一道創新作圖題的探究

操艷祥

創新作圖即僅用無刻度直尺作圖，顧名思義，直尺在我們作圖時只能起到連線或延長線段的作用，不能有其他用途.無刻度直尺作圖大致可分為兩大類，有網格作圖和無網格作圖。網格作圖要借助網格的特性，比如正方形網格與菱形網格都要抓住正方形或菱形的性質并借助圖形的平移或旋轉來幫助我們完成作圖，無網格作圖要抓住基本圖形的性質或組合圖形的特性來實現作圖。

仙桃2021年中考數學的創新作圖題，不僅創新的利用兩個等邊三角形組合來構圖，而且在問題的設置上遵循著從特殊到一般的思考過程，這也是本題非常大的一個亮點.我將結合此題，談談我對創新作圖的一點思考.

（2021仙桃）已知△ABC和△CDE都是正三角形，點B、C、D在同一直線上，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

（1）如圖1，當BC=CD時，作△ABC的中線BF;

（2）如圖2，當BC≠CD時，作△ABC的中線BG.

一、創新作圖題要緊抓特殊圖形的幾何性質

對于第1小題，學生可以抓住四邊形ABCE為菱形，連接AE，然后利用菱形的對角線互相垂直平分來確定AF=FC，則BF是所求中線。圖略.

如果學生注意到BC=CE，∠BCA=∠ACE=60°，由等腰三角形的三線合一，可以直接連接BE，以此來找到所求的點F。

二、創新作圖題要突出作法的開放性

對于第二問，我們可以先將圖形補成一個大等邊三角形，即延長BA、DE交于一點，這樣圖中就有三個等邊三角形，一個平行四邊形，我們可以充分利用這些圖形的性質得到不同的作法.

方法一：如圖4，連接AD，CM交于點N，連接BN交AC于G，則BG是所求，可通過全等知識來解釋.

方法二：連接BE、CM，交于點H，連接DH交CE于點F，則點F為CE的中點，再連接AF，交CM于點Q，作射線EQ，與AC的交點就是所求的點G，理由是：CQ：QM=CF：AM=1：2，則CG：EM=CQ：QM=1：2，所以點G為AC的中點，如圖5：

前面的兩種方法應歸為特殊型，我們可以找到更一般的方法.

我們給學生拋出這樣的問題：如圖6，DE∥AC，連接CD、AE，交于點N，作射線BN，交DE于點M，交AC于點F，求證：AF=CF，DM=EM.

由DE∥AC，則DM：AF=BD：AB=DE：AC=DN：NC=DM：FC，所以AF=FC，同理DM=ME，很顯然我們只需要找到一組平行且不等的線段就能作出這組平行線段的中點。現在我們把這個圖形稱為基本圖形.

我們首先抓住AC∥DE，就可以得到下列方法：

方法三：延長AE、BD交于點F，根據基本圖形，連接AD交CE于點H，延長FH交AC于點G，連接BG，則BG就是所求，如圖7：

利用CE∥AB，我們也可以得到其他作法，用興趣的讀者可以自行去探究。

三、創新作圖題要具備后續探究的空間

一道好的創新作圖題還要具有讓人繼續研究的空間，本題的拓展空間就很大。

變式一：條件不變，結論變。僅用無刻度直尺作出以BD為對稱軸的軸對稱圖形.

變式二：條件變，結論不變。將等邊△CDE繞點C旋轉，使點E落在AC邊上，僅用無刻度直尺作出AC邊上的中線BM。

變式三：條件變，結論也變。將兩個等邊三角形均改為正方形，也可以設計出很好的練習題來。

當然，以上只是筆者結合此題對創新作圖題的一點認識，歡迎大家與我共同交流。

參考文獻：

[1]徐國綱《從基礎中看變化從變化中見通法》

[2]（完整解法圖形見微信公眾號《初中數學與幾何畫板學習》）