基于Winkler模型的沿空留巷底板變形力學分析*

劉高林 阮永芬 魏德永 王雨潔 劉克文

(1.昆明理工大學建筑工程學院 昆明 650500； 2.云南建投第一勘察設計有限公司 昆明 650031)

0 引言

在煤炭開采過程中，通常采取先挖巷道再逐步開采巷道左右兩側煤炭的方法，為保證開采巷道的安全，對采煤巷道底板受力變形的研究尤為重要。龍馭球[1]采用半無限彈性體理論，即假設地基為均質、連續、彈性的半無限體，將地基的計算分為平面問題和空間問題進行求解。丁敏等[2]假設彈性地基梁兩端自由，求解出了彈性地基梁在任意荷載作用下的撓度方程。李順群等[3]結合Winkler彈性地基梁經典公式p=kω，將地基梁轉化為無限長梁，求得其轉角θ、彎矩M和剪力Q。華心祝等[4]認為上部巖層掉落出現集中應力，并傳遞到巷道底板導致底板受力變化，這是產生底臌的主要原因。上述研究并未對巷道底板的內力變化給出確切的計算公式或計算公式較為復雜，本文利用Winkler彈性地基梁理論，建立巷道底板在頂板巖層垮落荷載作用下的受力模型，用解析解推導出巷道底板的內力、轉角、位移及撓度公式，分析出沿空留巷底板破壞機理，為相應防控措施的提出提供理論依據，為巷道設計及工程施工提供分析計算公式，確保采煤巷道底板的變形及受力在允許范圍內，保證其安全運行。

1 沿空留巷受力力學模型的建立及分析

結合巷道實際情況建立力學模型進行分析，為簡化計算將底板當作彈性體，減去上覆原巖應力γh，煤礦邊界處看作固定支座，取單位長度進行分析。按彈性地基梁原理建立力學模型進行分析。圖1為巷道左側開挖后采空區頂板巖塊A、巖塊B在重力影響下發生垮落，若不做防護措施，垮落巖層將堵塞巷道，影響采煤工作開展。為保證巷道正常工作，可在巷道內架設混凝土支護，巷道右側為煤幫，即右側均布荷載q，頂板將在支護外側發生斷裂，斷裂后垮落在底板上產生的荷載分布如圖2所示，荷載最大值為hq0，其中h為應力集中系數，巷道左側荷載為q1，左側邊界處荷載為q0，底板反力為kω，其中k為地基系數，巷道底板力學分析模型如圖2所示。在側墻極限平衡區取dx段巖體進行研究，建立其彈性地基梁力學分析模型如圖3所示。

圖1 煤礦開采示意

圖2 巷道底板力學模型

圖3 微元體力學分析

Winkler對地基模型提出以下假設：地基表面任一點的沉降ω與該點所受的壓力p成正比[5]，即

(1)

側墻微單元體的靜力平衡條件為

V+bpx-V+dV-qxdx=0

(2)

式中,b為側墻沿隧道縱向的長度。進而可得

(3)

材料在一定荷載作用下，轉角與撓度、彎矩、剪力、荷載呈導數關系[6]，即

(4)

(5)

(6)

可簡化為

ω'=θ

(7)

EIω''=M

(8)

EIω'''=F

(9)

EIω(4)=Q

(10)

式中，ω為撓度；ω、ω、ω、ω(4)為撓度的導數；θ、M、F、Q分別為底板轉角、彎矩、剪力、荷載；E為彈性模量；I為慣性矩。

根據巷道底板力學模型，可得底板各段所受荷載為

(11)

高階線性微分方程的解為通解+特解，即

(12)

ω11x=eαx(A1cosαx+A2sinαx)+e-αx(A3cosα+A4sinαx)

(13)

(14)

式中，g為式(11)中不含ω項；A1～A4、B1～B4、C1～C4、D1～D4為各段中的積分常數。以0

(15)

由式(2)～(4)可知，分別對ωx求一、二、三階導數，可求出巷道底板轉角θ、彎矩M及剪力F。

(16)

(17)

(18)

根據連續條件和支撐條件確定各段中的積分常數[7]。根據巷道底板力學模型可得

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

利用MATLAB可計算出積分常數如下：A1=0.003 04，A2=-0.000 263，A3=-0.046 2，A4=-0.057 1，B1=0.000 035 8，B1=-0.000 446，B3=-0.023 2，B4=-0.435，C1=0.000 007 99，C2=-0.000 006 59，C3=-1.34，C4=-0.488，D1=-0.000 023 8，D2=0.000 897，D3=-1.92，D4=1.66。

2 算例應用

將積分常數代入式(15)～(18)，可求得巷道底板撓度、轉角、彎矩、剪力，如圖4～圖7所示。

結合圖4～圖7與工程經驗可知，巷道底板的破壞主要由兩方面原因造成：一方面，隨著采空區不斷增大，上覆巖塊會慢慢垮落，從而導致底板所受應力增加，造成底板剪切破壞，如圖7所示，巷道底板剪力最大約為7 kN；另一方面，巷道開挖與采空區增大的過程相當于卸載過程，從而引起巷道底板產生負彎矩，發生彎曲破壞，如圖6所示，巷道底板彎矩最大約為16 kN·m。根據兩種破壞形式可采取以下防護措施:①排出地下水，設置豎向排水井，以加快土體固結的速度；②夯實或更換表層土體中抗剪強度較小的土層，增加底板承載力；③錨注加固底板，根據底板不同硬度采取相應的加固措施，對于硬度為中硬及以上的底板可通過打底板錨桿進行防治，對于松軟底板可進行灌漿加固；④綜合考慮整個結構，盡量使巷旁支護寬度、剛度與底板的強度相匹配[9]。

圖4 巷道底板撓度曲線

圖5 巷道底板轉角曲線

圖6 巷道底板彎矩曲線

圖7 巷道底板剪力曲線

3 結語

(1)利用Winkler彈性地基梁理論，計算推導了任意荷載下巷道底板的撓度、彎矩、剪力、轉角公式。

(2)結合大量工程實例得出，巷道底板破壞形式大多為剪切破壞，主要原因是隨著煤礦的不斷開采，上覆巖層因垮落傳遞給巷道底板的力就會增加，這時底板所受剪力也會增加。為防止巷道底板發生剪切破壞，可通過對底板進行灌漿、更換抗剪強度較小的土層等方法，提高巷道底板抗剪強度，預防因底部剪力過大而發生剪切破壞。

(3)此方法計算結果與實際情況大致相符，且計算簡單，可為此類工程的設計施工提供經驗。