形狀可調3次三角域Bézier曲面及其幾何迭代

徐夢豪，嚴蘭蘭

(東華理工大學理學院，330013，南昌)

0 引言

Bernstein多項式具有很多獨特的性質，正因為如此，以Bernstein多項式作為基函數的Bézier方法擁有許多良好的特性。這使得Bézier方法自產生開始，便受到了來自工業界和計算機輔助幾何設計(CAGD)學術界的廣泛青睞[1]。雖然優點眾多，但任何造型方法都不可能十全十美。Bézier方法的不足主要體現在2個方面：首先，Bézier曲線曲面的形狀由其控制頂點唯一確定，當需要對形狀進行修改的時候，唯一的辦法是調整控制頂點，重新計算曲線曲面上的點。這種方式不僅操作起來不方便，而且如果控制頂點是來自實物的精確測量點，那么修改控制頂點本身就是勉為其難。另外，雖然Bézier方法可以表示靈活多變的自由曲線曲面，但卻無法精確表示部分常見的初等解析曲面，只能采用近似表達，帶來的后果是會引起設計誤差，使原本簡單的問題變得異常復雜。

對于Bézier方法的上述2個不足，有理Bézier方法在一定程度上能夠克服，但有理方法自身又有其不足。例如：微分、積分等運算比較復雜，不恰當的權因子可能會破壞參數化。為了揚長避短，在保留Bézier方法優點的同時，避開上述這些不足，構造新的造型方法成為CAGD中的熱點研究主題之一。

Bézier方法包括Bézier曲線、四邊域張量積Bézier曲面、三角域Bernstein-Bézier曲面，這三者都面臨著上述對于固定控制頂點形狀無法調整的不便，以及無法給出除拋物線(面)以外的二次曲線(面)的精確表達的不足。

相對于曲面而言，曲線的結構比較簡單，因此討論更方便。已有眾多文獻專門圍繞Bézier曲線的不足加以改進。改進的途徑主要有2種：1)通過構造含參數的基函數，來實現不改變控制頂點也能修改曲線形狀的目標[2-3]；2)通過在非多項式空間中構造合適的基函數，來實現無需有理形式也能精確表示二次曲線的目標[4-5]。四邊域上的Bézier曲面是采用張量積方法構造的，因此其采用的是與Bézier曲線完全一致的單變量Bernstein多項式作為基函數。這樣一來，只要實現了對Bézier曲線的改進，也就同時實現了對四邊域張量積Bézier曲面的改進。但由于三角域Bézier曲面并非張量積形式，其采用的是雙變量Bernstein多項式作為基函數，所以要實現對三角域Bézier曲面的改進，需要獨立地構造基函數。現有文獻中，對Bézier曲線做改進研究的較多，對三角域Bézier曲面做改進研究的相對較少。

梳理國內外圍繞三角域Bézier曲面的不足進行改進研究的文獻, 根據其采用的基函數所在的空間將它們分為兩大類。

第1類：依然在代數多項式空間中構造基函數，但基函數中融入了參數。例如文獻[6-7]構造了3次雙變量多項式基函數，定義了分別含3個、6個形狀參數，且取特殊參數時都可以退化為2次三角域Bézier曲面的新曲面；文獻[8-9]分別構造了3次、4次雙變量多項式基函數，定義了分別含3個、1個形狀參數，且取特殊參數時都可以退化為3次三角域Bézier曲面的新曲面；文獻[10-11]都構造了n次雙變量多項式基函數，定義了分別含1個、多個形狀參數，且取特殊參數時都可以退化為n次三角域Bézier曲面的新曲面；文獻[12]構造了n+1次雙變量多項式基函數，定義了含多個形狀參數，且取特殊參數時可以退化為n次三角域Bézier曲面的新曲面；采用遞推的方式，在初始3次雙變量多項式基函數的基礎上，文獻[13]構造了n+1次基函數，在初始4次雙變量多項式基函數的基礎上，文獻[14-15]都構造了n+2次基函數，文獻[13-15]中的曲面都含1個形狀參數，且取特殊參數時都可以退化為n次三角域Bézier曲面。

第2類：在非代數多項式空間中構造基函數。例如在三角多項式空間中，文獻[16]和[17]分別對2次、3次三角域Bézier曲面做出了改進，文獻[18-19]在對3次三角域Bézier曲面做出改進的同時還引入了3個形狀參數，文獻[16-19]中曲面的邊界曲線可以是圓弧、橢圓弧；在指數函數和多項式函數的混合空間中，文獻[20]構造了含3個形狀參數，且取特殊參數時可以退化為3次三角域Bézier曲面的新曲面；同樣是在三角多項式空間，文獻[21]構造了一種結構較為特殊的三角域Bézier曲面，其每張曲面片由19個控制頂點定義，該曲面可以精確表示球面。

