聲輻射模態理論及應用研究綜述

聶永發，朱海潮

(1. 海軍潛艇學院作戰指揮系，山東青島266071；2. 中國人民解放軍92771部隊，山東青島266404；3. 船舶振動噪聲重點實驗室，湖北武漢430033)

0 引 言

聲輻射模態(Acoustic Radiation Mode, ARM)理論是從上世紀90年代出現并逐漸發展完善起來的，根據參量不同可分為振速聲輻射模態、聲壓聲輻射模態、源強密度聲輻射模態等。聲輻射模態與結構輻射聲功率緊密相關，聲輻射模態只能由輻射聲功率所構造的輻射算子得到，從而保證獲得的各階聲輻射模態獨立輻射聲功率，進而實現輻射聲功率的解耦，實現輻射聲功率解耦是聲輻射模態的本質特征。計算結構聲輻射模態的出發點是構造結構輻射聲功率的二次型表達式，落腳點為獲得使輻射聲功率解耦的正交基函數。聲輻射模態只與結構的形狀尺寸和分析頻率有關，而與結構的物理屬性無關，聲輻射模態實現了結構聲輻射功率的解耦，方便了結構聲輻射問題的分析，使得聲輻射模態理論在分析結構的聲輻射方面具有獨特的優勢。目前，聲輻射模態理論已經廣泛應用于有源控制、聲場重建、噪聲源識別定位、聲學設計優化等方面，但從目前可獲得的文獻來看，沒有發現對其理論和應用進行詳細分析介紹的文獻，本文工作試圖填補這一空白，以期給相關研究人員提供參考。

