多層網絡的結構與功能研究進展

吳宗檸，狄增如，樊 瑛

(北京師范大學系統科學學院 北京 海淀區 100875)

復雜網絡是通過對復雜系統相互作用結構的簡化和抽象，從而給出一種理解復雜系統性質和功能的研究途徑。自小世界特性和無標度特性被提出以來[1-2]，該研究范式經過不斷發展與完善，已成為復雜系統與復雜性科學重要的研究工具與方法。復雜網絡分析方法在研究復雜系統的演化機制和功能上扮演著重要的角色，并被廣泛地應用于各個領域，包括社會經濟、交通電力、腦科學及生命科學等[3-6]。

盡管該研究框架對相關研究起到重要的推動作用，但將復雜系統簡單地抽象成單個網絡忽略了復雜系統中多類型關系交互的貢獻。復雜系統由眾多個體組成，它們之間以某種或多種方式發生非線性的相互作用。這些相互作用關系使其在時間和空間上產生各種形式的關聯結構，并呈現出系統的時空多尺度特征。因此，將復雜系統抽象成單個網絡的研究范式無法進一步滿足復雜系統研究的需要。

在網絡科學中，多層網絡是研究前沿和熱點，它突破了單層網絡中節點和連邊同質性的限制，考慮了多種類型節點及其連邊關系(包括層內連邊和層間連邊)[7-8]。事實上，由幾個網絡的相互作用關系刻畫的復雜系統普遍存在。如在社會系統中，不同類型的社交關系(朋友、同事、親屬等)能夠被抽象成不同的網絡層，進而代表友誼、協作、家庭等社會關系；基礎設施系統可以通過區分不同的運輸工具(公共汽車、地鐵、火車、飛機等)，進而研究基礎設施系統應對突發災難的能力；大腦系統中，不同腦功能區的相互作用可能有所不同，用一個全面的多層框架來研究大腦系統可以處理不同類型相互作用之間存在的差異。復雜系統的時空多尺度特征通過多層網絡建模及分析，可以揭示系統拓撲性質與演化機制。已有的多層網絡研究在理論上主要關注網絡的拓撲結構、動力學、功能以及它們之間的關系，同時在社會經濟系統、生態和生物系統等領域進行了應用。這些研究已取得了一系列重要且有影響力的成果，如多層網絡理論研究[3]、耦合網絡傳播[9]、時序網絡[10-11]以及相互依存網絡魯棒性和抗毀性[12-13]。本文在這些研究的基礎上，對多層網絡的最新進展進行綜述。

目前，多層網絡研究也開始從簡單地擴展單層網絡的概念與方法，發展到針對多層網絡結構與實際問題定義相應的拓撲性質和動力學行為[14]。本文重點從如下幾個方面對多層網絡的研究進展進行梳理與評述：多層網絡建模、基本統計性質、社團結構、多層網絡功能與動力學行為，進而闡述多層網絡所產生的新現象與規律。

1 多層網絡模型構建

研究多層網絡面臨的首要問題是網絡的構建與數學描述，即定義網絡中節點和連邊。雖然多層網絡概念沒有明確的統一的定義，但是依據拓撲結構特征可將其劃分為多路復用網絡、時序網絡、網絡的網絡、相互依賴網絡等不同的類型。本章主要關注多層網絡一般形式的數學描述，并從矩陣表達、張量表達和聚合表達3 個方面進行介紹。

1.1 多層網絡的矩陣表達

多層網絡更加關注復雜系統中的異質性，這種異質性包括不同類型節點以及屬于不同網絡層節點之間相互作用模式的刻畫。這使得多層網絡研究框架能夠更全面完整地描述復雜系統的結構。單個網絡中的節點及其相互作用關系可以由鄰接矩陣完整地刻畫，這種建模方案可以很自然地擴展至多層網絡。多層網絡的矩陣表達也被稱為超鄰接矩陣或者分塊矩陣[3,7]。

圖1 多層網絡和網絡的網絡示意圖

與單層網絡一樣，多層網絡G也可以被定義為加權、有向和符號等不同的網絡形式，不加贅述。需要說明的是一些文章也將這種具有不同網絡相互關系所組成的“大網絡”稱為網絡的網絡(network of networks)，如圖1b 所示，其本質上與多層網絡的概念是一致的。此外，一些研究還針對特殊的多層網絡結構類型進行了定義。下面將介紹3 種常見的模型：相互依存網絡、多路復用網絡、時序網絡。

相互依存網絡(interdependent networks)是由多個具有相依存關系的網絡所組成，示意圖如圖2 所示。層間連邊表示了節點的依存關系，這種依存關系使得一個網絡層的動態變化會極大地影響其他網絡層。如“計算機-電力”相互依存網絡： α層表示電站之間相互傳輸電力， β層表示計算機之間互通信息。電站之間的電力傳輸通過計算機進行控制，而計算機間的通信又依賴于電站供給必需的電力。

