基于LMI算法的永磁同步電機混沌控制

李洋洋，張 懿，戴 磊，魏海峰，李垣江

(1. 江蘇科技大學 電子信息學院，鎮江 212003；2. 江蘇舾普泰克自動化科技有限公司，鎮江 212003)

0 引 言

永磁同步電動機作為一種典型的非線性系統，憑借其轉動慣量小、工作效率高、動態響應速度快等優點，成為了非線性系統運動行為研究的焦點對象。但在永磁同步電機運動系統中不規則行為的存在是不可避免的，這種不規則運動在過去一度被研究者認為是隨機的外界干擾、又或是系統故障[1-3]所造成的， 這種局限性的認識在很長的一段時間內束縛著研究者解決“不規則運動”問題的思路。以至于使得電機傳動系統的高性能發展受阻，體現為永磁同步電機轉速、轉矩的間歇性振蕩，控制性能不穩定和不規則的電磁噪聲等不規則運動，即是永磁同步電機運行系統中所存在的混沌行為[4-5]。永磁同步電機系統的混沌行為不僅影響系統運行的穩定性、安全性，甚至會危害其負載系統[6]。這種典型的非線性行為不能依靠傳統的線性控制方法來抑制或消除，因此對永磁同步電機混沌行為及其控制的研究具有非常重要的理論和實際價值。

為了抑制永磁同步電機系統中的混沌行為，國內外文獻中已有許多分析和控制的方法。文獻[7-10]提出了電機的無量綱數學模型，引入Lyapunov穩定性判據,分析了磁感應電機運行系統的Hopf分岔條件，為研究混沌行為的學者提供了電機系統進入混沌狀態強有力的分析手段。文獻[11-12]在此基礎上基于d，q旋轉坐標系研究了永磁同步電機的物理模型，并建立了其混沌模型，通過分析系統平衡點的運動軌跡，發現系統參數的變化會對永磁同步電機運行系統的穩定性造成很大的影響。文獻[13]打破常規，自主地引進新的參數,搭建了永磁同步電機數學模型，并在該模型的基礎上研究了運行系統產生分岔、進入混沌的條件。文獻[14-16]基于非線性閉環控制理論提出了一種誤差反饋混沌控制算法，設計誤差反饋學習算法并利用梯度下降原理對系統神經元進行學習，實現實時預估系統干擾，進而對系統進行誤差補償，在一定程度上解決了系統跟蹤性能差的問題。針對參數不確定的永磁同步電機混沌系統，文獻[17-19]基于自適應控制理論提出了一種參數不確定電機系統的混沌控制策略,設計了自適應控制算法用于對不確定的系統參數在線修正，文獻通過仿真結果并利用Lyapunov穩定性定理,證明了控制策略的有效性。文獻[20-21]研究了線性矩陣不等式(以下簡稱LMI算法)在非線性動力學系統中的應用，為了解決電機運行系統快速性和魯棒性之間的矛盾問題，引入了LMI算法將系統混沌控制問題轉換成了目標最優求解的問題。

本文基于LMI算法在分析永磁同步電機運行系統混沌現象的基礎上，通過構造帶有補償項的滑模函數，設計了一種簡捷、快速的動態滑模補償控制算法，實現對永磁同步電機混沌運動行為的有效抑制或消除。

1 混沌狀態下永磁同步電機的數學模型

將直角坐標系下用來描述永磁同步電機模型的電壓平衡方程和轉矩平衡方程聯合，并經坐標轉換，得到d,q旋轉坐標系下永磁同步電機的微分方程數學模型如下：

(1)

以上模型中的變量及電機固有的系統參數說明如表1所示。

表1 永磁同步電機參數

對式(1)進行仿射變換和時標變換，即：

上述的仿射變換和時標變換均是線性變換，變換后的永磁同步電機的方程仍是一個多變量的非線性微分方程。

本文討論均勻氣隙的永磁同步電機，即Ld=Lq。綜合上述條件，式(1)可用微分方程組表示：

(2)

2 永磁同步電機的混沌現象分析

為了簡化分析，對上文中得出的永磁同步電機微分方程進行變化，令：

式(2)可寫為：

(3)

由式(3)可見，永磁同步電機是一種典型的強耦合非線性動力學系統。在實際的工程環境下，這種多參數的非線性系統參數及狀態會因為受到外界干擾等因素的影響而容易發生變化，參數變化至一定的范圍內，會使得電機運行系統產生混沌運動行為。本文主要針對永磁同步電機在氣隙均勻的環境中工作，研究運行系統在突然斷電瞬間的動力學特性。斷電是指忽略外部影響，永磁同步電機在空載狀態下運行一段時間后突然斷電，此時就可認為電機的各項外部輸入均為零。斷電的瞬間會引起系統參數的相應變化，進而使得系統產生混沌運動，這種混沌運動會造成突發性的病態機電振蕩現象，由此會對電機轉子造成極大的破壞，縮短電機的使用壽命。