1 聲輻射模態理論研究

利用聲輻射模態理論解決聲輻射問題的關鍵是獲得結構的聲輻射模態，學者們一直在試圖尋找一種便捷的聲輻射模態的計算方法。上個世紀 90年代初，Borgiotti[1]最早通過結構遠場輻射聲功率的近似表達式構造了一個與聲輻射有關的泛函，通過對其泛函算子的奇異值分解，獲得了結構表面的奇異振速模式，指出聲源表面的法向振速場可以用這些奇異振速模式線性疊加表示，且只有少量奇異振速模式能夠進行有效輻射。Borgiotti的研究讓人們看到了利用奇異值分解技術對聲場空間進行分解所帶來的優勢，為聲輻射模態后續發展奠定了基礎。隨后，Photiadis[2]在 Borgiotti研究基礎上用簡單源積分公式將遠場輻射聲壓表示成算子形式，然后對離散后的算子矩陣進行奇異值分解，得到兩個酉矩陣列向量分別表示表面源強泛化模態(聲輻射模態)和聲場輻射模態。Borgiotti和Photiadis通過奇異值分解方法得到的聲輻射模態是復數形式的，在數值分析和實際應用時會帶來不便。值得一提的是，聲輻射模態概念是由 Cunefare[3]最早提出的，其博士論文指出，對輻射聲功率離散表達式進行特征值分解會得到一個模態表達式，并用該方法計算了長方體的弱輻射模態。Sarkissian[4]將觀察點由遠場改變到聲源表面上，從另一個視角發展了聲輻射模態理論，他對聲源表面進行了均勻離散，通過對實對稱輻射阻矩陣進行特征值分解得到了實向量形式的聲輻射模態，開創了利用結構輻射阻計算結構聲輻射模態的先河，這種聲輻射模態分析計算方法優勢明顯，簡化了聲輻射模態求解難度。隨后，Elliott等[5]在Sarkissian的研究基礎上基于結構模態理論和單元輻射器方法給出了帶有無限障板的梁和矩形平板輻射阻計算公式。自此以后，聲輻射模態理論的研究重點轉向了聲輻射模態特性和聲輻射模態簡化算法研究，Cunfare[6]通過類比動態力學系統中瑞利(Rayleigh)商對稱特征值問題，利用一組代表梁表面法向振速分布的正弦函數和輻射聲功率表達式，分解后其特征向量形成一組基函數，可以用來表示表面法向速度，其特征值與聲輻射效率相關，同時證明了每增加一個自由度會產生一個新的聲輻射模態，且其輻射效率要小于所有其它模態。Cunefare等[7]又通過對Rayleigh商公式的研究，考察了聲輻射模態的收斂性、有界性和敏感度，指出聲輻射模態輻射效率存在一個上限，且會隨著自由度增加迅速減小，在自由度足夠大時，高階聲輻射模態輻射效率會無限接近于 0，高輻射效率的聲輻射模態對振動中擾動不敏感，而低輻射效率聲輻射模態對擾動卻非常敏感。Borgiotti等[8]指出介質中輻射體時間諧波邊界法向速度場可以分解成為(有效)輻射部分和非(有效)輻射部分，兩者屬于正交“輻射”和“倏逝”子空間，證明了輻射算子復共軛轉置與其本身乘積為實對稱矩陣，且正比于表面聲阻矩陣，因此對輻射算子奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)獲得的速度濾波函數為實向量，還證明了 SVD空間濾波器的“嵌套”特性，即“由小于最大分析頻率的速度濾波函數張成的空間為最大分析頻率的速度濾波函數所張成的空間的子空間”，該特性可用于寬帶聲場控制和識別問題。Chen等[9]擴展了在結構表面上聲壓和法向振速分布之間的互易關系，證明了用來表示對結構阻抗有聲貢獻的矩陣具有對稱性，指出互易性質形成兩個特征值問題，它們的解分別為對復表面聲輻射功率解耦的速度和聲壓輻射模態，聲壓輻射模態與速度輻射模態是一一對應的，兩者的相對相角隨著輻射功率相對無功功率比率的增加而單調減小。Kim 等[10]指出低階聲輻射模態對應的輻射效率較高，可代表聲輻射分析中的傳播波成分，高階聲輻射模態對應的輻射效率較低，可代表倏逝波成分。Berkhoff[11]以聲壓為參量通過對結構表面輻射阻矩陣求逆獲得一個具有“導納”意義的矩陣，對該矩陣進行特征值分解，特征向量即為聲壓聲輻射模態，并指出在計算聲壓聲輻射模態時會出現“邊緣效應”，同時給出了抑制邊緣效應的方法。結構聲輻射模態計算的關鍵是獲得結構輻射阻矩陣，Cunefare等[12]利用邊界元法計算了長方體結構聲輻射阻矩陣，指出應用邊界元方法時不可避免要處理解的非唯一性和奇異積分問題，且由于離散誤差的存在，計算得到輻射阻矩陣也是不對稱的，同時他還證明了聲輻射模態具有“群組”效應。Arenas[13]利用集總參數模型計算了固支和簡支圓板輻射阻矩陣。Wu等[14]利用快速多極子邊界元法提高了平面結構輻射阻抗矩陣的計算速度，并指出所提出的方法在計算時間、占用內存等方面都有很大的優勢，可大幅提高聲輻射模態的求解速度，為聲輻射模態理論在大型結構輻射噪聲預報中的應用提供了方法。大型復雜結構的輻射阻也可通過聲阻探針測量或通過數值計算得到，利用聲阻探針測量結構輻射受到環境和精度的限制且測量工作量大。邊界元方法也可以用來求解大型復雜結構輻射阻矩陣，Peters 等[15]指出利用邊界元方法計算輻射阻抗矩陣時對于計算機內存的要求會降低很多，但該方法得到的輻射聲阻抗矩陣一般為非對稱的，Peters 等研究了這種非對稱性產生的根源并提出了一種簡單的方法得到了對稱的輻射聲阻抗矩陣。