圖2 相互依存網絡示意圖

多路復用網絡(multiplex networks)中的所有網絡層由同一組節點構成，如圖3 所示。該網絡的特點是每一個網絡層表示節點間的某種關系或者相互作用模式，而層間連邊表示同一個節點在不同網絡層的對應關系。如不同的社會關系所構成的多層社交網絡，其中不同層表示的是個體間不同的社交關系(可以包括朋友關系、合作關系或者家庭關系等)。

圖3 多路復用網絡示意圖

多層網絡還可以用于研究單個網絡隨時間演變的情況。在隨時間演變的過程中，節點和連邊都有可能發生變化(新增或移除)，這種變化可能是某種因素帶來的，如網絡遭受攻擊或者故障等。在此，由單個網絡隨時間變化所構成的多層網絡被稱為時序網絡(temporal networks)，示意圖如圖4 所示。

圖4 時序網絡示意圖

1.2 多層網絡的張量表達

張量表征方法為研究多層網絡及其動態過程提供了一個強有力的工具。多層網絡的張量表達不僅可以直接得出不同層之間的對應關系，還不會丟失網絡的細節信息。文獻[15]給出了多層網絡拓撲性質的張量形式描述，包括度中心性、聚類系數、特征向量中心性、熵和擴散等。

1.3 多層網絡的聚合表達

多層網絡模型由于多維度網絡層的引入，為網絡基本統計性質、社團結構以及動力學行為的刻畫帶了新的挑戰。為了降低研究的復雜性，早期的研究考慮了多層網絡的聚合表達[8]，即在不考慮多層結構層間交互性質的情況下，將多層網絡壓縮成單層網絡(該單層網絡被稱為聚合網絡)。

聚合網絡是多層網絡的簡化形式。這樣的建模方式雖然降低了后續研究的難度，但是丟失了多層網絡特有的拓撲信息(層間相互作用關系)。一個開放性的問題是究竟需要多少層才能夠準確地表示復雜系統的結構，即考慮如何用較少的層數盡可能保留整個系統的信息。文獻[17]提出了一種層聚合和結構可還原的模型，采用網絡層的熵定義了多層網絡的可區分性指數，并通過最優化該指數來獲得最優劃分。結果表明一些真實網絡可以減少75%的冗余層。

2 多層網絡的拓撲性質

多層網絡的拓撲性質能夠定量化地描述復雜系統的基本特征。本節從多層網絡的基本統計特征和中心性測度兩方面進行總結。

2.1 多層網絡基本統計特征

2.1.1 節點的統計特征

2.1.3 集聚系數

集聚系數是對復雜網絡中節點緊密程度的刻畫，也是網絡的高階屬性。集聚系數被定義為網絡中節點的鄰居之間也互為鄰居的比例，即網絡中三角關系的比例[1]。文獻[8, 20]將集聚系數擴展到多路復用網絡。在三角結構j-i-k中，存在3 種情況：1-triangle(三條邊在同一層)，2-triangle(僅有兩條邊在同一層)和3-triangle(三條邊在不同層)。進一步，以節點i為中心還可以定義三元結構：1-triad(i-j和i-k屬于同一層)和2-triad (i-j和i-k屬于不同層)。由此，根據2-triangle 和3-triangle 的比例分別定義了兩種多路復用網絡的集聚系數。需要說明的是多路復用網絡的層間連接是一一對應的，故三角結構的定義未考慮層間連接信息。

第一種定義集聚系數關注以節點i為中心，2-triangle 三角形數和1-triad 三元數的比例，即：

2.2 多層網絡中心性測度

量化網絡中心性是復雜網絡分析的重要話題，也對研究網絡結構與功能的關系具有重要意義。多層網絡的中心性測度包括節點中心性與層中心性。本節將對多層網絡中心性量化的方法進行總結與分析。

2.2.1 多層網絡的節點中心性

量化多層網絡的中心性主要基于兩種思路：一方面，以預先確定的恒定權重作為層對節點中心性影響的權重；另一方面，著眼于一些特殊的多層網絡類型定義中心性，如多路復用網絡。本節主要關注多層網絡節點的中心性指標。

2.2.2 多層網絡的層中心性

層的中心性對定量化研究其他統計測度有著重要意義，它的含義是每一層網絡在多層網絡中的相對重要程度。層的中心性定義目前有兩種比較常用的方法：一是通過張量分析方法量化其重要性；二是根據層內拓撲結構信息量化其重要性。