選定系統初值iq(0)=1，ω(0)=0，id(0)=0。令系統參數γ=19.5，b=1，利用MATLAB仿真軟件研究系統隨參數σ變化而發生的狀態以及相的變化，仿真發現，隨著σ由小變大，系統會從穩定狀態進入混沌狀態。為了證明此情況，電機在突然斷電的情況下，即ud=uq=T=0，特取σ=2.6，σ=3.1和σ=6.56進行分析。

系統參數σ=2.6時，圖1的系統時域波形圖表示，系統的狀態ω，id，iq分別從初始的小幅振蕩到很短的時間內就能夠漸趨平穩。圖2的系統相圖則表明了系統始終圍繞一個焦點做規則的周期運動，并且最終穩定于此焦點。因此，永磁同步電機運行系統在參數σ=2.6時是穩定工作的。

圖1 σ=2.6的系統時域圖

圖2 σ=2.6的系統相圖

系統參數σ=3.1時，圖3的時域波形圖表示，系統的狀態ω，id，iq在長時間內出現無規則且不衰減的振蕩。圖4的系統相圖表明，系統出現兩個不穩定的正負焦點，相軌跡時而圍繞正焦點旋轉，時而圍繞負焦點旋轉，表現為整體穩定而局部不穩定，即系統進入混沌運動行為。

圖3 σ=3.1的系統狀態圖

圖4 σ=3.1的系統相圖

系統參數σ=6.56時，圖5的時域響應圖及圖6的系統相圖表明系統已完全進入混沌狀態。

綜上得出，永磁同步電機的系統參數σ=2.6時，系統處于穩定狀態。當σ開始增大，取σ=3.1時，此時系統開始產生混沌；當參數σ繼續增大，σ=6.56時，系統已經完全處于混沌狀態，系統的相圖呈現出一片紊亂。由上述對永磁同步電機動力學特性的分析可知，參數σ取較小值時有利于電機的穩定運行，可以延長永磁同步電機的使用壽命。

為了提高運行系統的穩定性，抑制永磁同步電機的混沌運動行為，本文基于LMI算法提出一種動態補償滑模控制策略。

圖5 σ = 6.56的系統狀態圖

圖6 σ=6.56的系統相圖

3 基于LMI的動態補償滑模控制器設計

對系統狀態式(3)進行改寫，得到式(4)：

(4)

已知γ=19.5，令T=0，σ=6.56，并將式(4)改成如下狀態空間模型形式：

(5)

u=[u1,u2]為控制輸入，A是系統的線性矩陣，B是系統的控制矩陣，f(x)表示系統的非線性。

3.1 動態補償滑模控制

設計滑模函數：

s=Cx+z

(6)

為了調節閉環系統的節點，補償算法設置：

(7)

式(6)和式(7)中的C和K都為待求矩陣，需要通過LMI算法求解。

控制律設計：

u=-CAx-Cf(x)-Kx+z-ηs

(8)

取Lyapunov函數，化簡得：

sT[CAx+Cf(x)+u+Kx-z]=

sT(-ηs)=-η‖s‖<0

式中:CB=I，η>0。由上面Lyapunov函數可知，滿足了滑模到達條件。

化簡狀態空間表達式(5):

式中:BCf(x)=f(x)模函數滿足到達條件,可知存在t>t0時，滑模函數s=0，即z=-Cx。

[A-B(K+C+CA)]x

V(x)=xTx

xT(MT+M)x

由上面的解可知，此線性矩陣不等式系統是可行的，進而滑模函數可以寫成：

(9)

以下，將通過仿真來驗證此滑模控制系統是穩定的。

3.2 系統仿真圖

為了驗證動態滑模補償算法的有效性，對加入控制器后的永磁同步電機系統進行仿真，系統初始狀態iq(0)=1，ω(0)=0，id(0)=0；σ=6.56，γ=19.5，此時系統處于混沌狀態。在t=20時，加入滑模補償控制器，仿真圖如圖7～圖10所示。

圖7到圖9表明，系統在t=20時加入動態滑模補償控制后，狀態id,iq,ω的時間響應均脫離紊亂的混沌態,而迅速穩定于零平衡點處；圖10為加入動態補償的相圖，則表明系統軌跡不再是圍繞兩個焦點無規則運動，而是最終收斂于一個點上。對比圖5和圖6，并通過仿真說明了本文設計的動態滑模補償混沌控制算法的有效性。

圖7 加入動態補償之后id-t響應圖

圖8 加入動態補償之后iq-t響應圖

圖9 加入動態補償之后ω-t響應圖

圖10 加入動態補償之后的系統相圖

4 結 語

本文通過系列線性變化將永磁同步電機復雜的物理模型轉換為一個三階微分方程表示的無量綱化數學模型，一定程度上減少了系統的參數，方便了對系統性能的分析。

應用定參數分析法，通過改變永磁同步電機的系統參數σ，對永磁同步電機的運行狀態進行分析，MATLAB仿真驗證了均勻氣隙下永磁同步電機在特定的參數范圍內會產生不規則電流和轉速振蕩，進入混沌狀態。

為對混沌運行狀態下的永磁同步電機進行控制，抑制混沌現象，本文設計了動態補償滑模控制器，驗證了其Lyapunov穩定性，通過LMI算法求解出滿足x→0的最優解，仿真實驗驗證了此方法具有較好的魯棒性和快速的動態響應特性。