國內，毛崎波等提出利用聲輻射模態結合結構模態研究聲輻射問題，并且從物理和數學意義上對聲輻射模態進行了解釋，改進了聲輻射模態算法，使聲輻射模態形狀在中、低頻時與頻率無關[16-17]。黎勝等[18]通過將混合亥姆霍茲(Helmholtz)積分方程方法用廣義逆引入到聲輻射模態公式中，成功解決了利用有限元法計算聲輻射模態存在的解的不唯一性問題。趙志高等[19]利用邊界元法表達復雜結構聲源輻射的總聲功率，獲得了聲輻射模態向量。姜哲[20-21]通過特征值分解聲輻射阻矩陣的實部，得到了與Cunefare構造的基函數等效的解，同時利用厄米特矩陣的正定性與共厄性定義了一個線性自伴正算子，進而確定在希爾伯特(Hilbert)空間中的聲輻射模態和聲場分布模態。吳衛國等[22]建立了時域結構聲輻射模型，通過時域瑞利積分構造輻射算子，得出了時域聲輻射模態計算公式。李雙等[23]研究了聲輻射模態和結構振動模態之間的內在聯系，獲得了低頻激勵的簡支矩形平板各階振動模態與主導聲輻射模態間的對應關系。Wu等利用等效源法和多極子展開算法提出了映射聲輻射模態理論[24-25]，基于 Helmholtz積分方程通過球諧波函數推導映射聲輻射模態，以求解復雜結構的聲輻射功率，對于球形或類球形結構聲源，可較大幅度降低時間耗費，但映射聲輻射模態理論的缺陷在于，用映射聲輻射模態去構建狹長結構聲源的聲輻射模態時收斂性較差，需要的映射聲輻射模態的階數比較多。聶永發等提出了一種以結構表面源強(源強密度)為參量的聲輻射模態分析理論，用該理論分析復雜結構聲輻射問題更為簡單方便，指出復雜結構源強(源強密度)聲輻射模態的輻射聲場類似于多極子輻射聲場，明確了源強(源強密度)聲輻射模態的物理意義[26-27]。隨后，聶永發等[28]利用等效源法的思想提出復雜結構聲源表面法向振速的聲輻射模態算法，對影響結構輻射阻矩陣計算精度的因素進行了分析，給出了復雜結構輻射阻矩陣構造的一般原則。聶永發[29]在其博士論文中，對自由空間的聲輻射模態的空間濾波特性、遠場指向特性和疊加振速時的收斂特性進行了系統的分析和介紹。Liu等[30]指出感知和控制近場中的聲輻射模態對于寬帶噪聲的抑制具有重要意義，通過推導近場復聲功率的二次型表達式，分別對復輻射矩陣的實部和虛部進行特征值分解，分別得到了有效聲功率的聲輻射模態和無效聲功率的聲輻射模態，Liu的方法對于分析近場問題具有一定的意義，但是其分別對復輻射矩陣的實部和虛部進行特征值分解得到的無效聲功率的聲輻射模態的物理意義不夠明確。隨后，Liu等[31]利用聲壓-振速法對一球形結構的聲輻射模態進行計算研究，在觀察距離不受限制的條件下得到了主動和被動模態，兩種模態分別對應輻射和非輻射功率部分，利用球形仿真和3D打印的球帽結構實驗驗證了方法的有效性。

在Sarkissian[4]提出聲輻射阻概念之前，對結構聲輻射模態的研究主要基于遠場輻射聲功率表達式的奇異值分解，由此獲得的聲輻射模態包括兩組復數形式的基函數，一組為聲輻射模態，而另一組為聲場聲輻射模態。由于獲得的聲輻射模態為復數形式，實際應用很不方便。在 Sarkissian提出聲輻射阻概念之后，聲輻射模態的研究主要基于結構表面上的聲輻射阻矩陣的特征值分解，該方法獲得的聲輻射模態為實數，且物理意義更加明確，實際應用也更為方便。目前的聲輻射模態算法對于大型、不規則結構都不是很理想，仍需進一步研究。國內外學者對聲輻射模態的“群組”效應、“嵌套”濾波特性、收斂特性、有界性等的研究成果對聲輻射模態的廣泛應用奠定了理論基礎。