張量分析方法是研究多層網絡的一種重要的數學工具，近年來也被用于研究多層網絡的層中心性。文獻[26]基于張量分解量化了多層網絡的中心性。文獻[27]基于網絡的張量定義提出了一種新的特征向量中心性度量方案，并驗證了該方法的唯一性與收斂性。文獻[28-29]利用張量方程的迭代算法，提出了一種多路復用網絡中心性的度量方法。該方法同時計算了層中心性和節點中心性，并利用布勞沃不動點定理證明了該中心性在某些條件下的存在唯一性和迭代算法的收斂性。張量迭代方程為：

此外，還有一些研究基于層內拓撲信息量化層中心性。文獻[28]提供了兩種策略計算層中心性：邊的介數中心性和最短路徑。該指標的核心思想是承擔全局連接越多的網絡層具有越高的中心性。具體來說，首先將多層網絡壓縮成聚合網絡并量化邊的重要性；然后根據某些策略將邊中心性分布到每一層，最后將層中心性定義為層中邊中心性之和。文獻[30]融合了層與節點的信息以確定層中心性和節點中心性。該算法的基本思想是如果一個節點能夠連接到影響力較高的層則具有更大的中心性，相應地，如果網絡層中高中心性的節點越多則該層越具有影響力。

3 社團結構

社團結構是復雜網絡研究中的重要內容之一。研究社團結構對拓撲結構分析、功能分析和行為預測有著至關重要的意義。相比于單層網絡，多層網絡結構具有更加豐富的拓撲信息，這將有助于更精準地探測網絡中潛藏的社團結構，進而加深對結構與功能關系的理解。

3.1 基于模塊度優化的社團劃分算法

多層網絡是單個網絡自然地擴展，并用于描述現實復雜系統中不同網絡之間的相互作用關系。融合多層網絡大數據并對其進行社團結構挖掘是一個重要的研究方向。模塊度函數優化是探測社團結構的經典方法，其核心思想是通過最大化目標函數獲得最優的社團劃分結果。

多層網絡社團結構具有代表性的研究是2009年發表在Science 上的論文。該文將模塊度的概念推廣到動態的、具有多種連接形式的多層網絡，其核心思想是通過比較最大化實際網絡中邊的總權重與作為零模型的隨機圖中邊的期望總權重之間的區別，以此將網絡分為若干個不同的社團[31]。具體來說，首先將網絡中的每個節點都視為一個社團，并在多層網絡模塊度函數最大化的約束下合并社團，然后不斷重復這個過程，直到模塊度函數達到一個局部最大值。文獻[32]提出了多層邊緣混合模型，其核心思想是將邊的混合信息引入模塊度函數，其中邊的權值反映了邊緣在社團探測過程中的作用，進而識別出不同的社團。文獻[33]利用局部社團檢測框架給出了3 種優化函數，分別對應于不同的層內和層間拓撲特征的融合。

3.2 基于網絡層聚合的多層網絡社團劃分算法

由于層間相互作用的存在，多層網絡比單層網絡社團探測更具有復雜性。為了降低社團探測的難度，相關研究基于多層網絡的聚合結構進行社團劃分。該研究主要有兩種思路：聚合網絡社團劃分算法和共識聚類算法。

聚合網絡社團劃分算法是將一個多層網絡壓縮成單層網絡后，直接利用單層網絡的社團劃分算法對其進行社團探測。該方法明顯的缺點是忽略了層相互作用的異質性。文獻[34]將層間信息納入了網絡聚合的過程。首先，計算了每層網絡的節點相似性矩陣和重要度。若該層網絡與其他網絡層的相似性越強則說明其重要程度越高。然后，利用層重要性對節點相似性矩陣進行加權求和。最后，在該加權網絡上進行社團劃分。文獻[35]考慮了在閾值約束下，多層網絡由M層到K層(K＜M)的聚合過程如何影響社團結構。結果表明帶閾值的層聚合是一個非線性的數據過濾器，而合適的閾值可以檢測出原本無法檢測到的小社團(即直接以多層網絡或者聚合網絡進行社團劃分)。

共識社團劃分算法(consensus community structure)是通過利用每個網絡層的社團劃分結果和節點相似性矩陣進行聚類分析。具體來說，首先對多層網絡的每個層進行社團探測，然后根據每個節點對(i，j)在同一層網絡中屬于同一社團的次數與網絡層數的比值定義節點之間的相似性，最后基于節點相似性的聚類分析方法獲得最終的社團結構。文獻[36]則直接考慮通過計算每個節點對在同一層網絡中屬于同一社團的次數作為邊權構造出一個單層網絡，然后直接對該網絡進行社團劃分。結果表明基于共識聚類的多層網絡社團劃分算法可以快速地在真實的網絡中生成一致和穩定的社團。文獻[37]采用了頻譜聚類或低秩矩陣分解的方法組合多層網絡中的多源信息，進而識別了多層網絡的社團結構。

