預測頁巖氣井產量和可采儲量泛指數遞減模型的建立及應用

陳元千，徐佳倩，2，傅禮兵

（1.中國石油勘探開發研究院，北京 100083；2.中國石油大學（北京）石油工程學院，北京 102249）

非常規頁巖氣藏由超致密的基質和次生裂縫組成。頁巖氣分別以吸附狀態和自由狀態儲存于這兩種介質中。頁巖氣的產量及其遞減的快慢除與基質的吸附氣含量和次生裂縫發育程度有關外，還與水平井的鉆井、完井和壓裂效果有關。頁巖氣井的開采表現為定容、封閉、消耗式和投產即進入遞減的特點。因此，利用線性遞減模型［1-2］、廣義遞減模型［3］和冪函數遞減模型［4］預測頁巖氣井產量和可采儲量均取得了較好效果。為此，基于廣義單峰周期預測模型［5］，建立預測頁巖氣井產量和可采儲量的泛指數遞減模型，并介紹該模型的派生、無因次產量曲線和模型的求解方法。

1 泛指數遞減模型的建立

在廣義翁氏模型［6］、威布爾模型［7］、陳-郝模型［5］和瑞利模型［8］的基礎上，陳元千等建立了廣義單峰周期預測模型［5］，其中產量、峰值產量、峰值出現時間和可采儲量計算式分別為：

由（1）式—（4）式可以看出，廣義單峰周期預測模型有a，b，c和m四個常數。其中常數a控制峰值的高低，a值愈大峰值產量愈高，反之愈低。常數b控制峰位，b值愈大，峰位距縱軸愈遠，反之愈近。常數c控制峰值后產量遞減的快慢，c值愈大產量遞減愈慢，反之愈快。時間指數m用于判別模型的類別：當m=1 時可得廣義翁氏模型；當m=2 時可得陳-郝模型；當m=b+1 時可得威布爾模型；當m=2 且b=1時可得瑞利模型。對于廣義單峰周期預測模型，當b=0時即得投產進入遞減的泛指數遞減模型。

泛指數遞減模型的產量和可采儲量計算公式分別為：

由（6）式可見，GR與a和均成正比，與m成反比。

在（6）式中的Γ(1)值可查伽馬函數表或由相關經驗公式［9］求得，相關經驗公式為：

將（9）式代入（10）式得泛指數遞減模型的遞減率為：

由（11）式可以看出，泛指數遞減模型的遞減率與m成正比，與c成反比。當t=0 時，初始遞減率趨近于無窮大。

2 泛指數遞減模型的派生

當m=0.5 時，Γ(1)=1.0，由（5）式、（6）式和（11）式可得具有實用價值的0.5 型泛指數遞減模型，其產量、可采儲量和遞減率計算式分別為：

當m=1 時，Γ(1)=1.0，由（5）式、（6）式和（11）式可得著名的指數遞減模型，其產量、可采儲量和遞減率計算式分別為：

3 泛指數遞減模型的無因次關系

為了建立泛指數遞減模型的無因次產量曲線，首先將（5）式改寫為：

泛指數遞減模型的無因次產量和無因次時間分別為：

將（19）式和（20）式代入（18）式，且由（15）式可以看出，當t=0 時，q=a=q0，由此得泛指數遞減模型的無因次產量與無因次時間之間的關系式為：

由（21）式可以看出：當m=0時，qD為常數；當m=1 時，qD=etD，qD為指數遞減。當取c=5 時，由（21）式求得不同m值時qD與tD的無因次關系（圖1）；當m=0.5 時，由（21）式求得不同c值時qD與tD的無因次關系（圖2）。由圖1 和圖2 可以看出，m值比c值對qD的影響明顯。