2 聲輻射模態理論應用研究

由于聲輻射模態理論所具有的良好性質，現在已經在結構聲有源控制、聲場及源重建、聲輻射功率計算及聲學設計優化等方面獲得廣泛應用。

2.1 結構聲有源控制

隨著聲輻射模態計算理論不斷發展完善，聲輻射模態已經成功應用于自由空間結構聲有源控制和封閉耦合聲腔結構聲有源控制領域。

2.1.1 自由空間結構聲有源控制

Elliott[4]給出了梁和平板的輻射阻矩陣計算公式，將聲輻射模態應用于平板聲輻射有源控制，設計了一個以輻射聲功率最小化為準則的前饋控制系統。Naghshineh等基于聲輻射模態理論，給出了一種設計低輻射效率結構的策略[32-33]。隨后，Naghshineh等又將聲輻射模態作為表面速度濾波函數，以輻射聲功率最小化作為控制目標，給出了一種有源結構聲控制方法，并用該方法對梁和帶有端蓋圓柱體的輻射聲功率進行了控制，取得了很好的控制效果[34-35]。Berkhoff[11]將聲輻射模態應用于平板結構聲有源控制，提出了結構聲有源控制中傳感器和作動器的數量以及控制通道數的設計準則。Chanpheng等[36]研究使用聲輻射模態識別低頻噪聲特征和在低頻噪聲有源控制方面的優勢，指出輻射模態可以使低頻噪聲的輻射特征在物理上更好理解，通過聲輻射模態設計的有源控制器優于未考慮輻射行為的控制器設計，適用于高速公路橋的低頻噪聲輻射問題。毛崎波等[37]利用中低頻條件下結構聲輻射模態對應的聲輻射效率隨其階數的增加而迅速降低的性質，以聲功率最小化為控制策略，對結構進行有源控制，并通過聲輻射模態伴隨系數對控制效果進行了評價。Sors等[38]對加速度計作為傳感器進行結構聲有源控制開展了相關研究。陳克安等[39]基于近場聲壓測量值估算結構輻射聲功率，針對不同控制目標研究了相關因素的控制。姜哲[40]利用聲輻射模態討論聲能量的傳遞與輻射，以聲強控制為目標進行有源控制，為結構有源控制策略提供了新思路。李雙等[41]利用結構振動模態和聲輻射模態之間的對應關系建立了一種新的自適應聲學結構有源控制策略，該策略引入單個或多個次級結構抵消初級結構振動模態對應的主導聲輻射模態，使得主導輻射模態的聲功率最小，從而控制總輻射聲功率。Hill等[42]介紹了一種由128個聲壓傳感器組成的傳感系統，其傳感策略的核心在于發展了一種正交聲輻射形狀，該正交模式可適用于任意聲源，無論是結構聲還是非結構聲都可以應用。吳衛國[22]根據時域聲輻射模態能夠獨立輻射聲功率的特點，基于狀態空間法用一個控制力就可抵消第一階輻射模態的伴隨系數，數值仿真計算表明了該控制策略的有效性。靳國永等[43]研究了密閉空間內的聲腔模態與模態向量間的相互關系，實現了聲輻射模態在有源控制領域中的應用。Alexander等[44]利用聲輻射模態去控制球形揚聲器陣列的指向性，獲得了理想的效果。和衛平等[45]對兩端簡支的單層圓柱殼進行結構振動模態與聲輻射模態分析，通過振動模態疊加和各種模態形狀的對稱或反對稱特點，分析了圓柱殼振動模態與聲輻射模態之間的內在聯系，利用模態擴展構造一個模態濾波矩陣，從有限個結構測點測量數據中得到了結構聲輻射模態參與系數。崔懷峰等[46]針對動態噪聲控制問題，將聲輻射模態理論應用于有源結構聲智能控制中，基于各階聲輻射模態獨立輻射聲功率的特性將噪聲控制問題分解為若干階輻射模態的控制問題，構造了針對不同階輻射模態的智能結構，并建立了基于聲輻射模態的有源智能控制系統。