3.3 基于動力學的社團劃分

復雜網絡的結構與功能具有緊密的聯系，許多網絡動力學的方法也被用于識別社團結構[38]。下面將介紹隨機游走和壓縮流方法在多層網絡社團劃分中的應用。

3.4 多層網絡中的重疊社團劃分

大多數社團探測算法考慮的對象是節點，即將節點劃分到唯一的社團，但這會忽略節點屬性的多樣性。節點同時屬于多個社團的現象被稱為社團結構的重疊性。本節主要介紹兩種重疊社團的劃分算法。

3.4.1 派系過濾算法

一個社團從某種意義上可以看成是一些互相連通的“小的全耦合網絡”的集合。這些“全耦合網絡”稱為“派系”，k-派系則表示該全耦合網絡的節點數目為k。網絡中的k-派系社團可以看成是由所有彼此連通的k-派系構成的集合，如網絡中的2-派系代表了網絡中的邊。文獻[41]將派系過濾方法拓展到了多層網絡。該方法的思路是用鄰接矩陣和連邊標簽的信息同時找到多層網絡中的社團。與單層網絡派系過濾算法相似，多層網絡的派系過濾社團劃分方法分為3 部分：1) 定義多路復用網絡層的派系(AND-派系)。AND-派系是由各個層次的派系組合而成的，即k-m-AND-派系為具有k個節點的多層網絡中的子圖，該子圖包括來自m個不同層的至少m個不同k-團的組合。2) 通過AND-派系定義找到最大派系及其派系鄰接矩陣。3) 聚合派系。當兩個派系至少共享k-1 個點和m條邊時，則將這兩個派系聚合在一起，進而得到最終的社團結構。

3.4.2 邊聚類算法

4 多層網絡功能

現代社會中各類基礎設施的交互依賴關系使其具有脆弱性，如從颶風到大規模停電停水，從恐怖襲擊到交通與互聯網癱瘓，以及經濟金融危機的聯動效應等。研究多層網絡結構與功能的關系對尋求復雜系統一般機理與演化規律有著重要意義。本節將從魯棒性與滲流問題、動力學過程以及“一致性”現象等方面梳理多層網絡的研究進展。

4.1 多層網絡的魯棒性與滲流

4.1.1 多層網絡的魯棒性

網絡的結構與功能性質緊密聯系在一起，多層網絡中節點與連邊的多樣性會影響系統的魯棒性及其動力學過程。實際網絡經常面臨各種突發事件的干擾，使網絡崩潰與癱瘓，甚至遭受經濟損失。深入探討網絡拓撲結構對魯棒性的影響，將有助于更好地了解實際網絡的魯棒性能，進而設計具有抗毀性的網絡結構。本節綜述了多層網絡魯棒的研究進展。

網絡類型對多層網絡魯棒性的影響。文獻[44]研究了相互依存網絡的魯棒性問題，結果表明減少網絡之間的耦合強度會導致滲流在臨界點附近從一級相變轉為二階相變。文獻[45]研究了多層網絡中的冗余結構如何調控系統的魯棒性。結果表明通過在層之間增加額外的連邊會提高系統的魯棒性。文獻[46]則考慮了多層網絡的層次結構對魯棒性的影響。結果表明層次結構可以影響基礎設施網絡的脆弱性。文獻[47]基于沙堆模型還分析了無標度性質和層間關聯度如何抑制多層網絡中節點的大規模失效。

不同類型的層間相關性對多層網絡魯棒性的影響。文獻[48]關注層間的度相關性對魯棒性的影響。研究表明在隨機攻擊的情況下正相關的多層網絡比負相關的網絡更加健壯；相反，在蓄意攻擊的情況下正相關網絡具有脆弱性而負相關網絡則具有魯棒性。此外，多層網絡中層間的入度(出度)相關性增加了網絡的魯棒性[49]。文獻[50]研究了多層網絡潛在的幾何相似性對魯棒性的影響。研究表明多層網絡潛在的幾何相似性會緩解網絡目標攻擊的脆弱性。文獻[51]考慮了非最大連通集團中的節點被激活所帶來的影響。結果表明隨著網絡層間依賴關系的增加，系統魯棒性的邊界也會隨之提高。

網絡社團結構對多層網絡魯棒性的影響。多層網絡不僅具有相互關聯層間耦合結構，還具有社團結構。網絡在特定區域發生局部故障時，社團結構對影響整個系統發揮著重要作用。社團結構的變化會給耦合系統帶來極端的風險[52]。文獻[53]關注了一類特殊的多層網絡：每層網絡中具有相同的社團數量且層間連接被限制在不同層對應的社團之間。結果表明模塊化結構會顯著地影響相變的類型。

