一個典型例題的非典型解法的課堂實錄與反思

廣東省佛山市順德區華僑中學 廣東 佛山 528300

數學的學習過程中經常要利用已學的知識或者已掌握的方法,使用類比法探索新的知識,發現新問題的解決方法。在數學解題中,類比發現法與歸納發現法一樣,都是經過探求進而發現問題解決方案的數學思維方法,二者的差異僅在方向不同。歸納發現法的使用主要是由特殊性到一般性的過程,而類比發現法更注重的是由所知的一般性到未知的一般性的過程,其關鍵是尋找恰當的類比對象。

直線與圓錐曲線問題一直都是高中代數的重點與難點內容之一,它也是解析幾何的一個主要問題,同時這類問題也充分體現了代數與幾何之間不可分割的關系,是學生能深刻體會解析幾何精髓的主要載體。

學生在學習完“直線與圓”的有關知識后,學生能利用幾何知識發現有關的最值問題的解法,而且這類問題一般都能利用“幾何法”很快地就發現最大、最小值所在的位置。但是相對于圓而言,圓錐曲線的幾何性質則顯得不那么規則,所以解決這類問題就顯得麻煩很多。

在課堂的教學中,為了能讓學生能由所學的知識延伸到新的知識,掌握直線與圓錐曲線的相關最值問題,我讓學生通過類比探究,由直線與圓中的最值問題,發現直線與橢圓中的最值問題的解決過程。但在這個過程中,有些學生的思維出乎我的意料之外。

以下是課堂實錄:

這位同學展示完后,進行了以下的闡述:

甲:由直線和圓的位置關系的知識,可知:當一條直線和圓相交時,圓上的點到直線的距離最遠的點就是這條直線與圓相交的弦的中點和圓心的連線與圓的交點。由于橢圓是由圓經過伸縮變換而來的,所以橢圓上的點到某條直線的距離最遠的點也可以這樣類比得到。在直線l的左上方,點P1到直線l的距離是最長的;在直線l的右下方,點P2到直線l的距離是最長的。

學生甲闡述完自己的解題過程后,有些同學聽懂了,但更多的同學是有疑問的,因為他們都是似懂非懂的。于是我有進行了下面的引導發現:

我:是的,這位同學講的非常好,我們是需要利用已學的知識或者方法進行發現的,但他所闡述的這種方法,大家能接受嗎?

生:差不多明白,但好像還是有一些疑問,在圓里面,這是毫無疑問的,但是放到橢圓中,這就一定可以嗎?

我:對,大家問得很好。甲同學的思路是非常正確的,他利用了直線與圓中的最值問題,類比得到直線與橢圓的最值問題。但是,大家再仔細想想,為什么點P1到直線l的距離是最長的呢?

生:好像老師曾經講過,是作直線l的平行線l1,當l1與圓相切時,切點到直線l的距離是最長的,因為切點是最遠離直線l的點。

我:非常好,那么你能類比得到在直線與橢圓的問題中,最遠的點如何找到嗎?

生:一樣的,我們也可以作直線l的平行線l2,當l2與圓相切時,切點到直線l的距離是最長的。

我:對了,非常好。就很容易解釋為什么甲同學找到的點P是最遠的那個點,那么,大家知道這類題應該怎么解決了嗎?

生:當然,如果直線l的方程為Ax+By+C=0,那么可設與l平行且與橢圓相切的直線l'的方程為:Ax+By+C'=0,這個方程與橢圓的方程ax2+by2=1聯立,組成方程組,消元之后,得到一個一元二次方程,由于l'與橢圓是相切的,所以得到的方程只有一個解,因此,判別式Δ=0,由此得到C'的值,也就可以得到點P的坐標,問題也就得到解決了。

我:大家總結的非常好,我們解決未知問題的過程中,要能從已經掌握的數學知識中發現新知識與舊知識之間的順延、從屬關系,并從相似之處中進行探索,找到類比的素材,并運用已有的知識解決未知的問題。

學生在學習過程中需要通過對信息的加工、轉換進行自我調節,通過同化和順應完成新知識的建構,其中包含著不可缺少的反思的因素。學生在發現的過程中的一個最關鍵的問題是如何與所學的知識聯系起來,并且能發現解決某一類問題的基本方法。

通過這堂課,也讓我感受到在課堂教學實踐中,“要以學生為主體;要激發學生參與學習活動的欲望;要給學生主動發展提供廣闊的時間和空間;要重視交流與合作;要提高活動教學的針對性。”課堂教學應該注重類比發現法這樣的嘗試運用,不斷地引導學生進行探究,啟迪學生解題智慧,找到解題線索和思路,從而能達到觸類旁通的效果。

學生在自我探究發現的過程中,可能與教師預期的不同的,但并不表示他們的想法是錯誤,教師應該給與學生更多的展示時間,在給與適當的點評,讓他們明白自己在探究的過程中出現的偏差,及時地糾正或者優化他們的探究過程。