怎樣引導數學解題反思

李寒月

摘要：反思就是個體對自己所想、所說、所做的動機、過程、結果進行再思考，從中總結得與失、經驗與教訓，獲得感悟的過程。以一道簡單的平面幾何題為例，聚焦數學解題教學中的反思。教師可以引導學生從結論成立需要滿足的條件、條件成立可以得到的結論、一題多變、一題多解等方面展開反思，以獲得比較全面、深刻的認識。

關鍵詞：數學解題教學;反思;平面幾何題;基本圖形

反思，就是回頭看、回頭想的意思，具體來說，是個體對自己所想、所說、所做的動機、過程、結果進行再思考，從中總結得與失、經驗與教訓，獲得感悟的過程。從現代心理學的角度來看，反思是一種元認知——對認知的認知。反思，可以讓我們獲得更全面、更深刻的認識。

當然，學生的反思要想做到全面、深刻，離不開教師的引導。本文以一道簡單的平面幾何題為例，聚焦數學解題教學中的反思。

八年級學習“全等三角形”時，學生會遇到這樣的基本問題：如圖1，已知AB=CD，∠B=∠C，求證△AOB≌△DOC。其證明過程如下：因為AB=CD，∠B=∠C，∠AOB=∠DOC（對頂角相等），根據“AAS”，可得△AOB≌△DOC。

對于這道題的解決過程，教師可以引導學生從四個方面展開反思。

反思之一：結論成立需要滿足什么條件

這道題主要研究兩個三角形全等的關系。從結論成立需要滿足的條件入手，可以引導學生反思：判定兩個三角形全等有哪些方法？進而反思：滿足哪些條件還能使這兩個三角形全等？對此，學生不難想到，因為題目中已經有一個隱含的條件∠AOB=∠DOC（對頂角相等），所以只要再添加兩個條件就能使這兩個三角形全等。比如，添加AB=CD，∠A=∠D，根據“AAS”，可以得出△AOB≌△DOC;添加OA=OD，OB=OC，根據“SAS”，也能得出△AOB≌△DOC;添加OA=OD，∠A=∠D或添加OB=OC，∠B=∠C，都可以根據“ASA”，得到△AOB≌△DOC。

通過上述反思，學生不僅回顧了全等三角形的判定方法，還進一步嘗試了從不同的角度得到兩個三角形全等，從而加深了對全等三角形判定方法的理解。可見，從結論出發，思考結論成立需要滿足的條件，是引導學生展開解題反思的有效途徑。

反思之二：條件成立可以得到什么結論

顯然，這道題根據已知條件，只能得出△AOB≌△DOC及對應的邊和角相等的結論。其原因是圖1比較簡單，包含的元素比較少。由此，可以引導學生反思：怎樣不改變題目的條件，而增加圖中的元素，以得到更多的結論？對此，可以引導學生注意圖1中有5個點，其中任意兩點之間的連線還缺少AD和BC，從而想到把AD和BC分別連接起來（如圖2）。這時，可以引導學生進一步反思：這樣能得到哪些新的結論？比如：有沒有新增的三角形？它們是否全等？全等的理由是什么？有沒有特殊的三角形？有沒有相等或平行的邊？有沒有相等的角？……通過對這一系列問題的思考，學生可以進一步得出△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△BOC、△AOD是等腰三角形，AD∥BC等結論。

雖然只是在圖1的基礎上添加了兩條線段，但是衍生出了一系列新的結論。在研究上述問題的過程中，學生對這個圖形和原來的問題就有了更全面、深刻的認識。可見，從條件出發，思考條件成立可以得到的結論，也是引導學生展開解題反思的有效途徑。

當然，對于圖1，除了考慮所有點都連線，還可以引導學生考慮所有線都“交”點，從而得到最“完備”的圖形（如圖3）。由此，可以引導學生進一步反思又能得到哪些新的結論……