2.1.2 封閉耦合聲腔結構聲有源控制

與自由空間中結構聲有源控制研究幾乎同時起步，Snyder等[47]在進行封閉空間中結構聲控制時，選擇封閉聲腔聲勢能作為全局誤差準則，經特征值分解得到一組“轉換模態”，該模態即為耦合封閉聲腔中聲輻射模態的雛形，這組“轉換模態”能夠實現封閉聲腔聲勢能解耦，為耦合封閉聲腔有源結構聲控制提供了新的控制思路。Cazzolato等[48]對Snyder的研究進行擴展，以不規則耦合封閉聲腔為研究對象，開展了基于聲輻射模態的耦合封閉聲腔結構聲有源控制研究，給出了相應的結構誤差傳感策略，并構造與頻率無關的聲輻射模態以簡化控制系統，最后以帶底板的圓柱腔為例仿真驗證了利用聲輻射模態進行耦合封閉聲腔結構聲有源控制是有效的。Johnson等[49]在優化圓柱腔中結構-聲耦合場時，通過對誤差加權矩陣進行奇異值分解得到了被其稱之為“基礎速度模式”的耦合封閉聲腔的聲輻射模態。同一時期，靳國永[50]在國內最早開展了耦合封閉聲腔的聲輻射模態相關研究，建立了基于聲輻射模態耦合封閉聲腔中結構聲傳感及有源控制模型，對聲輻射模態、聲模態和結構模態三者之間的耦合規律進行了探討，指出在中、低頻范圍內，通常只需抵消輻射效率較高的幾階聲輻射模態貢獻的聲勢能，就能實現有效控制。隨后，Jiang等[51]利用模態耦合理論構建了基于聲輻射模態的耦合封閉聲腔結構聲有源控制模型，并以彈性板-矩形腔為例進行了仿真分析。Bagha等[52]為解決基于聲輻射模態的耦合封閉聲腔結構聲有源控制中的誤差信號獲取問題，開展了結構誤差傳感策略研究，并對所需傳感器數目進行了探討。蘇長偉等[53]提出一種基于“初選-預留-后驗”的主導聲輻射模態確定方法，克服了主導聲輻射模態需要結構模態信息的缺點，可用于指導控制目標選取或重構封閉聲腔聲勢能。毛榮富等[54]通過類比自由空間聲輻射模態理論，將聲勢能直接表示為結構表面法向振速的二次型形式，提出了新的耦合封閉聲腔的聲輻射模態計算方法，有效回避了結構模態信息難以準確獲得的難題，方便了耦合封閉聲腔的聲輻射計算及有源結構聲控制。