多層有向網絡的不對稱性對多層網絡魯棒性的影響。文獻[49]基于生成函數和滲流理論的理論框架分析了相互依賴的有向網絡的魯棒性。結果表明，每層網絡不對稱性增加了多層網絡的脆弱性并呈現混合相變。更為重要的是異質網絡比同質網絡更具魯棒性。此外，有向多層網絡中巨強連接組件比巨弱連接組件更容易受到攻擊[54]。文獻[55]基于不需要跟蹤每個級聯步驟的自洽概率方法分析了有向依賴邊對臨界性的影響。結果表明，多層網絡的相變性質只能由幾個參數來決定，且節點間有向依賴關系大大降低了網絡魯棒性。文獻[56]發現在有向多層網絡中，層間的耦合強度會使系統呈現不同的相變現象。

4.1.2 多層網絡的滲流

多層網絡中一些節點的故障會導致從屬節點以及其他層節點的故障，這種級聯故障破壞了網絡連接性質，最終會導致系統突然崩潰[44,57]。一個重要的問題是如何控制失效節點的比例以避免系統的功能性失效。該問題可以用滲流方法進行建模與模擬，進而分析系統的脆弱性。本節將從網絡結構與滲流現象、最優滲流以及群體滲流等方面綜述多層網絡上滲流過程的最新進展。

1) 從網絡結構的視角討論多層網絡的滲流。文獻[58]提出了一個通用框架并研究了相互依存網絡的滲流特性。結果表明層間耦合強度q(層間節點對之間的連邊權重)能夠影響系統的相變。在滲流的過程中存在最大的耦合強度qmax和有效的耦合強度qecあ：當q＜qc時，多層網絡有二級相變；當qecあ＜q＜qmax時，則呈現出混合相變。這里混合相變是指序參量在臨界點有不連續的躍變和臨界指數關系；其他情況下不存在相變現象。滲流的臨界閾值不取決于網絡的層數。文獻[56]量化了多層有向網絡的不對稱性對網絡魯棒性的影響，結果表明了多層有向網絡的不對稱性會增強級聯故障的魯棒性。文獻[59]則從節點的空間地勢差異的視角討論3D 網絡拓撲結構的滲流理論。以道路網絡為例，一個小的局部擾動可能導致整個道路網絡在臨界點處的大規模系統故障。文獻[46]考察了具有層次結構的多層網絡的滲流過程。結果表明層次結構的彈性取決于每一層的社團結構的數量、節點度、移除節點的比例以及層間的耦合強度。文獻[60]關注了多層網絡的迭代滲流過程，即探究歷史依賴機制的作用。結果表明連續滲流相變可能由若干過程迭代作用而成。而無限迭代滲流過程會改變系統巨分支的涌現方式，進而呈現出不連續相變。

2) 多層網絡上的最優滲流。最優滲流指的是在復雜網絡中如何移除盡可能少的節點以最大程度破壞滲流過程中的最大連通集團，從而將連通集團分裂成許多小規模且相互斷開連接的集團。文獻[61]將該思路拓展到多層網絡，重點關注在最優滲流過程中忽略多層結構所產生的后果。結果表明，如果忽略層的存在會高估系統的魯棒性。文獻[62]通過耦合網絡的災難性崩潰與活躍節點的動態消亡過程展示了網絡之間的相互依賴的最佳范圍。

3) 從增強系統抵御風險能力的視角，許多研究還考慮了群體滲流和鍵滲流。一方面，實際系統中一些節點會以群組的形式相互協作以增強其抵御風險的能力，但是在無法抵御風險時，這些相互協作的節點會同時失效。這一現象被稱為群體滲流。文獻[63]發現多層網絡中一些節點構成的群組可以顯著地提高網絡的魯棒性，但是無論群大小的分布如何，滲流相變總是一級的。另一方面，多層網絡鍵滲流則描述了網絡中所有連接組件的結構和大小如何受到鍵滲流的影響。文獻[64]建立了一個通用的理論來研究上述問題，研究結果對優化網絡和檢測網絡崩潰前的細微信號有著重要的作用。實際上，多路復用網絡魯棒性的增強會導致多個不連續滲流相變的產生[65]。在相互依存網絡中，只需要加強一小部分節點的抗壓能力就可以防止突然災難性崩潰[66]。文獻[67]提出了一個用動力學模型和拓撲網絡結構來描述級聯故障的研究框架，并且提供了一系列能夠預測系統故障程度的定量結果。

4.2 多層網絡上的動力學

4.2.1 傳播動力學

多層網絡上的傳播動力學是值得探索的課題。多層網絡中層間交互耦合信息使得其動力學過程具有多樣性與復雜性。文獻[68]總結了復雜網絡擴散過程數值模擬的經典方法。本節主要從多層網絡傳播與擴散機制的角度評述相關工作。