得益于所融入的形狀參數，由文獻[6-15]定義的曲面不僅繼承了傳統Bernstein-Bézier曲面的基本性質，而且都可以實現不改變控制頂點，僅通過調整形狀參數來修改形狀的目標，因此這些新曲面使用起來更加靈活、方便。由于文獻[16-17,21]構造的曲面都未引入形狀參數，因此它們都并不具備形狀可調性。雖然文獻[16-19,21]構造的曲面定義于三角多項式空間，具備表示部分2次曲面的潛能，但只有文獻[17]討論了球面的表示。

考慮到代數多項式函數在所有函數類型中計算最簡單，且基于代數多項式函數的曲線曲面易于向CAGD中的傳統造型曲線曲面轉化，因此在構造新曲線曲面時，若能保持調配函數類型為代數多項式，且新方法在保留傳統曲線曲面基本性質的同時，還能獲取一些新的性質，則不失為好的方法。

在工程實際中，低次曲線曲面的使用頻率較高，因此本文選擇3次三角域Bézier曲面作為改進對象。通過在控制頂點中融入參數，定義了含3個形狀參數的新曲面，取特殊參數時可以退化為3次三角域Bézier曲面。對曲面的G1光滑拼接條件以及幾何迭代算法進行了討論，并對迭代算法的斂散性進行了分析。

1 曲面及其性質

1.1 曲面構造過程

給定三角域D={(u,v,w)|u,v,w≥0,u+v+w=1}，以及呈三角陣列的控制頂點Vijk(i+j+k=3)∈3，可定義一張三角域上的3次Bézier曲面

曲面r(u,v,w)具備凸包性、角點插值性以及輪換對稱性；由邊界控制頂點確定的Bézier曲線構成了曲面的邊界曲線；由角點和與之相鄰的2個控制頂點張成的平面為曲面在角點處的切平面。

注意到在控制頂點Vijk(i+j+k=3)給定的情況下，曲面r(u,v,w)的形狀唯一確定。下面分析如何在頂點Vijk中融入形狀參數，從而定義具有形狀可調性的三角域曲面r*(u,v,w)，同時保持r*(u,v,w)與r(u,v,w)的角點一致，并且角點切平面相同。

為此，定義曲面r*(u,v,w)如下：

r*(u,v,w)=B300V300+B030V030+B003V003+

B111V111+B210[αV210+(1-α)V300]+B120[αV120+(1-α)V030]+B021[βV021+(1-β)V030]+B012[βV012+(1-β)V003]+B102[γV102+(1-γ)V003]+B201[γV201+(1-γ)V300]

(1)

其中u,v,w∈D，參數α,β,γ∈(0,1]。

將r*(u,v,w)記作

(2)

也就是將r*(u,v,w)當作常規的3次三角域Bézier曲面來看待，其控制頂點如下：

(3)

1.2 調配函數及其性質

(4)

(5)

其中參數α,β,γ∈(0,1]。

(6)

(7)

其中轉換矩陣為

1)退化性。取α=β=γ=1，含參數的調配函數退化成雙變量3次Bernstein基函數。

4)輪換對稱性。當α=β=γ時，有

6)角點導數。對i+j+k=3，有

7)線性無關性。若參數α,β,γ∈(0,1]，則含參數的調配函數之間是線性無關的。

證明：假設

(8)

其中xijk∈。將式(5)代入式(8)并整理，得到

x300B300+x030B030+x003B003+x111B111+[αx210+(1-α)x300]B210+[αx120+(1-α)x030]B120+

[βx021+(1-β)x030]B021+[βx012+(1-β)x003]B012+[γx102+(1-γ)x003]B102+[γx201+(1-γ)x300]B201=0。

由于普通的雙變量3次Bernstein基函數之間是線性無關的，因此有

注意到α,β,γ≠0，故方程組的解為xijk=0，i+j+k=3，這表明bijk(i+j+k=3)線性無關。

1.3 曲面性質

根據調配函數的性質，并結合曲面r*(u,v,w)的表達式，不難推出形狀可調三角域曲面的下列性質。

1)凸包性。曲面r*(u,v,w)完全落在其控制網格形成的凸包內部。

2)幾何不變性與仿射不變性。曲面r*(u,v,w)的形狀直接取決于其控制頂點以及參數α、β和γ的取值，與坐標系的選擇無關；對曲面進行仿射變換，其結果與對控制網格進行同樣的變換后所確定的曲面完全一致。

