二階常系數非齊次線性微分方程的解法小結

鞠銀

（上海電機學院文理學院，上海 201306）

常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續保持著進一步發展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。二階常系數線性微分方程在常微分方程理論中占有重要地位，在工程技術及力學和物理學中都有十分廣泛的應用。關于它的解結構己有十分完美的結論。但有時候學生遇到常系數非齊次方程還是會犯迷糊。本文主要介紹幾種常見的二階常系數非齊次微分方程的解法。

一、二階常系數齊次線性微分方程

二階常系數齊次線性微分方程y′+py′+qy=0的解法主要是特征方程法。

1.當特征方程有兩個不相同的實根λ1、λ2時,方程(1) 的兩個線性無關的解為從而得方程(1)的通解

2.當特征方程有二重實根λ 時,可得方程(1) 的兩個線性無關的解從而得到方程(1)的通解

3.當特征方程有一對共軛復根αi±β時,可得方程(1) 的兩個線性無關的解從而得方程(1) 的通解

二、二階常系數非齊次線性微分方程

我們知道y′′+py′+qy=f(x)(2)通解等于對應的齊次方程的通解與它本身的特解之和。所以只需求出方程(2)的特解和對應齊次方程的通解，再疊加即可得通解。方程(2)主要分為以下兩個類型。

其中p,q與λ是已知常數,pm(x)是x的m次多項式,

也可以把類型2看成特殊的類型1.即方程(3)右端的指數λ看成復數。

解：本題λ=0不是特征方程r2-2r-3=0的特征根，所以特解為y*=x0(ax+b)代入原方程為 -3ax-3b-2a=3x+1

例2求微分方程y′+y=4sinx的通解。

解：對應齊次方程的特征方程是r2+1=0，所以特征根為r=±i，

即有對應齊次方程的通解為

例3求微分方程y′+y=x+4sinx的通解。

解：此題和前兩例不同，右端的函數項包含了類型1和類型2，所以此題我們要把原方程拆成兩個非齊次方程，利用非齊次方程的解的疊加原理。

(1)先求方程y′+y=0的通解齊次方程的特征方程是所以特征根為r=±i

即有對應齊次方程的通解為

(2)先求方程y′+y=x的特解

本題λ=0不是特征方程的特征根，所以特解為

對于二階常系數非齊次線性微分方程我們一定要注意右端的函數項，必要時要把方程拆成多個方程利用解的疊加原理來求通解。