擴散現象描述的是系統中微觀個體從高濃度區域到低濃度區域的運動[69]。早期研究多層網絡的擴散行為有兩種模式：所有層中具有相同擴散機制的動態過程[70]和不同層中具有不同擴散機制的動態過程[71-72]。在相同擴散機制下，層間的耦合強度能夠調控擴散過程，即弱的層間耦合會減緩擴散，而強的耦合會使得擴散速度收斂至所有層疊加的平均速度。在研究多層網絡動力學過程時，層間和層內擴散的權衡可以采用有偏的隨機游走模型表述[73]。在不同擴散機制下，雙層耦合網絡是被研究得較為全面和透徹的。雙層網絡的協同演化動力學過程對于實際問題的模擬與機制研究有著重要的意義。根據協同演化傳播研究的對象，可以將其大致分為生物協同演化傳播問題(描述實際系統中兩個傳染病同時爆發的傳播行為)、社會協同演化傳播問題(社會傳播具有加強效應，多次傳播行為具有很強的不確定性)、意識-流行病傳播(定量刻畫意識對流行病傳播范圍的影響)和資源-流行病傳播(在有限的社會資源下通過優化分配以極大程度地抑制流行病爆發)四大類[9,74]。

根據傳播模式來看，可以將其分為3 種情況：相互促進[75]、相互抑制[76]以及既有促進又有抑制[77]。文獻[77]通過微觀馬爾可夫鏈，將上述3 種傳播類型統一到相同的框架之下討論。首先定義傳播速率的層間調控參數 λ1和 λ2，使得原來獨立的兩個層的感染率由 η1和 η2變為λ1η1和 λ2η2。 當λ1＞1時 ， α層傳播率變大，表示 β 層對 α層的傳播有促進作用，反之有抑制作用。同理通過k1和k2的不同組合可得到對應的傳播模式。在這樣的傳播機制下，系統存在一條可以區別局部傳播和非局部傳播的臨界曲線，該曲線顯示了兩個區域之間的交叉：兩個區域之間的臨界特征既有獨立性又有依賴性[69]。

拓撲結構也影響著多層網絡的擴散。首先，多層網絡中層的某些拓撲度量相關性影響著擴散結果。文獻[78]通過定量化層間距離研究了層間相似性對網絡擴散的影響，結果表明低的層間相似性會增強多層網絡的擴散。當存在于多個層上的節點的時間激活模式正相關時，節點復用程度的增加會顯著降低流行病閾值[79]。層間節點的重疊度會影響擴散能力：當擴散能力較強時，層間重疊性缺失對促進最大化傳播有重要的影響[80]。值得關注的是低重疊度和中低值擴散系數不利于擴散。其次，文獻[81]關注了多層有向網絡中層間耦合程度和不對稱程度對擴散過程的影響，結果表明中度耦合的網絡會比完全耦合的網絡具有更高的傳播能力。最后，多層網絡結構與動力學和其Laplace 矩陣光譜特性是相互影響的[70,82-83]。文獻[82]對多路復用網絡拉普拉斯算子進行了頻譜漸近分析，結果表明網絡在擴散過程中呈現超擴散現象。超擴散現象指的是擴散從弛豫到穩定狀態的時間尺度比孤立的任何層都小[70]。超擴散最早出現在擴散層較弱的系統中且與層重疊性無關。

此外，多種病毒傳播涉及豐富的動力學過程也備受關注[84]。多種病毒傳播動力學的復雜性體現在病毒之間的多種交互方式和接觸網絡層間的相互作用模式。當兩種病毒在一個網絡上傳播時，系統存在共存閾值(兩種疾病會在傳染病閾值與共存閾值之間同時流行)[85]。若將其推廣到兩種病毒不在同一個網絡上傳播時，共同閾值則作為一種特殊情況出現[86]。文獻[87]提出了一個研究框架以討論網絡層的相互作用所帶來的影響。結果表明兩種病毒不會在單個接觸網絡上長期共存，但在雙層網絡中可以長期共存。此外，一些研究還關注了多層網絡及其聚合網絡上的多病毒傳播問題。文獻[86]研究了重疊網絡上兩種流行病的動態傳播過程，結果表明兩個網絡的重疊程度對抑制第二種病毒的傳播是有益的。但是，當兩個相互作用的流行病在多層網絡上傳播時，重疊的連邊對動力學過程沒有影響[88]。

4.2.2 多層網絡上的交通動力學

交通系統由多個相互影響的運輸網絡組成，包括道路網絡、公交網、地鐵網等等。交通運輸過程中所產生的擁堵現象不僅僅受到交通事故、極端天氣、大型活動等隨機因素的干擾，還會受到多層網絡結構的影響。深入了解交通系統的特征有助于理解交通堵塞問題，也對提升突發交通狀況的應對能力有著重要的意義。本節將對多層網絡上的交通動力學研究進行總結與評述。