圖1 c=5時泛指數遞減模型qD與tD的關系Fig.1 The qD-tD curves of PEDM，c=5

4 泛指數遞減模型的求解方法

圖2 m=0.5時泛指數遞減模型qD與tD的關系Fig.2 The qD-tD curves of PEDM，m=0.5

由（5）式可以看出，泛指數遞減模型是帶有a和c及m三個常數的非線性遞減模型，需根據實際生產數據，利用線性迭代試差法進行求解。為此，首先將（5）式等號兩端同時取自然對數得：

再利用（25）式進行線性迭代試差法求解。當m值為0～1 時，可按步長為0.05 給定不同的m值，求得相關系數最高直線的m值，即為欲求的正確m值，并由（25）式進行線性回歸，確定直線的截距α、斜率β和相關系數R2。最后，由（23）式和（24）式分別確定a和c值。

5 應用實例

圖3 M1和M2井q與t的關系Fig.3 The q-t curves of M1 and M2 wells

圖4 M1和M2井的lnq與tm最佳的直線關系Fig.4 The optimal linear lnq-tm relations of M1 and M2 wells

將美國賓州Marcellus 頁巖氣藏的M1和M2井投產后的產量遞減數據［11］繪于圖3，利用線性迭代試差法，由（25）式求得兩口井的最佳直線關系并繪于圖4。由圖4 的線性回歸求得：M1井的m值為0.5，α值為6.460 6，β值為0.280 5，相關系數為0.990 0；M2井的m值為0.5，α值為5.837 3，β值為0.277 9，相關系數為0.994 0。由（23）式和（24）式分別求得兩口井的a和c值：M1井的a和c值分別為639.44和3.57；M2井的a和c值分別為342.85 和3.60。將兩口井的a，c和m值分別代入（5）式，得M1和M2井的產量預測公式分別為：

由（26）式和（27）式分別預測兩口井的理論產量并繪于圖3。由圖3可以看出，預測曲線與實際數據符合得很好。

將M1和M2井的m和c值分別代入（11）式，將預測得到的兩口井的遞減率繪于圖5。由圖5可見，兩口井的遞減率隨時間的變化基本一致，這與兩口井的m和c值均基本相同有關。

圖5 M1和M2井的D與t的關系Fig.5 The D-t relations of M1 and M2 wells

將M1和M2井的m值代入（7）式，可得兩口井的完全伽馬函數，Γ（1/m）=Γ（2）=1.0。將2口井的完全伽馬函數值以及a，c和m值分別代入（6）式，可得M1和M2井的可采儲量分別為：

6 結論

通過對廣義單峰周期預測模型的簡化，得到預測頁巖氣井投產即進入遞減的泛指數遞減模型。該模型適用性較強，可對不同頁巖氣井的產量、可采儲量和遞減率進行預測。泛指數遞減模型的遞減指數為0～1。隨著m值的增加，產量的遞減率增加，隨著c值的增加，產量的遞減率減小。由m=0.5和m=1 可分別得到0.5 型的泛指數遞減模型和著名的指數遞減模型。由于M1和M2井的m和c值均基本相同，因而兩口井的遞減率幾乎是重合的。實例應用結果表明，所建立的泛指數遞減模型是實用有效的。

符號解釋

a——廣義單峰周期預測模型和泛指數遞減模型的產量常數，104m3/mon；

b——廣義單峰周期預測模型的峰位指數，dim；

c——廣義單峰周期預測模型和泛指數遞減模型的時間常數，mon；

D——遞減率，mon-1；

GR——頁巖氣井可采儲量，104m3；

m——泛指數遞減模型的時間指數，dim；

q——頁巖氣井產量，104m3/mon；

q0——當t=0時的初始理論產量，104m3/mon；

qD——無因次產量，dim；

qpeak——廣義單峰周期預測模型的峰值產量，104m3/mon；

R2——相關系數，dim；

t——生產時間，mon；

tD——無因次時間，dim；

tpeak——廣義單峰周期預測模型峰值出現的時間，mon；

Z——完全伽馬函數的變量；

α和β——泛指數遞減模型最佳直線的截距和斜率；

Γ（Z+1）——完全伽馬函數。