一種量子圖像的中值濾波方案

趙 婭 郭嘉慧 李盼池

(東北石油大學計算機與信息技術學院 大慶 163318)

1 引言

1982年物理學家理馮曼首次提出了量子計算的概念[1]，這一概念為科技發展提供了新思路，然而因其對硬件的要求過高而落入低谷。直到20世紀90年代，大數質因子分解和無序數據庫搜索的量子算法的相繼提出[2,3]，驗證了量子并行計算的強大能力，該領域理論及應用研究才得以深入展開。

1997年俄羅斯學者研究了量子圖像識別問題[4]，隨后，2003年文獻[5]正式提出了量子圖像處理的概念。量子圖像處理的學科發展概貌可以參閱文獻[6]。量子圖像處理包括量子圖像描述和量子圖像處理算法[7]。在量子圖像描述方面，主要包括：量子比特陣列模型[8]、實矢量模型[9]、糾纏圖像模型[10]、量子圖像靈活描述模型(Flexible Representation of Quantum Images, FRQI)[11]以及新穎的增強描述(Novel Enhanced Quantum Representation,NEQR)模型[12]。在量子圖像處理算法方面，目前研究成果主要集中在：幾何變換[13]、色彩處理[14]、圖像置亂[15]、特征提取[16]、圖像分割[17]、信息隱藏[18]、圖像加密[19]和均值濾波[20]等。此外，量子計算與密碼學的融合研究也是一個值得關注的方向[21,22]。

雖然量子圖像處理的相關研究逐步深入，但整體上還處于起步階段，且相關方向的發展呈不平衡狀態，在量子圖像加密和量子圖像水印[23]方面，相關成果較為豐碩，而量子圖像濾波方面的成果相對較少。近兩年來陸續出現了一些量子圖像空間濾波方法，例如，文獻[24,25]提出了空間域量子圖像濾波的一般框架，文獻[26]采用冒泡排序計算像素中值，提出了量子圖像上午中值濾波方法。

本文提出量子中值濾波方案，對于中值計算采用了不同的方法，與現有方法的區別在于該方案的量子線路使用了較少的基本模塊，從而具有更低的復雜度。另外，本文驗證了所提方案在圖像降噪方面的應用，經典計算機上的仿真結果表明，本方案與經典方法的降噪效果差別不大，但在將來的量子計算機上，借助量子計算的并行性，本方案可以實現對經典計算的指數加速。

2 預備知識

2.1 量子圖像的NEQR描述

2.2 量子比較器

2.3 量子模加法器

量子模加法器用來執行| a〉和 | b〉兩個無符號整數的模加法，量子線路如圖3所示。由于量子計算的幺正性，該線路是可逆的，左右逆轉該線路的方向即可實現兩個無符號整數的模減法。加法器和減法器的矩陣描述互為共軛轉置[28]。

注意，對于模加法器，Adder符號中的黑色線條的位置在右側，根據量子計算的可逆性，當Adder符號中的黑色線條位于左側時，即為量子模減法器。

3 量子圖像的中值濾波設計

為便于描述，本文采用模塊分解的方法，將量子中值濾波線路分解為若干子模塊，最后再由這些子模塊組合成總線路。下面首先介紹基本模塊的量子實現。

3.1 復制模塊

圖1 一幅2×2的灰度圖像

圖2 量子比較器線路

圖3 量子模加法器線路

3.2 循環平移模塊

該模塊的操作對象是量子圖像的位置比特，包括循環左移、右移、上移、下移。顯然該模塊可采用模加法器和模減法器實現，具體線路圖如圖5所示。

3.3 中值計算模塊

3.4 總體線路設計

圖4 復制模塊的量子線路

圖5 復制模塊的量子線路

表1 循環比較算法

4 量復雜度分析

圖6 C2, C3, C9模塊的量子線路

圖7 中值計算模塊的量子線路

圖8 中值計算模塊的量子線路

5 經典計算機上的仿真

由于目前量子計算機尚未普及，因此本仿真在經典計算機上進行，其中臺式機配置為Intel(R)Core(TM) i5-3470 CPU @ 3.20 GHz 4.00 GB RAM，軟件環境為Win7操作系統和Matlab (2014a)，雖不能驗證量子計算的并行性，但能驗證方案執行后的效果。

