鋼板-混凝土組合連梁受剪承載力概率模型分析

呂貝貝 譚朝明 劉 喜

（1.山西大同大學建筑與測繪工程學院，大同037003；2.長安大學建筑工程學院，西安710061）

0 引 言

與普通連梁相比，鋼板-混凝土組合（PRC）連梁由于內嵌鋼板的作用，而顯著提高了其抗剪承載能力和耗能能力，可實現彎曲破壞，提高構件抗震性能。目前，國內外關于PRC 連梁抗剪性能進行了一些試驗分析和理論研究，為工程設計提供了重要依據。張剛［1］設計了6 個PRC 連梁的往復加載試驗，試驗表明，混凝土連梁中配置鋼板不僅可以提高連梁的抗剪承載力，改善其延性，還可以避免連梁發生彎曲滑移破壞；Lam［2］完成了8 個PRC連梁試件的低周載荷試驗，考慮了跨高比、配筋率、鋼板尺寸等的影響；史慶軒等［3］進行了7 根小跨高比PRC 連梁試件的擬靜力試驗，研究了連梁跨高比、鋼板配鋼率以及樓板等因素對其抗震性能的影響；Cheng［4］進行了16 個PRC 連梁的單調載荷試驗，并提出了對角剪切破壞模型和剪切粘結破壞模型。但試驗資料還很欠缺，尚沒有較好的統一計算模型和方法。

近年來，貝葉斯統計分析理論已逐漸被引入混凝土領域［5-6］，利用其特殊的解決問題的理念進行構件或結構的相關計算，綜合考慮先驗信息和樣本信息對先驗模型進行更新，從而可得精度高、隨機性小的后驗模型。本文結合國內外37 組PRC 連梁抗剪試驗數據，應用貝葉斯多元線性參數估計方法，構造無信息先驗分布作為參數的先驗分布，建立了PRC 連梁基于中國《鋼骨混凝土結構技術規程》（YB9082—2006）、中國《組合結構設計規范》（JGJ138—2016）、美國規范（ACI318-02和AISC（1999））和英國規范（BS8110 和BS5950）的受剪承載力概率計算模型，并采用貝葉斯后驗參數剔除過程，進行模型簡化。并進行對比分析，檢驗模型的準確性、有效性及優越性。

1 各國規范計算模型簡介

關于PRC 連梁抗剪承載力的計算，目前沒有統一的計算模型和方法。本文參閱國內外相關規程，整理了中國《鋼骨混凝土結構技術規程》（YB9082—2006）［7］、中國《組合結構設計規范》（JGJ138—2016）［8］、美國混凝土協會規范（ACI318-02）［9］和美國鋼結構協會規范（AISC（1999））［10］、英國混凝土規范（BS8110）［11］和英國鋼結構規范（BS5950）［12］中的相關計算公式，見表1。其中結合ACI318-02 和AISC（1999）分別計算混凝土和鋼板的抗剪承載力貢獻（Vn）RC、（Vn）s，并組合得PRC連梁的極限抗剪承載力（Vn）comp。結合BS8110 和BS5950 分別計算混凝土、箍筋和鋼板的抗剪承載力貢獻Vc、Vv、Vp，并組合得PRC 連梁的極限抗剪承載力Vu。

2 鋼板-混凝土組合連梁的構造做法

目前PRC 連梁主要應用于超高層建筑中的筒體，混凝土的強度等級常取C50～C60，鋼材牌號常取Q345，鋼板厚度取16～36 mm，鋼板的最小配板率取1.0%左右，最大配板率取3.8%～4.5%［13］。

PRC 連梁可以采用如圖1、圖2 所示的做法［13］。鋼板應與墻肢內型鋼暗柱焊接或螺栓連接，若墻肢內未設置型鋼暗柱，鋼板在墻肢中的埋置長度應滿足La≥max（500 mm，hw）。為了便于剪力墻邊緣構件的箍筋穿過，鋼板伸入剪力墻部分可根據箍筋間距開設槽口，槽口間距c 和邊緣構件箍筋間距相同，槽口寬度d 可取箍筋直徑+2 mm，e取剪力墻鋼筋混凝土保護層厚度，如圖1所示。

圖1 立面示意圖Fig.1 Vertical face diagram

PRC連梁內置鋼板的厚度應滿足tw≥6 mm，高度宜滿足hw≤0.7h。為保證鋼板與混凝土共同工作，可在鋼板表面焊接栓釘，栓釘直徑應不小于16 mm，長度至少取4 倍栓釘直徑，間距至少取6倍栓釘直徑。連梁腰筋的拉結鋼筋可預先在鋼板上留孔穿過，或將拉結鋼筋直接焊于鋼板上，如圖2所示。