2.2 聲場與源重建

Borgiotti等[55]將聲輻射模態用于遠場聲場重建，首先根據測到的結構表面法向振速求解聲輻射模態組合系數，然后對聲遠場進行重構，對帶有半球帽的圓柱輻射聲場的重構證明了其方法的有效性，同時指出在求解過程中需要對聲輻射模態階數進行選擇，并給出了階數選取的經驗公式，但具體參數選取需要人為主觀確定。Sarkissian[56]將結構表面法向速度展開成一組基函數(聲輻射模態)疊加形式，利用遠場測量的聲壓數據實現了結構表面輻射到遠場的法向速度重建，但遠場重建分辨率會受到瑞利波長限制。Bai等[57]利用聲輻射矩陣概念，提出了基于速度全輻射模態方法和改進的基于速度主輻射模態方法計算遠場聲壓或聲功率，該方法對環境適應性強，計算簡單，明顯優于常規的基于聲壓的方法。姜哲[58]基于聲輻射模態向量進行了聲場信息的相關計算，豐富了聲輻射問題中的模態分析內容。楊東升等[59]利用聲輻射模態對嵌在剛性球體上的振動活塞的聲場進行了重構，利用很少的測點取得了較好的重建效果，并指出了在重構過程中使用正則化方法的必要性。Cédric[60]利用聲輻射模態進行聲源識別，在重建過程中采用基于奇異值截斷的正則化方法得到了穩定的重建值，取得了理想的識別效果。李秀蓮等[61]利用平板聲源的聲輻射模態向量，研究了測點布置對于聲場重構的影響，指出測點非均勻分布時，有利于減小測點數目和聲輻射模態的數量，但沒有進一步提出非均勻分布的準則。樊士貢等[62]對利用聲輻射模態進行聲場重構時的聲輻射模態的階數進行了分析，指出利用很少的階數就能對聲場進行精確的重建。Wu等[25]將映射聲輻射模態用于輻射聲功率的計算，并將其引入到近場聲全息中，取得了理想的效果，證明了映射聲輻射模態的優越性。Marburg等[63]利用聲輻射模態構建了聲源結構表面上的代表離散單元對遠場聲輻射貢獻量的輻射聲功率因子，實現了對聲源結構表面的噪聲輻射區域的識別。聶永發等[27]提出了基于源強密度聲輻射模態的聲場重建方法，并利用該方法對球體和平板的聲場進行了重建，取得了很好的效果，并且明確指出少測點和對復雜結構的適應性是該方法的優勢之所在。郭亮等[64]通過分析球形聲源的球諧波函數和聲輻射模態向量的相似性及在球形聲源重建領域的差異，指出在低頻段尤其是存在干擾源的非自由場條件下的聲場重建應用中，基于聲輻射模態的聲場重建方法能得到更高的重建精度。毛榮富等[65]利用聲輻射模態包含結構表面幾何形狀信息的特性，提出一種基于聲輻射模態的稀疏測點條件下的結構法向振速重構方法，利用兩端帶封閉端蓋的雙層鋼制圓柱體消聲水池試驗驗證了方法的有效性。蘇俊博等分析了利用聲輻射模態重建聲源表面振速場時，模態截止階數對重建結果的影響，針對聲源面振速場重建測點布置問題，分別提出了適用于單頻分析的測點優化選擇方法和適用于寬頻分析的測點優化選擇方法，并在少量測點條件下，提出了一種聯合利用聲源面少量聲壓和法向振速重建聲源表面振速場和聲壓場的方法[66-68]。魚海濤等[69]利用聲傳遞矩陣給出了任意結構聲輻射模態的流體域求解方法，理論上證明了目標的散射聲壓與聲輻射模態具有函數關系，然后借助聲場分布模態的概念，提出了基于聲輻射模態的正則化散射聲場重構算法。Liu等[70]在使用適當正則化方法的前提下，將聲輻射模態引入到噪聲源表面振動的逆向計算方面，簡支鋁板仿真實驗表明在采用合適正則化方法條件下，即使測量距離超過一個聲波長度時，也可以獲得較高精度的重建結果。