反思之三：題目還可以怎么變化

對一個問題有了比較全面、深刻的認識后，就要引導學生反思這個問題可以發生怎樣的變化：條件和結論都要改變。

教師可以繼續引導學生觀察圖3，發現它是軸對稱圖形，比較“正”，從而想到讓它“歪”一點。由此，可以引導學生思考：怎樣“歪”才是基于原有圖形自然生長的變化？進而引導學生發現，整個圖形是由A、B、C、D四點決定的，而且，這四點具有一定的對稱性，從而想到延長或縮短BD（或CA）。這樣，隨著點D（或A）的位置變化，點E的位置也跟著變化，整個圖形就“歪”了。實際作圖后，學生可以發現，這時，除了△BOC是等腰三角形及相應的邊和角相等的結論顯然還成立（不變），其他結論基本上都不成立（變）了。可以繼續引導學生思考：在圖形變化的過程中，有什么“不顯然”的不變嗎？如果有的話，便可以得到一個不錯（有一定思維含量）的新題目。學生可以發現，如果∠BDC>90°，那么在延長BD（點D運動）的過程中，有一個點D的位置，使CD的長不變;如果∠BDC<90°，那么在縮短BD（點D運動）的過程中，有一個點D的位置，使CD的長不變。而在原有圖形中，AB=CD。由此，在圖形變化的基礎上，可以讓學生以AB=CD為結論命制一個新題目。接下來需要學生思考的問題便是：這個新題目的條件是什么？也就是說，在圖形變化的基礎上，滿足什么條件可以得到AB=CD的結論？

對此，可以∠BDC>90°，延長BD為例，將圖形ABCDE變為ABCD′E′（如下頁圖4），引導學生發現：要使AB=CD′，只要CD=CD′，只要∠CDD′=∠CD′D;而∠CDD′=∠DOC+∠DCO，∠CD′D=∠E′+∠ABO，且∠DCO=∠ABO，因此只要∠DOC=∠E′;∠DOC=∠OBC+∠OCB，且∠OBC=∠OCB，所以只要∠OBC=∠OCB=1/2∠E′。

經過這么長的推理鏈后，只考慮變化后的圖形，不考慮原有圖形，學生便可得到這樣一個不錯的新題目：

如圖5，在△EBC中，點A、D分別在EB、EC上，連接BD、CA，相交于點O，∠OBC=∠OCB=1/2∠E，證明：AB=CD。

在知道命題過程的情況下，解這道題十分容易。但是，如果不知道命題過程，要解這道題就比較困難了。由此，可以引導學生體會基本圖形的作用。觀察圖5，會發現它和圖3這個基本圖形“長得很像”，只是“歪”了一點。注意∠OBC=∠OCB的條件，不難想到在OD上截取OD′=OA或在OA延長線上截取OA′=OD，從而構造基本圖形（如圖6或圖7）。由此，很容易得到AB=CD′或A′B=CD。接下來便可以用分析法證明CD′= CD或A′B= AB。證明過程基本上就是上述命題過程，這里不再贅述。

反思之四：題目還有什么解法

上述新題目比較復雜，教師可以引導學生思考它有沒有更多的解法（過于簡單的問題通常沒有很多有價值的解法），進而尋找解法之間的聯系，以發現問題的本質、解法的核心。

為此，需要引導學生反思已有的解法，發現其關鍵是構造基本圖形，而構造基本圖形的目的是得到全等三角形。可以進一步引導學生，分析發現，上述解法中構造全等三角形的思路是，保持一個（組）三角形不變，改變另一個（組）三角形的形狀和大小。由此，學生可以想到：能否同時改變兩個（組）三角形，從而構造全等三角形？于是，解決問題的思路再次打開，得到一些新的解法：

新解法1：如圖8，過點C作CG⊥BD于點G，過點B作BF⊥CA于點F，根據基本圖形，很容易證明△BFC≌△CGB（AAS），再證明△BFA≌△CGD（AAS），從而得出BA=CD。

新解法2：如圖9，延長BD至點G，延長CA至點F，使BF=BO，CG=CO，則可以得到△BFO≌△CGO（AAS），進而得到△BFA≌△COD（AAS），從而得出BA=CD。

而且，學生不難發現，此題的解法不限于此，還有很多。這時，可以引導學生反思：這些解法之間有無聯系？通過對比，學生可以發現，這些解法的本質都是構造基本圖形，獲得全等三角形（圖8、圖9中的四邊形FBCG其實也是基本圖形——圖2）;不同的解法只是添加的輔助線不同，構造的基本圖形有變化。由此，可以引導學生充分體會基本問題（圖形）思想：把一些基本問題（圖形）吃透后，遇到復雜問題（圖形）時，往往可以通過分解、演變得到基本問題（圖形），從而找到解題思路和方法。