聯想 等效 拓展 建模
——以“帶電小球在復合場中的運動”為例

劉萬強 肖夢軍

(湖北省松滋市第一中學，湖北 松滋 434200)

1 問題

如圖1所示，勻強電場的場強大小為E，與水平方向的夾角θ=30°，電場中有一質量為m、電荷量為q的帶電小球，用長為L的絕緣細線懸掛于O點，當小球靜止時，細線恰好水平?，F用一外力將小球緩慢拉到豎直方向的最低點，然后將小球由靜止開始釋放，求：

圖1

(1) 小球在何處速度最大？最大速度為多少？

(2) 小球向右運動，最遠處在哪里？

(3) 若小球能做完整的圓周運動，小球在運動過程中最小速度是多少？

速度最大(動能最大)的點、向右能夠運動到達的最遠處(動能為零)和做完整圓周運動等問題涉及的主要是能量問題，那如何分析在這種多場并存的復合場中的運動呢？我們會聯想到小球只在重力場中的圓周運動。

2 聯想

圖2

如圖2所示,細繩一端固定于O，另一端固定一小球，讓小球在豎直平面內做圓周運動?，F將小球從圖示位置P由靜止釋放，細繩與豎直方向成夾角θ，求：

(1) 小球在何處速度最大？最大速度為多少？

(2) 小球向右運動，最遠處在哪里？

(3) 若小球能做完整的圓周運動，小球在運動過程中最小速度是多少？

聯想到小球只在重力場中的圓周運動，關注小球的動能和勢能，可追溯到最簡單的能量與圓周運動相結合的模型的源頭。需重點關注小球的重力勢能極值對應的高度位置：(1) 小球位于最高點時，動能最小、勢能最大、繩中張力最小,繩子在此處不松弛是保證小球做完整圓周運動的充要條件;(2) 小球位于最低點時，動能最大、勢能最小、繩中張力最大，繩在此處最易斷裂。

假設小球只在勻強電場中運動，又如何處理呢？我們不妨進行類比分析。

3 等效

如圖3所示，在光滑絕緣水平面上放置一質量為m、電荷量為q的帶正電小球，小球系在長為L的絕緣細線上，線的另一端固定在O點。整個裝置置于大小為E的勻強電場中，電場方向與水平面平行且沿OA方向?，F將小球從OA左邊與OA垂直的位置靜止釋放，求：

圖3

(1) 小球在何處速度最大？最大速度為多少？

(2) 小球向右運動，最遠處在哪里？

(3) 若小球能做完整的圓周運動，小球運動過程的最小速度是多少？

將電場力Eq等效成重力場中的重力mg，那么A處于最低等勢面上，相當于重力場的最低位置，可以將小球的電勢能與重力勢能相類比，則在A處電勢能最小，速度最大，小球繞等效最低點兩邊對稱擺動，向右可擺到OA右邊以及與OA垂直的位置。如能做完整的圓周運動，恰好過等效最高點(即A關于O的對稱點)，此處電勢能最大，動能最小，繩子拉力最小。

重力和電場力對帶電小球的運動都有影響，又該如何處理呢？我們不妨分兩力共線和不共線兩種情況來拓展研究。

4 拓展

4.1 重力和電場力在同一直線上

如圖4所示，在長為L的絲線的一端拴一質量為m、電荷量為q的帶正電小球，另一端連在水平軸O上。絲線拉著小球可在豎直平面內做圓周運動，整個裝置處在豎直向上的勻強電場中，電場強度大小為E，且電場力Eq大于重力mg?，F將小球拉到與軸O在同一水平面上的A點，然后無初速度地將小球釋放。求：

圖4

(1) 小球在何處速度最大？最大速度為多少？

(2) 小球向右運動，最遠處在哪里？

(3) 若小球能做完整的圓周運動，小球在運動過程中的最小速度是多少？

將電場力Eq和重力mg進行合成，得到合力F=Eq-mg(稱為等效場力)，其方向向上，B處于等效場的最低等勢面上，相當于重力場中的最低處，把小球的電勢能和重力勢能之和(稱為等效場勢能)與重力勢能相類比，則B處等效場勢能最小，速度最大，B成為等效最低點，小球繞等效最低點兩邊對稱擺動，向左可擺到A關于O的對稱點。如能做完整的圓周運動，恰好過等效最高點(即B關于O的對稱點)，此處等效場勢能最大，動能最小，絲線拉力最小。

4.2 重力和電場力不在同一直線上

如圖5所示，在水平方向的勻強電場中，在一根不可伸長的絕緣細繩的一端連著一個質量為m、電荷量為q的帶正電小球，另一端固定于O點，把小球拉起直到細繩與場強方向平行，然后無初速度釋放，則小球沿圓弧做往復運動。已知小球擺到最低點的另一側，線與豎直方向的最大夾角為θ，求：

圖5

(1) 小球在何處速度最大？最大速度為多少？

(2) 若小球能做完整的圓周運動，小球在運動過程中的最小速度是多少？

如圖6所示，將電場力Eq和重力mg進行合成，得到合力F(稱為等效場力)，其方向為斜向右下方，過圓心畫出沿合力F方向的直線，與圓軌跡交于點A、B兩點(圖7)，用F等效替換僅在重力場中運動的小球受到的重力mg，那么A處于等

圖6

圖7

效場的最低等勢面上，相當于重力場的最低處，將小球的電勢能和重力勢能之和(稱為等效場勢能)與重力勢能相類比，則A處等效場勢能最小，速度最大，A成為等效最低點，小球繞等效最低點兩邊對稱擺動。若帶電小球能做完整圓周運動，恰好過等效最高點(即A關于O的對稱點B)，此處等效場勢能最大，動能最小，絲線拉力最小。

5 建模

研究小球在重力場和電場并存的復合場中的圓周運動時，通過聯想、等效到拓展類比，建立了以等效場、等效場力、等效場加速度、等效最高(最低)點和等效場力勢能等概念組成的等效場模型，分析帶正電的小球在僅有重力場、僅有電場、重力場和電場并存三種情況下的圓周運動，比較結果如表1。

表1

如圖8所示，將原題中的電場力Eq和重力mg進行合成，得到合力F(稱為等效場力)，其方向為水平向右，過圓心畫沿合力F方向的直線，與圓軌跡交于點A、B兩點(圖9)，用F等效替換僅

圖8

圖9

在重力場中運動的小球受到的mg，那么A處于等效場的最低等勢面上，相當于重力場的最低處，將小球的電勢能和重力勢能之和(稱為等效場勢能)與重力勢能相類比，則A處等效場勢能最小，速度最大，A成為等效最低點，小球繞等效最低點對稱擺動，即從空間最低點運動到空間最高點。若小球能做完整圓周運動，要能恰好過等效最高點(即A關于O的對稱點B)，此處等效場勢能最大，動能最小，細線拉力最小。

6 結語

帶電小球在等效場中的圓周運動是高中物理的重要模型。從物理觀念來看，等效場模型涉及相互作用觀、運動觀和能量觀；從科學探究來看，探究等效場中的場力、加速度、等效最高(最低)點等，通過發現、聯想、推理等，循序漸進，深入探究；從科學思維來看，需要綜合運用類比、等效、拓展、建模等思維方法；從科學態度與責任來看，通過對小球圓周運動的深入探究，有利于學生認識科學本質，形成正確的科學態度和責任感。