網絡結構對交通擁堵的影響。文獻[89]提出了一個交通動力學模型，分析了多層交通網絡結構中網絡層之間的協作現象。文獻[90]構建了一個耦合交通網絡模型并定義了包含路徑長度和交通負荷系數的效用函數。結果表明層間最佳的耦合關系與最小平均路徑不是等價的。在雙層網絡中，對節點進行分類耦合比隨機耦合更容易緩解交通擁堵問題[91]。文獻[92]分析了不同交通擁堵情況下不同網絡結構的抗擁堵能力。結果表明雙層網絡中無論哪一層具有無標度特性，都能讓交通系統具有更高的抗擁塞能力。此外，文獻[93]指出多路復用網絡結構會導致擁堵，同時不同層運輸效率的失衡也會導致擁堵。

考慮到不同類型的交通工具傳輸效率不同，一些研究還關注了傳輸速度異質性的作用，了解傳輸速度異質性有助于設計出合理的流量分配策略，進而為緩解交通堵塞等問題提供科學依據。文獻[91]研究了耦合空間網絡上的交通動力學，結果表明網絡最大承載量與雙層網絡中的傳輸速度比有關。文獻[94]提出了一種有效的多層網絡流量分配策略，可以合理地將低速網絡層的流量重新分配到高速層。文獻[95]提出了一種負載均衡模型，該模型在保持高速層傳輸優勢的同時減少了資源消耗。

4.2.3 多層網絡上的演化博弈

演化博弈關注的是有限理性的個體如何在重復博弈的過程中通過策略學習來優化收益。在演化博弈的過程中，參與者之間的關系所形成的網絡結構至關重要。多層網絡是對多種社會關系的抽象，其中節點表示博弈實驗的參與者，在不同層中的連邊表示參與者間某種特定的關系，層間連邊表示不同網絡層之間的依賴關系[96]。本節將對多層網絡上的演化博弈進行評述與分析。

參與者的層外收益對演化博弈結果的影響，即參與者的收益來源包括層內與層外兩部分。文獻[97]分析了當所有參與者都能與層外參與者互動的情況，結果表明兩個相互依賴的網絡促進了合作。而在層內只有一部分特定參與者能與層外參與者互動時，則存在最佳的相互依存關系以保證最高的合作水平[98]。這種最佳相互依賴關系可以自發演化，即使在極端不利的條件下也能保持協作。然而，參與者的適應性和獎勵會自組織地產生促進合作行為的超級參與者，這種現象的產生與博弈規則和網絡結構無關[99]。

網絡層之間的依賴關系還可以通過策略更新機制的影響來確定。參與者采用某種特定策略，同時依賴于其所在網絡層中鄰居的收益和其他網絡層的其他策略，這種耦合方式有利于促進合作[100]。對于合作區域而言，如果某個策略在參與者所在的區域被頻繁使用，那么采用其他策略的意愿將大大減弱。反之亦成立，即如果其他策略在其他網絡層中被頻繁使用，那么這將增大其在當前網絡層中被接受的可能性。

網絡結構對演化博弈結果的影響。文獻[101]研究了多路復用網絡的層數與邊重疊度的作用，結果表明多個社會關系的存在本身可能會促進合作。在度相關性很強的多路復用網絡中，博弈的最終結果會獨立于收益參數[102]。在相互依賴的加權網絡中，參與者的多樣性會影響合作的發展[103]。在網絡層間的連邊模式產生不同的納什均衡，這會對處于不同地位的參與者產生反直覺的博弈結果[104]。此外，節點在層間的分類匹配可以增強協作，這種現象與層中的網絡結構無關[105]。

4.3 多層網絡上的“一致性”行為

4.3.1 多層網絡的同步行為

同步現象是指在滿足一定條件和耦合相互作用的影響下，個體狀態在宏觀上形成步調一致的現象。現實生活中同步是一種常見的現象，如多個鐘擺的一致性擺動，螢火蟲的同步發光，以及鼓掌時呈現的一致性等。系統的同步行為有兩種呈現形式：一是序參量在通過相變點后呈現增長，即呈現連續相變；二是序參量在通過相變點時發生突變，即呈現一級相變(也被稱為爆炸性同步)[106]。隨著多層網絡研究的興起，多層網絡上同步行為的研究也備受關注。

從多層網絡拓撲結構的視角看同步行為。文獻[107]研究了通過隨機連接的雙層網絡，網絡層內連邊的權重與網絡層間連邊的權重之間的平衡會導致兩個網絡之間的同步性更高。相關研究還對時序網絡、耦合星形網絡與耦合無標度網絡等不同類型網絡上的同步行為做了分析[108]。

從多層網絡同步行為的機制上分析，文獻[109]研究了節點在網絡之間的連接方式如何影響網絡的同步和穩定性。結果表明，通過非隨機方式連接節點可最大限度地提高網絡同步性。文獻[110]研究了不同動力學交織在一起的多層網絡的同步行為。文獻[111]則提出了一種多層網絡同步和擴散之間動態依賴關系的研究框架。文獻[112]提出了一個通用框架，用于評估具有多層網絡中同步狀態的穩定性，從而得出了推廣主穩定性函數方法的必要條件。