2.3 其他應用

Johnson等[71]用聲輻射模態分析了帶無限障板平板的聲輻射機理和超溢效應，利用仿真實驗證明了在低頻條件下，體積速度相消與聲功率最小化可以取得類似的輻射衰減效果。在聲學設計領域，杜向華等[72]利用聲輻射模態理論分析了聲功率對三類變量的靈敏度，證明利用聲輻射模態處理聲功率聲學靈敏度是一種準確而有效的方法。毛崎波等[73]給出了任意邊界條件下矩形薄板的模態輻射效率，該方法避免了數值積分的困擾。薛曉理等[74]采用有限元與聲輻射模態相結合方法研究了兩相材料薄板輻射聲功率，并分析了結構聲功率關于設計參數的靈敏度。基于聲輻射模態良好的空間濾波特性，國內一些學者將聲輻射模態應用到近場聲全息領域，張詩科等[75]為了解決聲場重建過程中易受到干擾源、散射效應及測量孔徑效應干擾的問題，提出一種強干擾聲場環境下基于聲輻射模態聲場分離算法的雙面patch近場聲全息技術，建立了基于聲輻射模態聲場分離算法的內插、外推數學模型。隨后，郭亮等將聲輻射模態引入到非自由場的近場聲全息領域，提出了基于聲輻射模態理論的雙面聲場分離技術和基于數據內插與外推的Patch技術，指出利用少測點的聲場聲壓數據可有效分離目標聲源和干擾聲源，并等效得到多測量點條件下的全息數據，方法對于相關參數具有較好的普適性和穩定性[76-77]。田湘林等[78]將聲輻射模態應用到了近場瞬態聲全息研究中，基于聲輻射模態理論建立了瞬態近場聲全息公式，脈動球的仿真試驗表明其提出的方法在近場重構出的聲場能反映聲場隨時間的變化規律，且誤差較小。

聲輻射模態能夠實現結構輻射聲功率解耦的優良性質首先應用到了結構聲有源控制領域，解決了傳統結構模態在解決結構聲有源控制時存在的“減振不消聲”的問題。由于各階聲輻射模態單獨輻射聲功率，且在中低頻域只有前幾階模態有較高的輻射效率，前幾階模態輻射的聲功率占總輻射功率的絕大部分，因此只要控制了前幾階模態，就可獲得較好的消聲效果。為此，學者們基于聲輻射模態理論，研究了以輻射聲功率、聲勢能等最小化為準則的控制策略及傳感器和作動器的布放策略，在不同結構上取得較好的控制效果。由于聲輻射模態是頻率的函數，結構聲有源控制在窄頻帶會有較好的適應性，但對于寬頻帶和高頻時控制效果不夠理想。聲輻射模態低階模態為傳播波模態，而高階模態為倏逝波模態，因此可以利用少量的測點數據實現聲場和聲源重建。由于聲場和聲源重建問題是逆問題，絕大多數都是不適定的，必須采用適當的正則化方法和正則化參數選取方法，測量點的布置方式對重建結果也有較大影響。雖然基于聲輻射模態理論利用少量測點能夠實現聲場和聲源的重建，但模態截斷的階數的選取準則和測點優化策略的研究還不夠深入。近年來，聲輻射模態理論還被應用到了近場聲全息等領域，尤其在聲場分離和基于數據內插與外推的 Patch技術方面取得了較好的效果。隨著聲輻射模態理論不斷發展完善，相信未來會在更多領域得到應用。

3 結論與展望

雖然聲輻射模態理論出現的比較晚，但經過近30年的發展，理論逐步完善，已經成為研究解決相關聲學問題的一種有效方法。但在解決實際問題過程中，為滿足工程應用的需要，還有一些理論和技術問題亟待深入研究和解決，主要表現在：

(1) 目前，對球體、平板和圓柱等規則幾何形狀結構的聲輻射模態計算求解研究比較充分，未來應加強研究快速、準確地計算求解工程應用中的任意復雜幾何形狀結構聲輻射模態的算法，進一步提出解決大型結構聲輻射模態求解過程中計算效率低和計算量大問題的有效方法，進一步拓展聲輻射模態的工程應用范圍。

(2) 利用聲輻射模態進行聲源識別和聲場重建過程本質上還是聲學逆問題的求解問題，仍需處理逆問題所固有的不適定和病態問題，研究適合具體聲學問題的正則化方法和正則化參數選取方法；在利用少量測點識別復雜結構聲源和重建聲場時，需進一步研究模態截止階數的選取方法和測點優化的方法。

(3) 目前聲輻射模態在聲場重建方面的應用研究多數仍是在自由場平穩狀態條件下進行的，未來應大力開展在混響場條件下存在多個干擾源時聲輻射模態的應用研究，為其工程化應用做好進一步的理論和技術準備。