基于速率的Allan 方差的GPS 坐標時間序列噪聲特性分析

高啟平

（甘肅省地圖院，甘肅 蘭州730000）

1 概述

GPS 基準站坐標時間序列中的噪聲之間是相關的[1]，忽略聲之間的相關性會影響GPS 基準站速率的不確定性，因此，對GPS 基準站坐標時間序列進行噪聲特性分析至關重要。二十年來，不同學者針對GPS 基準站坐標時間序列的噪聲特性采用了多種的方法進行分析，國內外學者Zhang、Langbein、William、Bos、田云峰、袁林果、李昭、賀小星等分別采用最大似然估計（Maximum Likelihood Estimator，MLE）對不同區域的GPS 基準站坐標時間序列進行噪聲分析[2-9]，黃立人[10]采用譜分析方法分析了中國地殼運動觀測網絡GPS 基準站時間序列相關的噪聲特性，Hackl[11]采用基于速率的Allan 方差對GPS 基準站坐標時間序列的噪聲特性分析。MLE 方法估計的結果比較穩健，但其計算效率較低；功率譜分析方法計算速度較MLE 方法快，但功率譜分析方法需要數據等間隔的，但實際數據一般不能滿足，尤其數據有大量缺失時。基于速率的Allan 方差方法具有方法計算速度快，效率高，尤其是對于GPS 坐標時間序列數據有大量缺失，其噪聲特性計算結果仍較為穩健。基于此，本文采用采用基于速率的Allan 方差方法分析了GPS 基準站坐標時間序列的噪聲特性，并與MLE 方法分析的結果進行了對比。

2 原理方法

Allan 方差是David Allan 于1966 年提出的，最初該方法用于分析精密振蕩器的相位和頻率穩定性，由于陀螺等慣性傳感器本身也具有振蕩器的特征，因此該方法隨后被廣泛應用于各種慣性傳感器的噪聲特性，Allan 方差已成為時域的噪聲分析標準工具。

Allan 方差的基本原理：假定數據長度為N 的坐標序列X（i），i=1、2…N，采樣間隔為T，將該坐標序列分成n 組，一般來說n＞4，分別求出每組數據的平均值m（i），i=1，2，…n，則Allan 方差的表達式為：

本文參考文獻[11]的算法，Allan 方差在每組數據中均值m（i）由該段數據擬合直線的速率代替，因此Allan 方差的計算結果不會因為數據缺失而劇烈的變化，且是否去趨勢項對計算的結果影響也較小。

對于給定的譜指數k 與長度t 的位置時間序列，Agnew 分析了時域里的冪律過程[12]，推導出了其與標準差σx的關系如下：

因此，基于速率的Allan 方差σ2與譜指數k 的關系如下：

在雙對數坐標系中譜指數k 和與基于速率的Allan 方差的關系為：

即μ 和MLE 估計譜指數k 之間的關系與對應的噪聲類型是一致的，如表1 所示。

表1 兩種方法譜指數之間的關系

3 實測數據處理

選用6 個GPS 基準站N，E，U 三個方向坐標時間序列分別采用基于速率的Allan 方差與MLE 方法進行噪聲特性分析。兩種方法計算的結果如表2 所示。

從表2 中可以看出，經公式（4）轉換后，基于速率的Allan方差方法得到的譜指數與MLE 估計得到的譜指數基本上是一致的，證明了基于速率的Allan 方差方法估計譜指數的有效性，GPS 基準站坐標序列主要表現PL+WN 噪聲模型特性，GPS 測站時間序列不同方向之間的噪聲特性不盡相同。

為驗證GPS 基準站坐標時間序列數據缺失對基于速率的Allan 方差的影響，對RTUC 站的坐標時間序列時分別隨機刪除100、200、300、400、500、1000 個數據，然后在采用基于速率的Allan 方差估計其譜指數，并與原始數據計算結果進行對比，如表3 所示。

表2 兩種方法計算得到的譜指數

表3 隨機刪除不同數量數據后的譜指數計算結果

從表3 可知，RTUC 站坐標時間序列隨機刪除不同數量數據后，采用基于速率的Allan 方差估計得到的譜指數保持著相對穩定得結果。經多次重復計算，相鄰兩次結果保持了高度一致性。

當數據出現缺口時，為了驗證基于速率的Allan 方差在數據出現間斷時，其估計結果仍較穩定，將RTUC 站坐標時間序列數據在任意位置隨機刪除100、200、300、400、500、1000 個連續數據，然后計算其譜指數，并與原始數據計算結果進行對比，如表4 所示。

表4 隨機刪除連續數據后的譜指數計算結果

從表4 可知，RTUC 站坐標時間序列隨機刪除不同數量的連續數據后，采用基于速率的Allan 方差估計得到的譜指數保持著相對穩定得結果，僅在U 方向上，連續缺失1000 個數據后，其譜指數相對變化較大。綜合表3 及表4，可以看出，數據缺失對基于速率的Allan 方差方法估計譜指數影響較小，證明了該方法的優越性。

4 結論

本文通過實測數據分析，基于速率的Allan 方差方法是一種有效的噪聲特性分析方法，與MLE 方法保持了較高的一致性。當數據缺失對于該方法估計譜指數影響較小，尤其是有大量連續數據缺失時，此外相對于MLE 方法，基于速率的Allan 方差方法計算效率有顯著的提高。