圖2 剖面示意圖Fig.2 Cross-section diagram

3 試驗值與規范計算值比較

本文統計了37 組PRC 連梁斜截面受剪承載力試驗數據［1-4，14-15］，考慮了試件截面尺寸（b、h）、內嵌鋼板截面尺寸（tw、hw）、內嵌鋼板屈服強度fpy、混凝土強度fcu、箍筋強度fyv、配板率ρp、縱筋配筋率ρs及箍筋配筋率ρsv等影響因素，對其進行了統一整理，見表2。由表2 可知，該37 根PRC 連梁試件截面寬度b 的范圍為100～180 mm，截面高度h的范圍為250～600 mm，跨高比ln∕h 的范圍為0.9～2.5，鋼板截面tw、hw范圍分別為2～20 mm、95～540 mm，鋼板配板率ρp的范圍為0.84%～12.43%，混凝土抗壓強度fcu的范圍為37～59.9 MPa，鋼板強度fpy的范圍為200～280 MPa。利用表1 所列各國規范的計算模型分別對該37 根試件梁進行受剪承載力的計算，并將計算值與試驗值進行對比，結果列于表2中的修正前Vtest∕Vcal處。

4 貝葉斯概率模型建立

4.1 貝葉斯無信息先驗分布參數估計法

假設隨機變量y 和自變量x1，x2，…，xp之間存在線性關系［16］：

其中，各εi獨立同分布于N（0，1），即εi～N（0，1）。

假設未知參數（θ，σ）的先驗信息是未知的，則據貝葉斯假設可得其先驗分布為

表1 鋼板混凝土組合連梁斜截面受剪承載力計算模型Table 1 Shear strength calculation model for plate-reinforced composite coupling beams

表2 鋼板-混凝土組合連梁抗剪試驗數據概況Table 2 Database of plate-reinforced composite coupling beams shear test

據貝葉斯定理可得參數（θ，σ）的后驗信息，其中θ 的后驗分布為多元t 分布，據t 分布性質可求得θ 的后驗期望值和協方差值。σ2的后驗分布為逆Gamma分布，據逆Gamma分布的性質可求得σ2的后驗期望值。

4.2 模型建立

根據貝葉斯統計理論，采用公式（3）來建立PRC 連梁斜截面受剪承載力計算的概率分析模型［17］：

式中：Θ=（θ，σ）為未知的模型參數；Vd為先驗模型，本文采用表1 所列四種規范模型；γ（X，θ）為修正項，其表達式見式（4）；ε表示正態隨機變量，且ε～Ν（0，1）；σ表示模型進行修正后仍存在的誤差。

另外，假定模型方差σ2獨立于影響因素X，即對于給定的X，θ和σ，模型V（X，θ）的方差是σ2，而不是X的函數。

式中，hi（x）是對影響參數的評估，見表3。

對式（3）進行對數運算，則

將式（5）轉化為多元線性模型，見式（6）。

利用式（6）建立PRC 連梁受剪承載力的貝葉斯概率模型：令Vd=VYB，帶入表3 中的各影響因素hi（x）項，根據4.1 節介紹的貝葉斯無信息先驗分布參數估計法，對未知模型參數（θ，σ）進行估計，即可得V=VB，YB，為基于YB 9082—2006 的概率計算模型；然后分別令Vd=VJGJ、VACI、VBS，同理可得V=VB，JGJ、V=VB，ACI、V=VB，BS，分別為基于JGJ 138—2016的概率計算模型、基于ACI 318-02 和AISC（1999）的概率計算模型、基于BS5950 和BS8110 的概率計算模型。

表3 Table 3 hi（x）

表3 Table 3 hi（x）

4.3 模型簡化

考慮到規范模型已對某些影響因素進行了充分考慮，現利用貝葉斯統計推斷理論，進行上述所得四個概率模型的簡化。式（7）為θi的變異系數表達式（coefficient of variation），

式中，μi和σi分別表示參數θi后驗分布的期望值和標準差值。

若cov（θj）=max，表明Vd計算模型已充分考慮hj（x）項的貢獻，或在概率計算模型中hj（x）項對PRC 連梁抗剪承載力的貢獻最小，考慮將hj（x）項剔除，由剩余hi（x）構造新的修正函數γ（x，θ），并重新利用無信息先驗分布參數估計法對剩余模型參數（θ，σ）進行估計；再次識別并剔除cov（θk）=max對應的hk（x）項，重復上述步驟，若此時σ的后驗期望值顯著增大，表明在該概率計算模型中hk（x）項對PRC 連梁的抗剪承載力貢獻較大，應保留該項。

在Vd=VYB的參數剔除過程中，當剔除ln（b∕h）項時，σ2值由0.036 0 減小至0.035 2，繼續剔除lnλp項，σ2值仍為0.035 2，進一步剔除ln（tw∕hw）項，σ2值顯著增加至0.041 3，停止剔除，詳見表4。說明在計算模型VYB中已充分考慮了連梁截面尺寸和鋼板配置對PRC 連梁抗剪承載力的影響，但對鋼板截面尺寸的貢獻考慮不夠充分，因此可將概率計算模型VB，YB中ln（b∕h）項、lnλp項予以刪除，其余hi（x）項應該保留，得簡化概率模型，見表8。同理進行Vd=VJGJ、Vd=VACI、Vd=VBS的參數剔除，詳見表5-表7。將所得四個簡化概率模型列于表8。