爆炸性同步是近年來比較熱門的研究領域，其特征為序參量通過相變點后出現突然的躍變，并隨著耦合強度的變化，相變點前后的過程不可逆。多層網絡的爆炸性同步研究的突破點在于放寬了早期研究爆炸性同步的第二個基本假設：節點度與頻率成正比。文獻[113]通過耦合網絡表明在一定條件下，系統可以呈現爆炸性同步，且節點度與頻率不需要強關聯條件。進一步，文獻[114]在雙層網絡上驗證了在自適應條件下，系統爆炸性現象的出現不依賴于第二個條件。值得說明的是，多層網絡中具有自適應演化特征的振子所占的比例會影響系統的同步行為，尤其是在該比例小于1 時，系統會同時存在爆炸性同步和經典同步[115]。

4.3.2 多層網絡上的投票模型

復雜系統中的集群行為是復雜系統涌現性的重要表現，它通過微觀個體之間的相互作用，并在宏觀上表現出一定的時空或者功能的有序結構。許多物理學家和社會學家試圖通過物理模型揭示社會經濟系統中的集群行為，包括投票模型。文獻[116]最早通過該模型模擬了社會輿論如何從無序的混亂狀態演化到整體認識的過程。在多層網絡框架中研究多數投票模型對了解多元化對意見動態的影響是至關重要的，這種動態過程可以采用蒙特卡洛模擬、非均勻平均場近似和主方程等方法進行定量化研究[117-119]。

從多層網絡的角度研究投票者模型的類型，發現網絡中可能存在兩種狀態的共存階段，其中個體傾向于通過層間連邊在不同的層中保持相同的觀點[120-121]。文獻[119]討論了3 種類型的選民如何達成共識，以及在這些不同類型的選民達成共識背后起作用的微觀基礎。文獻[117]研究了由兩個無標度網絡組成的多路復用網絡的多數表決模型，結果表明鐵磁相變的臨界指數取決于層中的度分布。

在共同演化的投票者模型中，節點的狀態和網絡拓撲結構彼此協同發展，并呈現碎片化過渡[122]。在實際系統中，個體的行為通常與環境變化相耦合，文獻[118]研究了多數投票過程與反應擴散過程耦合網絡的非均衡模型，結果表明噪聲層中的噪聲參數與投票行為有關。

5 結 束 語

本文基于多層網絡的基礎理論和最新研究進展，從多層網絡模型構建、基本統計特征、節點重要性、社團結構、魯棒性以及動力學行為等方面總結了多層網絡的研究脈絡，尤其是從網絡結構與動力學機制等視角系統地歸納了多層網絡結構與功能的相關研究，為相關領域研究提供了便利。雖然多層網絡的研究取得了一系列重要的進展，但是還存在許多科學問題值得進一步挖掘。

首先，多層網絡拓撲結構的研究還可以做很多工作。一方面，近年來復雜網絡潛在的幾何性質備受關注[123-126]。探究多層網絡的幾何性質與拓撲結構之間的內在聯系會有助于推動相關研究的進展，如社團結構、鏈路預測等。另一方面，多層網絡的基本統計指標與社團結構探測等方向的研究需要建立起合理的數學形式。在網絡拓撲結構研究的過程中應該充分考慮層間耦合交互的非線性關系，這對深入理解多層網絡結構與功能的關系尤為重要。

其次，探索多層網絡結構與其功能的內在機制依舊面臨巨大挑戰。一方面，在動態的信息傳遞和多種耦合動力學的背景下，個體的風險認知具有不確定性。這種不確定性對探索動態的疾病預防措施以及動態的方式控制病毒攻擊策略尤為重要。另一方面，探索多層網絡的彈性也是一個比較有趣的話題。復雜網絡的彈性指的是網絡在應對外部攻擊或者其他因素變化時，維護其功能的能力[127]。多層網絡由于層相互作用的異質性可能會產生出乎預料的結果，這也是具有挑戰性的問題。

最后，機器學習在復雜網絡領域的應用有廣闊的前景。隨著信息與大數據技術發展，數據規模暴增，尤其是實證網絡和帶有標簽與時間序列的數據，這也為多層網絡的研究提供了一個新的思路。如現有的動力學過程往往基于既定的傳播機制[9]。一個開放性的問題是如何刻畫多層網絡上的真實動力學？大數據時代不僅為網絡科學的研究提供了豐富的經驗數據，還提供了數據的時間序列、節點的標簽等信息。如何利用機器學習或者深度學習等方法，從這些數據中挖掘多層網絡潛在的真實動力學過程有著重要意義。

本文研究工作得到北京師范大學博一學科交叉基金項目(BNUXKJC1921)的資助，在此表示感謝。