3)角點插值性。控制網格的3個角點都落在曲面r*(u,v,w)上，具體地，有r*(1,0,0)=V300，r*(0,1,0)=V030，r*(0,0,1)=V003。

4)角點切平面。在角點(1,0,0)處，曲面的切平面由點V300、V210和V201張成；在角點(0,1,0)處的切平面由點V030、V120和V021張成；在角點(0,0,1)處的切平面由點V003、V012和V102張成。

5)邊界曲線。曲面上w=0的邊界曲線由邊界控制頂點Vij0(i+j=3)與式(6)所示函數組定義的曲線；曲面上u=0的邊界曲線由控制頂點V0jk(j+k=3)與式(6)所示函數組(將參數α改為β)定義的曲線；曲面上v=0的邊界曲線由控制頂點Vi0k(i+k=3)與式(6)所示函數組(將參數α改為γ)定義的曲線。由于函數組bi(i=0,1,2,3)具有全正性，因此邊界曲線具備保形性。

6)形狀可調性。在控制頂點Vijk(i+j+k=3)給定的情況下，可通過改變參數α、β和γ的值來調整曲面形狀。

1.4 參數對曲面形狀的影響

首先，由曲面邊界曲線性質可知，當α保持不變時，對應w=0的邊界曲線固定不變(比較圖1(a)～圖1(d))；當β不變時，對應u=0的邊界曲線不變(比較圖1(b)、圖1(c)、圖1(e)和圖1(f)或圖1(d)和圖1(g))；當γ不變時，對應v=0的邊界曲線不變(比較圖1(b)、圖1(e)和圖1(f)或圖1(d)和圖1(g))。

另外，由表達式(4)可知，曲面r*(u,v,w)為控制頂點Vijk(i+j+k=3)的加權線性組合，點Vijk處的權重為bijk。而由式(5)可知，函數b300關于α和γ單調遞減，b210和b120關于α單調遞增；函數b030關于α和β單調遞減，b021和b012關于β單調遞增；函數b003關于β和γ單調遞減，b102和b201關于γ單調遞增。因此當α增加時，點V210和V120的權重增加，點V300和V030的權重減小，曲面對應w=0的邊界曲線隨α的增加而逼近以V210和V120為端點的線段，隨著這條邊界曲線的變化，整張曲面也會發生相應的改變(對比圖1(b)、圖1(e)和圖1(f))。增加β(比較圖1(c)和圖1(d))或增加γ時的效果類似。當α、β和γ中有2個同時增加時，就有對應的2條邊界曲線發生明顯改變，例如當α固定，β和γ同時增加時的效果可以比較圖1(a)、圖1(b)和圖1(d)。當α、β和γ三者同時增加時，3條邊界曲線均發生明顯改變，整張曲面對控制網格的逼近程度會不斷增加，可以通過比較圖1(a)、圖1(e)和圖1(g)來觀察效果。

在固定控制頂點的前提下，圖1展示了通過調整參數生成的形狀各不相同的三角域曲面。

(a)參數 參數

與現有的形狀可調三角域曲面相比，這里定義的形狀可調三角域曲面具有如下優點：1)在賦予曲面形狀調整靈活度的同時，并沒有增加調配函數的多項式次數；2)邊界曲線具有對邊界控制頂點的保形性；3)曲面中含有的形狀調整參數數量達到了同等條件下的最大值，因此具有最佳的形狀調整靈活度。

2 曲面拼接

雖然含參數的調配函數依然為代數多項式，計算相對簡單，但由于引入了參數，所以其表達比Bernstein基函數要復雜一些。這樣一來，直接分析形狀可調三角域曲面的拼接問題，雖然在理論上是可行的，但是實際操作起來具有一定的困難。為了降低分析的難度，依據3次三角域Bézier曲面的拼接理論，以及形狀可調三角域曲面與3次三角域Bézier曲面之間的關系，來分析形狀可調三角域曲面為實現光滑拼接應滿足的條件。

2.1 3次三角域Bézier曲面的拼接

給出如下2張3次三角域Bézier曲面：

其中u,v,w∈D。當

(9)

時，r1(0,v,w)=r2(0,v,w)，兩曲面具有公共的對應u=0的邊界曲線。為使曲面沿公共邊界G1連續，須滿足[19-21]

(10)

其中ξ和η為任意因子。條件(10)可轉化為

(11)

根據式(9)、式(11)，可以推出3次三角域Bézier曲面的G1光滑拼接條件為

(12)