5幅圖像濾波前后的峰值信噪比對比如表2所示，其中每種方案的左邊一列是降噪后的PSNR，右邊一列是與降噪之前相比PSNR的提高值。

從表2可知，本文方案的降噪效果略優于經典方案，對于椒鹽、高斯、泊松3種噪聲，本文方案濾波后的PSNR分別比經典方案平均提高1.71 dB,0.29 dB, 0.11 dB。另外，與3種噪聲圖像降噪之前的PSNR比較，兩種濾波方案均分別提升17 dB,10 dB, 7 dB以上。這說明中值濾波方法比較適合于椒鹽噪聲的降噪。關于本文方案略優于經典方案的原因，是因為對于圖像的邊緣區域，中值的計算方法略有不同，由于濾波罩不能移出圖像之外，所以經典方法一般忽略邊緣像素；而本文采用循環移位的方法完整地處理了包括邊緣區域的所有像素，從而導致濾波后圖像的PSNR相比經典方法略有提升。

對于量子圖像處理，當量子圖像在量子信道中傳輸時，有時會發生量子比特翻轉，由此導致的信息失真稱為量子比特翻轉噪聲。下面考察本文方法對于量子比特翻轉噪聲的濾除效果，具體方法是，首先使 q個灰度值比特分別按某一概率閾值翻轉，翻轉后的圖像即為混入量子翻轉噪聲的圖像。然后采用本文方法濾波去噪，并統計濾波前后圖像的PSNR。

對于圖9中的5幅圖像，當概率閾值分別取0.05,0.06, 0.08和0.10時，本文方案對于量子噪聲圖像濾波前后的PSNR對比如表3所示，其中“濾波后”中的左邊一列是濾波后的PSNR，右邊一列是與“濾波前”相比PSNR的提高值。

從表3可知，隨著概率閾值的提升，加入的噪聲也增加，降噪效果呈下降趨勢。但對于表3中給出的4種概率閾值，濾波后圖像的PSNR與濾波前相比，均有16 dB以上的提高。仿真結果驗證了本文方案對于量子噪聲有較好的降噪能力。以圖9(b)為例，在表3中的4種概率閾值下，噪聲圖像分別如圖10(a)-圖10(d)所示，降噪效果分別如圖11(a)-圖11(d)所示。

圖9 仿真中用到的5幅灰度圖像

表2 兩種方案濾波前后的峰值信噪比對比(dB)

表3 量子噪聲圖像濾波前后的峰值信噪比對比(dB)

從圖11可知，隨著概率閾值的增大，提出方案的降噪效果逐漸減弱，這與表3中的數值結果是一致的。關于本文方案適合濾除量子比特翻轉噪聲的仿真結果，我們給出如下解釋。

本文方案中，量子圖像采用NEQR描述。量子比特翻轉噪聲，本質上是二進制像素值每個二進制位的隨機翻轉，這種翻轉具有脈沖噪聲的效果。中值濾波是一種非線性的圖像平滑方法，它能夠很好地濾除脈沖噪聲，同時又能夠保護目標圖像邊緣。量子中值濾波是經典中值濾波的量子版本，具有經典中值濾波的優點。因此量子圖像中值濾波適合濾除量子比特翻轉噪聲。

6 結束語

針對量子圖像處理中的中值濾波問題，本文研究了基于量子計算的設計方案。從設計若干基本模塊的量子線路入手，通過組合基本模塊，逐漸得出了總體線路的設計方法。與現有文獻的不同之處在于，本文采用了新的中值計算方法。復雜性分析表明，本方案可以實現對經典方案的加速。仿真結果表明，本方案適合于經典椒鹽噪聲和量子比特翻轉噪聲圖像的降噪處理。目前制約量子圖像處理發展的問題之一是基本數值運算(中值、均值、均方差、協方差)的量子實現，如何設計這些基本運算的量子實現方法是我們下一步重點研究的問題。

圖10 不同概率閾值下的量子比特翻轉噪聲圖像

圖11 不同概率閾值下量子噪聲圖像的濾波效果