表4 基于YB 9082—2006的參數剔除過程Table 4 Stepwise deletion process based on YB 9082—2006

在表5 中，當依次剔除ln（fpy∕fcu）、ln（b∕h）、lnλp、lnρs四項時，σ2值變化不大，但再剔除ln（ln∕h）項時，σ2值由0.024 7 顯著增大至0.041 0，說明在計算模型VJGJ中已充分考慮了內嵌鋼板強度、混凝土強度、連梁截面尺寸、鋼板配置以及縱筋配筋率對PRC 連梁抗剪承載力的影響，可以刪除，但對跨高比這一因素的考慮還不夠充分，應該將ln（ln∕h）項及其余hi（x）項保留在概率計算模型VB，JGJ中。

表5 基于JGJ 138—2001的參數剔除過程Table 5 Stepwise deletion process based on JGJ 138—2016

在表6 中，當依次剔除ln（b∕h）、lnλp、lnρs、ln（fpy∕fcu）四項時，σ2值變化不大，但再剔除ln（tw∕hw）項時，σ2值由0.020 8 顯著增大至0.035 8，說明在VACI計算模型中已充分考慮了截面尺寸、鋼板配置、縱筋配筋率、鋼板強度以及混凝土強度對PRC連梁抗剪承載力的影響，可以刪除，但對內嵌鋼板截面尺寸這一因素的考慮還不夠充分，應該將ln（tw∕hw）項及其余hi（x）項保留在概率計算模型VB，ACI中。

表6 基于ACI318-02和AISC（1999）的參數剔除過程Table 6 Stepwise deletion process based on ACI318-02 and AISC（1999）

在表7 中，當依次剔除ln（b∕h）、lnλp、lnρs、ln（fpy∕fcu）四項時，σ2值變化不大，但再剔除ln（tw∕hw）項時，σ2值由0.020 2 顯著增大至0.032 6，說明在VBS計算模型中已充分考慮了連梁截面尺寸、鋼板配置、縱筋配筋率、內嵌鋼板強度以及混凝土強度對PRC 連梁抗剪承載力的影響，可以刪除，但對內嵌鋼板截面尺寸這一因素的考慮還不夠充分，應該將ln（tw∕hw）項及其余hi（x）項保留在概率計算模型VB，BS中。

5 對比驗證分析與討論

利用表8 中四種概率模型進行表1 所列37 根PRC 連梁構件抗剪承載力的計算，并將計算剪力值與試驗值進行對比，見表2 修正后Vtest∕Vcal處。表9 對規范計算模型與貝葉斯概率模型的計算結果進行了對比，以美國規范修正前后計算結果為例，其概率模型的均值μ（Vtest∕VB，ACI）=1.0093，較規范 模型均值μ（Vtest∕VACI）=1.1630 更接近1；且σ2（Vtest∕VB，ACI）=0.019 8，較規范模型σ2（Vtest∕VACI）=0.1033顯著減小。說明利用貝葉斯概率模型進行PRC 連梁抗剪承載力計算時，計算結果更接近試驗值，且隨機性較小。

圖3中八個小矩形位置均在1附近，但四個灰色矩形位置更接近1，尤以ACI 和BS 兩組最為明顯，且四個灰色矩形豎向高度偏小。進一步驗證了利用貝葉斯概率模型算得的剪力值誤差小一些，且離散程度小一些。圖4 散點圖為試驗值與各計算模型計算結果比值的分布情況，結果表明，各概率計算模型所得四組樣本點Vtest∕Vcal關于影響參數fcu和λp的分布，分別與對應規范計算模型所得樣本點Vtest∕Vcal關于影響參數fcu和λp的分布相同，但前者較后者更集中，可見概率模型繼承了規范先驗模型的發展趨勢，并顯著降低了先驗模型的偏差和隨機性。

表7 基于BS5950和BS8110的參數剔除過程Table 7 Stepwise deletion process based on BS5950 and BS8110

表8 抗剪簡化概率模型的均值和標準差Table 8 Mean（divided by the base model Vd（X））and coefficient of variation（c.o.v.）

表9 模型對比分析Table 9 Comparative analysis between models

圖3 箱線圖Fig.3 Box plot

圖4 規范模型修正前后對比Fig.4 Comparative analysis of code models before and after bias-correction

6 結 論

在已有研究基礎上，本文結合規范模型和試驗數據，采用貝葉斯統計推斷的思想，建立了PRC連梁的抗剪概率模型。根據分析結果，可以得出以下結論：

（1）在模型簡化環節中，根據貝葉斯理論，可以判斷不同規范模型背景下，各影響參數對PRC連梁構件抗剪承載力的影響程度，進而在不降低模型精度的前提下剔除影響程度小的修正項。四個規范計算模型對PRC 連梁的跨高比ln∕h、配板率ρp以及鋼板截面尺寸tw∕hw的影響程度考慮不夠充分，均需保留在概率計算模型中；另YB 9082—2006 模型對縱筋配筋率ρs考慮不夠充分，也需保留。

（2）通過貝葉斯理論建立的PRC 連梁的四個概率抗剪模型降低了對應規范模型的偏差和隨機性，并繼承了其發展趨勢，可對PRC 連梁斜截面抗剪承載力進行無偏估計。