2.2 形狀可調三角域曲面的拼接

給出如下2張形狀可調三角域Bézier曲面：

(13)

其中u,v,w∈D，bijk(u,v,w;α1,β1,γ1)表示參數取α1、β1和γ1的調配函數，bijk(u,v,w;α2,β2,γ2)則取參數α2、β2和γ2。

(14)

由式(9)可知，當

(15)

(16)

進一步地，由式(11)可知，若

(17)

(18)

將式(16)代入式(18)并整理可得

(19)

其中O1=β1P012+(1-β1)P003，O2=β1P021+(1-β1)P030。

(a)參數(視角1)

3 曲面的幾何迭代算法

幾何迭代法[22]具有明確的幾何意義。這種方法始于一條曲線或者一張曲面，通過不斷地迭代調整曲線或曲面的控制頂點，讓最終生成的曲線或曲面要么插值、要么逼近最初所給的控制點列。

3.1 算法描述

構造第1次迭代所生成的曲面

假設第n次迭代后得到的曲面為

為進行第n+1次迭代，首先計算差向量

(20)

構造第n+1次的迭代曲面

3.2 收斂性分析

按照3.1節中給出的迭代過程，不斷地進行下去，將會生成一個曲面序列

為了分析迭代過程的收斂性，依據字典排序方法[23]，將含參數的調配函數按以下順序排列

b={b300,b210,b201,b120,b111,b102,b030,b021,b012,b003}

(21)

同步地，與控制頂點對應的參數也依據字典排序方法進行排列，并記

t={t300,t210,t201,t120,t111,t102,t030,t021,t012,t003}

(22)

由式(20)可得

(23)

記

則式(23)可用矩陣表示成Δ(n+1)=(I-C)Δ(n)，其中I為10階單位矩陣，C為調配函數(21)關于參數序列(22)的配置矩陣，即

圖3所示為：在球面上挑選10個點作為控制頂點，選擇相異的2組參數，執行不同的迭代次數，得到的曲面結果。

將圖3中第1列和第2列的4張曲面分別進行比較，不難看出，當迭代次數逐漸增加時，曲面逐漸變化到插值于給定點列的曲面。分別比較圖3中每一排的2張曲面，不難觀察出，參數取值越大，曲面與極限結果的插值曲面愈加接近。

(a)迭代0次：(左); α=β=γ=1(右) (b)迭代3次：(左); α=β=γ=1(右)

表1 迭代誤差

4 結束語

以3次三角域Bézier曲面作為研究對象，本文欲從形狀表示的靈活性這個角度對其進行擴展，在既沒有改變基函數的類型(與文獻[18-20]相比)，又沒有增加基函數的次數(與[6,7,9,12-15]相比)的前提下，賦予了曲面形狀可調性，這些特點與文獻[8,10-11]相同。本文給出的曲面含3個形狀參數，比只含1個形狀參數的文獻[10]能構造出更加豐富的形狀。文獻[8]中的曲面和文獻[11]中n=3時的曲面一致，雖然也含3個形狀參數，但本文中的3個參數分別控制曲面的3條邊界，參數的變化引起邊界的變化進而帶動曲面形狀的改變，文獻[8,11]中的3個參數則沒有這種直觀的調控作用。為了構造形狀可調的三角域曲面，現有文獻采用的方法基本相同，即先構造帶有參數的調配函數，然后與控制頂點做線性組合，參數值改變時，參與計算的調配函數隨之改變，從而引起曲面形狀的變化。本文采用全新的思路，在控制頂點而非調配函數中融入參數，然后與常規的雙變量Bernstein基函數做線性組合，以構造曲面。隨著參數取值的改變，參與計算的曲面控制頂點隨之變化，進而帶動曲面形狀的變化。這種方法從純幾何而非代數的角度出發，給出了可調曲面之所以形狀可調的直觀解釋，即控制頂點的改變引起曲面形狀的改變。

在討論形狀可調三角域曲面的光滑拼接條件時，為了降低分析的難度，先對常規3次三角域Bézier曲面的拼接條件進行討論，再根據新曲面與3次三角域Bézier曲面之間的關系，得到形狀可調三角域曲面的G1光滑拼接條件，條件的幾何意義明確，這有利于手工確定與已有曲面光滑拼接的曲面控制頂點。

為了構造視覺上插值于控制頂點的曲面，對文中構造的形狀可調三角域曲面的幾何迭代算法做出了討論，對迭代算法的收斂性、收斂速度以及擬合誤差進行了分析，這些理論分析結果為曲面的應用打下了基礎。