具備收斂速度快、頻率估計精度高、穩(wěn)定性好等特點。

3 結(jié) 語

本文在分析不同誤差函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)性能的基礎(chǔ)上，提出的新誤差函數(shù)具備良好的梯度值，可有效提升基于該新誤差函數(shù)ANF頻率估計方法的收斂性能及頻率估計精度。實驗分析表明，該新誤差函數(shù)適用范圍較廣，可滿足頻率變化要求，尤其針對頻譜接近0或π條件下的頻率估計問題，可有效增強ANF頻率估計方法的穩(wěn)定性，應(yīng)用前景較好。